1 - 1 + 1 - 1 + 1…等于多少?

这是关于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/common-misconceptions/" class="wiki_link" title="常见的误解" target="_blank">常见的误解。

这是真的还是假的?

$1-1+1-1+1-1+ 1-1+ \dots = 0$

为什么有些人说这是真的:如果这些项像这样分组 $(1 - 1)$，那么和显然就变成了 $0$。

为什么有些人说这是错误的:如果这些项像这样分组 $1+(-1+1) +(-1+1) \点$，那么和显然就变成了 $1$下一项互相抵消。

语句是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$。

证明:

无穷级数的和被定义为它的部分和序列的极限，如果它存在的话。上述级数的部分和序列即Grandi级数为1,0,1,0，…，which clearly does not approach any number (although it does have two accumulation points at 0 and 1). Therefore, Grandi's series is divergent and its sum cannot have a definite answer.

反驳由于和是一系列整数，所以答案一定是整数。

回复这个和没有有限的答案。通过发散检验，该级数不收敛，因此该级数和没有确定的解。在无限远处会发生奇怪的事情。例如，我们可以将无限多个有理数的和表示为无理数:

$\pi = 3 + 0.1 + 0.04 + 0.005 + 0.0009 + \ldots$

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反驳我们观察到 $1 - 1 + 1 - 1 \点$无限几何级数是否有第一项 $一个= 1$公比 $r = 1$所以这个和是 $S = \ dfrac{一}{第一轮}= \ dfrac {1} {1 - (1)} = \ dfrac {1} {1 + 1} = \ dfrac {1} {2}$

回复几何级数的和只收敛于 $1 < r < 1$在这种情况下， $R = -1$，它不在要求的间隔内。除此之外，还有一种方法可以扩展这个求和的思想，可以通过塞萨罗求和或分析方法。但是，如果是这种情况，那么应该在问题中说明。

另请参阅

• 常见误解列表