体积的解决问题

在解决此页面的问题时，您需要熟悉以下内容:

• 体积-长方体
• 体积-球体
• 体积-缸
• 卷——金字塔
  

本维基包含了几个旨在提高解决问题能力的问题。在开始之前，回想一下下面的公式:

• 有半径的球的体积 $接待员:$ $\ frac43 \πr ^ 3$
• 有边长的立方体的体积 $李:$ $L ^ 3$
• 带半径的圆锥体积 $r$和高度 $h:$ $\ frac13 \πr ^ 2 h$
• 圆柱体的体积与半径 $r$和高度 $h:$ $\πr ^ 2 h$
• 有长度的长方体的体积 $l$、宽度 $b$,高度 $h:$ $秉宪$

本节围绕体积的基本理解和使用公式求体积展开。几个示例之后是几个值得尝试的问题。

求一个边长的立方体的体积 $10 \文本{厘米}$．

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${对齐}(\ \开始文本{一个立方体的体积 }) & = {(\ 文本{边长}})^{3}\ \ & ={10}^{3}\ \ & = 1000 ~ \大文本(\{厘米}^{3}\大)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

求一个长方体的体积 $10 \文本{厘米}$、宽度 $8 \文本{厘米}$．和高度 $6 \文本{厘米}$．

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$\开始{对齐}({长方体的面积}\文本)& = l××b h \ \ & = 10×8×6 \ \ & = 480 ~ \大文本(\{厘米}^{3}\大)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

我做了一个大的冰淇淋蛋卷，是一个蛋卷和一个半球的复合形状。如果蛋筒的高度是10蛋筒和半球的直径都是6，这个冰淇淋蛋筒的体积是多少?

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复合图形的体积是圆锥的体积和半球的体积之和。

回顾以下两卷书的公式: $V_{\text{cone}} = \frac13 \pi r^2 h$而且 $V_{\text{sphere}} =\frac43 \pi r^3$．由于一个半球的体积是一个半径相同的球体的体积的一半，这个问题的总体积为

$\frac13 \pi r^2 h + \frac12 \cdot \frac43 \pi r^3。$

与高度 $h = 10$,直径 $d = 6$或半径 $R = \frac d2 = 3$，总体积为 $48 \π。\ _ \广场$

求一个具有倾斜高度的锥体的体积 $17 \文本{厘米}$底的半径 $15 \文本{厘米}$．

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让 $h$然后表示圆锥体的高度

$\开始{对齐}({斜高}\文本)& = \ sqrt {h ^ 2 + r ^ 2} \ \ & = 17 \ sqrt {h ^ 2 + 15 ^ 2} \ \ 289 & = h ^ 2 + 225 \ \ h ^ 2 & = 64 \ \ h = 8。结束\{对齐}$

因为圆锥体积的公式是 $\dfrac {3} ×\pi ×r^2×h$，圆锥的体积为

$\压裂{1}{3}×3.14×225×8 = 1884 ~ \大文本(\{厘米}^{2}\大)。\ _ \广场$

求以下图的体积，它描述了一个锥体和一个半球，直到 $2$位小数。在这个图中，锥体底部的形状是圆形的，整个半球的平坦部分与锥体底部完全重合(换句话说，锥体底部和半球的平坦部分是相同的)。

使用 $\π= \压裂{22}{7}。$

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$\{对齐}开始文本(\{圆锥的体积})& = \ dfrac{1}{3} \πr ^ 2 h \ \ & = \ dfrac{1×22×36×8}{3×7}\ \ & = \ dfrac{6336}{21} = 301.71 \ \ \ \(\文本{半球体积})& = \ dfrac{2}{3} \πr ^ 3 \ \ & = \ dfrac{2×22×216}{3×7}\ \ & = \ dfrac{9504}{21} = 452.57 \ \ \ \(\文本图}{总量)& =(301.71 + 452.57)\ \ & = 754.28。\ \ _ \广场结束{对齐}$

试试下面的问题。

本节涉及对体积和求体积的公式的更深入的理解。下面是几个解决的例子，然后是几个“自己试试”的问题:

$12$同样大小的球体是由熔化一个固体圆柱体制成的 $16 \文本{厘米}$直径和 $2 \文本{厘米}$高度。求出每个球体的直径。

使用 $\π= \压裂{22}{7}。$

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圆柱体的体积是

$\π×r ^ 2×h = \压裂{22×8 ^ 2×2}{7}= \压裂{2816}{7}。$

设每个球的半径为 $r \文本{厘米}。$然后是每个球体的体积 $文本\{厘米}^ 3$是

$\dfrac{4×22×r^3}{3×7} = \dfrac{88×r^3}{21}。$

因为球的个数是 $\frac {\text{圆柱体的体积}}{\text{1球体的体积}}，$

$\{对齐}开始12 & = \ dfrac{2816×21}{88××r ^ 3} \ \ & = \ dfrac {96} {r ^ 3} \ \ r ^ 3 & = \ dfrac {96} {12} \ \ & = 8 \ \ \ Rightarrow r & = 2。结束\{对齐}$

因此，每个球体的直径为 $2\乘r = 2\乘2 = 4 ~(\text{cm})。\ _ \广场$

求一个外半径为的半球壳的体积 $7 \文本{厘米}$内半径是 $3 \文本{厘米}$, $2$位小数。

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我们有

$\开始{对齐}{内半球体积})(\文本& = \ dfrac{1}{2}×\ dfrac{4}{3}×\π×R ^ 3 \ \ & = \ dfrac{1×4×22×27}{2×3×7}\ \ & = \ dfrac{396}{7} \ \ & = 56.57 ~ \大文本(\{厘米}^{3}\大)\ \ \ \(\文本{外半球体积})& = \ dfrac{1}{2}×\ dfrac{4}{3}×\π×R ^ 3 \ \ & = \ dfrac{1×4×22×343}{2×3×7}\ \ & = \ dfrac{2156}{7} \ \ & = 718.66 ~ \大文本(\{厘米}^{3}\大)\ \ \ \(\文本{体积的半球形壳})& = {V(\文本。外半球的;外半球的;外半球的;内心的半球})\ \ & = 718.66 - 56.57 \ \ & = 662.09 ~ \大文本(\{厘米}^{3}\大)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

试试下面的问题。

请记住这一节包含高度高级的体积问题。这里是:

• 表面积