Vieta的公式

让我们从定义开始。

维塔二次方程：

鉴于 $f (x) = ax ^ 2 + bx + c ，如果方程 f<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） ＝ 0 f (x) = 0 有根 r<米n>1 r_1 而且 r<米n>2 r_2 ,然后 r<米n>1 + r<米n>2 ＝ − b<米我>一个<米o separator="true"> ， r<米n>1 r<米n>2 ＝ c<米我>一个<米i mathvariant="normal"> ．<米sub> □ r_1 + r_2 = - \压裂{b}{一}\四r_1 r_2 = \压裂c{}{}。\ _ \广场 这一说法的证明将在本节的最后给出。我们马上就能看出二次方程的系数是如何帮助确定根之间的关系的。 如果 α \α 而且 β β\ 是二次方程的根吗 x<米n>2 − 4<米我>x<米o> + 9<米o> ＝ 0 X ^2 - 4x + 9 = 0 的值 α<米o> + β \ \α+β α<米我>β \α、β α<米n>2 + β<米n>2 ？ \alpha^2 + \beta ^2 ? 从越南的公式中，我们可以看出这一点 α<米o> + β<米o> ＝ 4 \alpha + \beta = 4 ． 从越南的公式中，我们可以看出这一点 α<米我>β<米o> ＝ 9 \alpha \beta = 9 ． 越南的公式没有告诉我们 α<米n>2 + β<米n>2 \alpha²+ \beta² 直接。我们需要做的，就是写作 α<米n>2 + β<米n>2 \alpha²+ \beta² 而言, α<米o> + β \ \α+β 和/或 α<米我>β \α、β ，然后我们可以把这些值代入。我们有 α<米n>2 + β<米n>2 ＝ （ α<米o> + β<米sup> ） 2 − 2<米我>α<米我>β ＝ 4<米n>2 − 2<米o> × 9 ＝ − 2.<米sub> □ \begin{array} {l l} \alpha²+ \beta²& = (\alpha + \beta)²- 2 \alpha \beta \\ & = 4²- 2 \ * 9 \\ & = - 2。\ _\square \\ \end{array} 请注意在这个问题中，根是复数 2<米o> ± 5 我 2 \pm \sqrt{5} I ．如果我们用这些作为的值 α \α 而且 β β\ 然后计算，我们更有可能在计算中出错。Vieta的公式为我们提供了一个更简单的方法。 你能快速猜出二次方程的根吗 x<米n>2 − 5<米我>x<米o> + 6<米o stretchy="false"> ？ x ^ 2-5x + 6 ? 如果 p p 而且 问 问 是给定方程的根，那么Vieta公式告诉我们 p<米o> + 问<米o> ＝ 5<米o separator="true"> ， p<米我>问<米o> ＝ 6<米o separator="true"> ， c \开始{数组}{}+ q = 5,代替pq = 6, \{数组} 这一点不难看出 2<米o> + 3.<米o> ＝ 5 2 + 3 = 5 而且 2<米o> × 3.<米o> ＝ 6. 2 \ * 3 = 6。 所以根一定是 2 2 而且 3. 3. ，他们确实是。 □ _ \广场 鉴于 α \α 而且 β β\ 是二次方程的根吗 一个<米sup> x<米n>2 + b<米我>x<米o> + c<米o> ＝ 0 ax ^2 + bx + c = 0 ,表达 b<米n>2 − 4<米我>一个<米我>c 一个<米n>2 \dfrac{b^2 - 4a c} {a^ 2} 而言, α \α 而且 β β\ ． Vieta公式告诉我们 − b 一个<米o> ＝ α<米o> + β \frac{-b}{a} = \alpha + \beta 而且 c<米我>一个<米o> ＝ α<米我>β \frac{c}{a} = \alpha \beta ．把这些代入，我们得到 b<米n>2 − 4<米我>一个<米我>c 一个<米n>2 ＝ b<米n>2 一个<米n>2 − 4<米fr一个c><米我> c<米我>一个 ＝ （ α<米o> + β<米sup> ） 2 − 4<米我>α<米我>β ＝ α<米n>2 + 2<米我>α<米我>β<米o> + β<米n>2 − 4<米我>α<米我>β ＝ α<米n>2 − 2<米我>α<米我>β<米o> + β<米n>2 ＝ （ α<米o> − β<米sup> ） 2 ．