波函数和测量
有关……
- 经典力学>
一个
内容
波函数作为概率分布
波函数的位置
1)gydF4y2Ba波函数必须是平方可积的,并且归一化为
任意平方可积波函数都可以归一化,通过除以它们的范数,使上述等式成立。注意,平方可积等同于波函数衰减到零的速度快于
2)波函数在时间演化过程中保持归一化,因此在某个地方找到粒子的总概率始终是100%。这相当于要求Schrödinger方程被连续求解:
3)任何物理可观测值的平均值被定义为期望值。例如,平均位置
期望值类似于从重复实验中平均测量得到的值,经典。
gydF4y2Ba在世界上的量子描述中,一个粒子可以以其波函数所规定的不同程度的概率存在于空间的任何地方。一旦对某个位置的粒子进行了测量,波函数
当具有某种波函数的粒子的位置或动量
方差的平方根是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/standard-deviation/" class="wiki_link" title="标准偏差gydF4y2Ba" target="_blank">标准偏差一个>,它量化了粒子位置或动量的不确定性。位置和动量的标准差满足一种叫做<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/heisenberg-uncertainty-principle/" class="wiki_link" title="海森堡不确定性原理gydF4y2Ba" target="_blank">海森堡不确定性原理一个>:
一个特定位置的波函数由:
Ψ(x)=一个e−x2/2
为一个常数
如果波函数归一化,则
在上面的最后一个等式中,注意的相位
gydF4y2Ba识别这个波函数是一个以原点为中心的高斯函数,即均值
因此,位置不确定性为
希尔伯特空间与算子
波函数存在于一种叫做a的数学空间中<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/hilbert-space/" class="wiki_link" title="希尔伯特空间gydF4y2Ba" target="_blank">希尔伯特空间一个>由于它们的数学性质。希尔伯特空间特别重要,因为它们将点积(内积)推广到任意多维(直到无限维)。下面是对QM中使用的希尔伯特空间的性质的总结。
1)gydF4y2Ba希尔伯特空间中的向量通常被写成
gydF4y2Ba的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/adjoint/?wiki_title=adjoint" class="wiki_link new" title="伴随gydF4y2Ba" target="_blank" rel="nofollow">伴随一个>
v__一个向量的
在无限维希尔伯特空间中,状态的伴随是对应函数的复共轭,因为转置在函数上是没有意义的。
gydF4y2Ba狄拉克表示法中的内积可以方便地写成:
狄拉克表示法也很方便,因为它可以随时泛化到无限维希尔伯特空间的情况。两个函数的内积
计算一个周期内的内积
( 0,2π)的罪 (米x)和因为 (nx)在哪里米 和n 都是整数。
直接代入公式,内积为:
∫ 02π罪(米x)因为(nx)dx。使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sum-and-difference-formulas/" class="wiki_link" title="和与差三角公式gydF4y2Ba" target="_blank">和与差三角公式一个>,积分可以改写为:
∫ 02π罪(米x)因为(nx)dx=∫02π21(罪((米+n)x)+罪((米−n)x))dx=0,后面是最后一个等式因为每一项都给出了
罪 函数在整数个周期上。这个公式成立,无论米 和n ,不出所料:的正交性罪 和因为 函数就是傅里叶级数定义良好的原因。
在QM中,函数内积的区间经常(但不总是)
2)gydF4y2Ba矩阵的线性变换
3.。)gydF4y2Ba函数是
4)函数的集合是
假设
正弦和余弦函数
罪 (米x)和因为 (nx),在那里米 和n 整数,是在紧间隔上周期性函数的一个完整集合。正弦和余弦函数的线性组合,可以用来表示任意的周期函数,叫做<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fourier-series/" class="wiki_link" title="傅里叶级数gydF4y2Ba" target="_blank">傅里叶级数一个>的函数。写出锯齿波的傅里叶级数:f(x)={2x,f(x±2),0≤x<2否则。
注:上面的定义是指
f (x)在定义区域外是周期性的,如下图所示:
外,2)。图像从[1]。 ( 0
如果向下平移
2 1,锯齿波是奇函数。还要注意,给定的锯齿波已经在振幅上进行了归一化。因此,我们唯一需要计算的系数是c n对应于sin函数:
c n=∫02f(x)罪(nπx)dx=21∫02x罪(nπx)dx=−nπ1,其中,积分是用分部积分法进行的。所以锯齿波的傅里叶级数是
f (x)=21−π1n=1∑∞n罪(nπx)。这就给出了锯齿波分解为无穷多组正交函数的线性组合,也就是三角函数。
在QM中,位置、动量和能量现在被称为可观察物,每个可观察物用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/hermitian-operator/?wiki_title=Hermitian operators" class="wiki_link new" title="埃尔米特运营商gydF4y2Ba" target="_blank" rel="nofollow">埃尔米特运营商一个>或
gydF4y2Ba为了证明一个算符是厄米性的,考虑算符期望的积分定义
如果
要用算子的本征函数的基来编写任何函数,可以使用所谓的
在哪里
上面右边正好给出
写出动量基下位置算符的本征函数,反之亦然。
位置算符的本征函数是那些乘以的函数
gydF4y2Ba把它们写成动量基础,就得到
与函数的积分表达式相比较
的包容
取复共轭,得到位置基下动量的本征函数:
动量基中动量的本征函数为
gydF4y2Ba一种更简单的写法是用狄拉克表示法在给定基下写出状态:
测量和换向器
一旦对一个粒子的位置或动量进行了测量,该粒子的波函数就坍缩为相应算子的本征函数。因此,测量的顺序会影响结果,因为第一次测量导致坍缩为与第二次测量不同的波函数。测量波函数的概率
设有两个算符
ψ2=51(4ϕ1−3.ϕ2)。
B^也有两个特征值
gydF4y2Ba你做一个初始测量
测量的这种顺序依赖性是由这样一个事实所捕捉到的:可观察对象是由运算符表示的,而运算符不一定是交换的。在数学上,算子是否交换是由它们给出的
如果两个操作员通勤,那么
由于这些算子作用于函数,引入一个测试波函数
因此:
这个方程被称为
gydF4y2Ba通过巧妙地利用对易子,可以推导出可观察值的期望值的时间演化,称为
通过乘积法则,时间导数可以改写为:
在哪里
现在
对于任何没有明确时间依赖性的算符,如位置或动量,期望值的时间依赖性完全取决于算符与哈密顿量的换易。值得注意的是,对于特定具有时间无关势的位置和动量,埃伦费斯特定理简化为
和
它们与这些可观测物体的经典运动方程相同。因此,Ehrenfest定理通过期望值提供了量子量和经典量之间的联系。
参考文献
[1] Weisstein, Eric W。
(2]gydF4y2Ba大卫·格里菲思;
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