球的体积

一个球是三维空间中一个完美的圆形几何物体。它可以被描述为所有位于距离上的点的集合 $r$(半径)到给定点(中心)的距离。它是完全对称的，没有边缘或顶点。

注意:地球不是一个球体!如上所述，球体没有边或顶点。但地球在两极略微变平，这就形成了它的形状un-sphere-ish．它的形状有一个特殊的名字:大地水准面。

有半径的球 $r$有体积 $\frac{4}{3} \pi r^3$和表面积 $4 \ r^2$．

有趣的事实:在所有具有相同表面积的形状中，球体的体积最大。

一个有半径的球的体积是多少 $5$?

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回答

半径为5的球体的体积是 $\压裂{4}{3}\π\ * 5 ^ 3 = \压裂{500}{3}\π= 166 \压裂{2}{3}\π$． $_ \广场$

如果一个球的表面积是 $144年\π,$球体的体积是多少?

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回答

观察球体的表面积可以改写为

$144\ π =4\ π * 6^2。$

那么，由于球面的表面积有半径 $r$是 $4 \ r^2，$由此可知，本题中球的半径为 $r = 6。$因此，它的体积是

$\压裂{4}{3}\πr ^ 3 = \压裂{4}{3}\π\乘以6 ^ 3 = 288 \π。\ _ \广场$

你有一个金球，它的体积是 $\frac{4\pi}{3} \text{cm}^3。$如果你想让金球的大小增加一倍，除了你现有的金球，你还需要带多少黄金到珠宝商那里?

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回答

从公式中 $V=\frac{4}{3} \pi r^3$对于有半径的球的体积 $r,$你知道金球的半径是 $R =1 \text{cm}。$因为你想让半径是 $2 \text{cm}，$制造更大的新球体所需的黄金数量是 $π\压裂{4}{3}\ \ * 2 ^ 3 = \压裂{32 \π}{3}\离开文本(\{厘米}^ 3 \右)。$因此，所需额外的黄金数量是

$\压裂{32 \π}{3}\文本{厘米}^ 3 - \压裂{4 \π}{3}\π\文本}{厘米^ 3 = \压裂{28 \π}{3}\文本}{厘米^ 3。\ _ \广场$

球面的体积 $一个$是 $\压裂{1}{27}$乘以球面 $b。$的表面积 $一个$是表面积的多少倍 $b ?$

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回答

让 $R_a$而且 $R_b$表示球体的半径 $一个$而且 $b,$分别。然后从公式中 $V=\frac{4}{3} \pi r^3$对于有半径的球的体积 $r,$我们有

$\压裂{4}{3}\π{R_a} ^ 3 = \压裂{1}{27}\ cdot \压裂{4}{3}\π{R_b} ^ 3,$

这意味着 $R_a = \压裂{1}{3}R_b。$

因此，由公式 $S=4 \ r^2$对于有半径的球的表面积 $r,$我们的结论是，球体的表面积 $一个$是 $左(\ \压裂{1}{3}\右)^ 2 = \压裂{1}{9}$乘以球体的表面积 $b。$ $_ \广场$