<米sub> □ \begin{array} {l l} \frac{b^2 - 4ac}{a ^2} & = \frac{b^2} {a ^2} - 4 \frac{c}{a} \\ & = (\alpha + \beta) ^2 - 4 \alpha \beta \\ & = \alpha^2 + 2 \alpha \beta \\ & = \alpha^2 - 2 \alpha \beta + \beta ^2 \\ & = (\alpha - \beta) ^2\ \ _ \广场结束数组{} 你可能认识 b<米n>2 − 4<米我>一个<米我>c b ^ 2 - 4 ac 从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-formula/" class="wiki_link" title="二次方程" target="_blank">二次方程．事实上，我们可以证明这一点 − b<米o> ± b<米n>2 − 4<米我>一个<米我>c 2<米我>一个 ＝ 1<米n>2<米row> （ − b 一个<米o> ± b<米n>2 − 4<米我>一个<米我>c 一个<米n>2 ） ＝ （ α<米o> + β<米o stretchy="false"> ） ± ∣<米我>α<米o> − β<米我米一个thvariant="normal"> ∣ 2<米o> ＝ α<米text> 或 β<米o separator="true"> ， \压裂{- b \ \下午sqrt {b ^ 2 - 4 ac}}{2} = \压裂{1}{2}\离开(\压裂{b}{} \ \√6下午{\压裂{b ^ 2 - 4 ac}{^ 2}} \右)= \压裂{\α+β\ \ |下午\α-β\ |}{2}{或}\βα= \ \文本, 证明了二次公式。 由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/remainder-factor-theorem/" class="wiki_link" title="其余因子定理" target="_blank">其余因子定理，因为多项式 f<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） f (x) 有根 r<米n>1 r_1 而且 r<米n>2 r_2 ，它必须有形式 f<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） ＝ 一个<米o stretchy="false"> （ x<米o> − r<米n>1 ） （ x<米o> − r<米n>2 ） ＝ 一个<米sup> x<米n>2 − 一个<米o stretchy="false"> （ r<米n>1 + r<米n>2 ） x<米o> + 一个<米sub> r<米n>1 r<米n>2 f (x) = (x - r_1) (x - r_2) = x ^ 2——(r_1 + r_2) x + r_1r_2 为一个常数 一个 一个 ．比较系数和 f<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） ＝ 一个<米sup> x<米n>2 + b<米我>x<米o> + c F (x) = ax^2 + bx + c ，我们得出的结论是 一个<米o> ＝ 一个<米o separator="true"> ， b<米o> ＝ − 一个<米o stretchy="false"> （ r<米n>1 + r<米n>2 ） a = a, b = -A (r1 + r_2) 而且 c<米o> ＝ 一个<米sub> r<米n>1 r<米n>2 c = A r_1 r_2 ．因此,我们得到 r<米n>1 + r<米n>2 ＝ − b<米我>一个<米o separator="true"> ， r<米n>1 r<米n>2 ＝ c<米我>一个<米i mathvariant="normal"> ．<米sub> □ r_1 + r_2 = - \压裂{b}{一}\四r_1 r_2 = \压裂c{}{}。\ _ \广场 维塔公式-形成二次方程 让 p p 而且 问 问 为一元二次方程的实根 x<米n>2 + b<米我>x<米o> + c<米o> ＝ 0<米o separator="true"> ， （ b<米o separator="true"> ， c<米o stretchy="false"> ） ∈ R<米n>2 ． c \开始{数组}{}x ^ 2 + bx + c = 0, & (b, c) \ \ mathbb {R} ^ 2。\{数组}结束 为什么首一?因为我们总可以用整个方程除以它的前导系数得到它的一个一元形式。我们能说什么 b<米o separator="true"> ， c b, c ？自 p p 而且 问 问 这个方程的根，可以因式分解为 x<米n>2 + b<米我>x<米o> + c<米o> ≡ （ x<米o> − p<米o fence="true"> ） （ x<米o> − 问<米o fence="true"> ） ． x ^ 2 + bx + c \枚\左(xp \) \左(x-q \右)。 展开右侧，重新排列，我们发现 x<米n>2 + b<米我>x<米o> + c<米o> ≡ x<米n>2 − （ p<米o> + 问<米o stretchy="false"> ） x<米o> + p<米我>问<米我米一个thvariant="normal"> ． x ^ 2 + bx + c \枚x ^ 2 - x + pq (p + q)。 因为两个多项式是相等的当且仅当它们的系数相等，通过使系数相等，我们得到 b<米o> ＝ − （ p<米o> + 问<米o stretchy="false"> ） ， c<米o> ＝ p<米我>问<米我米一个thvariant="normal"> ． \{数组}{c}开始与b = - (p + q)和c = pq。\{数组}结束 这就是所谓的二次多项式维塔公式。它可以类似地扩展到的多项式<一个target="_blank" rel="nofollow" href="#vietas-formula-higher-degrees">更高的学位．根可以推广到包含复数。也就是说，给定两个复数 p p 而且 问 问 ，我们总是可以构造一个一元二次元，它的根是 p p 而且 问 问 ．更具体地说，二次方程是 x<米n>2 − （ p<米o> + 问<米o stretchy="false"> ） x<米o> + p<米我>问<米o> ＝ 0. (x ^ 2) - p + q x + pq = 0。 什么时候两个系数都是实数?为了找到答案，设置 p<米o> ＝ p<米n>1 + p<米n>2 我 p = p_1 + p_2我 而且 问<米o> ＝ 问<米n>1 + 问<米n>2 我 q = q_1 + q_2我 ．那么系数是 b<米o> ＝ − （ p<米n>1 + 问<米n>1 ） − （ p<米n>2 + 问<米n>2 ） 我<米o separator="true"> ， c<米o> ＝ （ p<米n>1 问<米n>1 − p<米n>2 问<米n>2 ） + （ p<米n>1 问<米n>2 + p<米n>2 问<米n>1 ） 我<米我米一个thvariant="normal"> ． \{数组}{c}开始与b = -左(p_1 + q_1 \右)- \ \ (p_2 + q_2 \右)我离开,和c = \左(p_1q_1-p_2q_2 \右)+ \左(p_1q_2 + p_2q_1 \右)结束我。\{数组} 为 b b 要真实，我们需要 p<米n>2 + 问<米n>2 ＝ 0<米o> ⇒ p<米n>2 ＝ − 问<米n>2 p_2 + q_2 = 0 \ Rightarrow p_2 = -q_2 ．为 c c 要真实，我们需要 p<米n>1 问<米n>2 + p<米n>2 问<米n>1 ＝ 0<米o> ⇒ 问<米n>2 （ p<米n>1 − 问<米n>1 ） ＝ 0<米o separator="true"> ， p_1q_2 + p_2q_1 = 0 \ Rightarrow q_2 \离开(p_1-q_1 \右)= 0, 这意味着要么 问<米n>2 ＝ 0<米o> ＝ p<米n>2 q_2 = 0 = p_2 或 p<米n>1 ＝ 问<米n>1 p_1 = q_1 ．因此，我们两者都需要 p p 而且 问 问 真实的,或 p p 而且 问 问 是彼此的共轭复数。 求一个根为 2 2 而且 5 5 ． 设二次方程为 x<米n>2 + b<米我>x<米o> + c x ^ 2 + bx + c ，我们希望在那里找到 b b 而且 c c ．Vieta公式告诉我们 b<米o> ＝ − （ 2<米o> + 5<米o stretchy="false"> ） ＝ − 7<米o separator="true"> ， c<米o> ＝ 2<米o> × 5<米o> ＝ 10. \{数组}{c}开始与b = -(2 + 5 = 7,明目的功效= 2 \ * 5 = 10。\{数组}结束 因此需要的二次方程是 x<米n>2 − 7<米我>x<米o> + 10. x ^ 2-7x + 10。 □ _ \广场 求一个根为 3.<米o> + 2<米我>我 3 + 2我 而且 3.<米o> − 2<米我>我 3-2i ． 设期望的二次方程为 x<米n>2 + b<米我>x<米o> + c x ^ 2 + bx + c ，我们希望在那里找到 b b 而且 c c ．然后Vieta的公式告诉我们 b<米o> ＝ − ［ （ 3.<米o> + 2<米我>我<米o fence="true"> ） + （ 3.<米o> − 2<米我>我<米o fence="true"> ） ］ ＝ − 6<米o separator="true"> ， c<米o> ＝ （ 3.<米o> + 2<米我>我<米o fence="true"> ） （ 3.<米o> − 2<米我>我<米o fence="true"> ） ＝ 13. \{数组}{c}开始与b = - \离开[\离开(3 + 2我\)+ \左右(3-2i \) \] = 6,明目的功效= \离开(3 + 2我\)\左(3-2i \右)= 13。\{数组}结束 所以我们想要的二次方程是 x<米n>2 − 6<米我>x<米o> + 13. x ^ 2-6x + 13。 □ _ \广场 请注意:由于根是彼此的复共轭，因此二次方程的系数变为实数。 解方程组 一个<米o> + b<米o> ＝ 7<米o separator="true"> ， 一个<米我>b<米o> ＝ 10. \begin{array}{c}&a+b = 7， &ab = 10.\end{array} 根据维塔公式，我们知道这一点 一个 一个 而且 b b 是方程的根吗 x<米n>2 − 7<米我>x<米o> + 10<米o> ＝ 0 X ^2 - 7x + 10 = 0 ．因为我们可以因式分解 （ x<米o> − 2<米o stretchy="false"> ） （ x<米o> − 5<米o stretchy="false"> ） ＝ 0 (x-2) (x-5) =0 我们知道了 ｛ 一个<米o separator="true"> ， b<米o stretchy="false"> ｝ ＝ ｛ 2<米o separator="true"> ， 5<米o stretchy="false"> ｝ ． \{a,b \} = \{2,5 \}。 □ _ \广场 推广到高次多项式 考虑一个具有复系数和复根的二次方程 r<米n>1 r_1 ， r<米n>2 ： r_2: 一个<米n>2 x<米n>2 + 一个<米n>1 x<米o> + 一个<米n>0 ＝ 一个<米n>2 （ x<米o> − r<米n>1 ） （ x<米o> − r<米n>2 ） ． a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 = a₂(x-r_1) (x-r_2)。 通过比较系数，我们可以看到 r<米n>1 + r<米n>2 ＝ − 一个<米n>1 一个<米n>2 ， r<米n>1 r<米n>2 ＝ 一个<米n>0 一个<米n>2 ． c \开始{数组}{}&r_1 + r_2 = \压裂{a_1} {a₂},&r_1r_2 = \压裂{a_0} {a₂}。\{数组}结束 这给出了多项式的根和多项式系数之间的关系。将这个概念推广到一个次多项式 n n ，我们有以下公式: Vieta的公式：让 P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） ＝ 一个<米我>n x<米我>n + 一个<米row> n<米o> − 1 x<米row> n<米o> − 1 + ⋯ + 一个<米n>0 P (x) = a_nx ^ n +现代x ^ {n} {n} + \ cdots + a_0 是一个具有复系数和复次的多项式 n n ，具有复根 r<米我>n ， r<米row> n<米o> − 1 ， .．. ， r<米n>1 R_n, r_{n-1}， \ldots, r_1 ．对于任意整数 0<米o> ≤ k<米o> ≤ n<米o separator="true"> ， 0 \leq k \leq n， ∑ 1<米o> ≤ 我<米n>1 < 我<米n>2 < ⋯ < 我<米我>k ≤ n r<米sub> 我<米n>1 r<米sub> 我<米n>2 ⋯ r<米sub> 我<米我>k ＝ （ − 1<米sup> ） k 一个<米row> n<米o> − k 一个<米我>n ．<米sub> □ \ \ limits_{1和\ leq i_1 < i_2 < < i_k \ \ cdots leq n} r_ {i_1} r_ {i_2} \ cdots r_ {i_k} = (1) ^ k \压裂{现代{n - k}} {an}。\ _ \广场 Vieta公式左边的表达式是初等对称函数 r<米n>1 ， r<米n>2 ， .．. r<米我>n R_1, r_2， \ldots r_n ．下面通过比较方程中的系数来证明Vieta公式 一个<米我>n x<米我>n + 一个<米row> n<米o> − 1 x<米row> n<米o> − 1 + ⋯ + 一个<米n>0 ＝ 一个<米我>n （ x<米o> − r<米n>1 ） （ x<米o> − r<米n>2 ） （ x<米o> − r<米n>3. ） ⋯ （ x<米o> − r<米我>n ） ． a_nx ^ n +现代x ^ {n} {n} + \ cdots + a_0 = an (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) \ cdots (x-r_n)。 和二次方程一样，Vieta的公式给出了求根和的公式: ∑ 我<米o> ＝ 1 n r<米我>我 ＝ − 一个<米row> n<米o> − 1 一个<米我>n ． \sum_{i=1}^n r_i = - \frac{a_{n-1}}{a_n}。 同样地，我们有下面的根积方程: r<米n>1 r<米n>2 ⋯ r<米我>n ＝ （ − 1<米sup> ） n 一个<米n>0 一个<米我>n ． R_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \frac{a_{0}}{a_n}。 Vieta的公式给出了多项式根和系数之间的关系，这在解决问题时很有用。 假设 k k 一个数是三次多项式吗 P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） ＝ − 2<米sup> x<米n>3. + 48<米sup> x<米n>2 + k P(x) = -2x³+ 48x²+ k 有三个整数根，都是素数。有多少不同的可能值 k<米o stretchy="false"> ？ k ? 让 p<米o separator="true"> ， 问<米o separator="true"> ， p, q, 而且 r r 表示的三个整数根 P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） P (x) ．根据Vieta的公式，我们有 p<米我>问<米o> + 问<米我>r<米o> + p<米我>r<米o> ＝ 0 Pq + qr + pr = 0 ,但由于 p<米o separator="true"> ， 问 p, q 而且 r r 是否质数，它们都严格大于1，因此没有质数 P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） P (x) 的存在。 □ _ \广场 [1968 Putnam Exam]找出所有多项式 P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） ＝ x<米我>n + 一个<米row> n<米o> − 1 x<米row> n<米o> − 1 + ⋯ + 一个<米n>0 P (x) = x ^ n +现代x ^ {n} {n} + \ cdots + a_0 这样 一个<米我>我 ＝ ± 1 ai = \点1 对所有 0<米o> ≤ 我<米o> ≤ n<米o> − 1 0 \leq I \leq n-1 满足所有根的条件 P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） P (x) 是真实的。 如果 r<米n>1 ， r<米n>2 ， ⋯ ， r<米我>n R_1, r_2， \cdots, r_n 是真正的根吗 P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） P (x) ，那么Vieta的公式意味着 ∑ 我<米o> ＝ 1 n r<米我>我 ＝ − 一个<米row> n<米o> − 1 而且 ∑ 1<米o> ≤ 我<米o> < j<米o> ≤ n r<米我>我 r<米我>j ＝ 一个<米row> n<米o> − 2 ， \ sum_ {i = 1} ^ n r_i =现代文本{和}{n} \ \ sum_ {1 \ leq我< j \ leq n} r_i r_j =现代{2}, 这意味着 ∑ 我<米o> ＝ 1 n r<米我>我<米n>2 ＝ （ ∑ 我<米o> ＝ 1 n r<米我>我 ） 2 − 2<米row> （ ∑ 1<米o> ≤ 我<米o> < j<米o> ≤ n r<米我>我 r<米我>j ） ＝ 一个<米row> n<米o> − 1 2 − 2<米sub> 一个<米row> n<米o> − 2 ≤ 3. {对齐}\ \开始sum_ {i = 1} ^ n r_i ^ 2 & = \离开(\ sum_ {i = 1} ^ n r_i \右)^ 2 - 2左(\ \ sum_ {1 \ leq i < j \ leq n} r_i r_j \) \ \ & =现代{n} ^ 2 2现代{2}\ \ & \ leq 3。\ \ \{对齐}结束 注意，这也表明了这一点 一个<米row> n<米o> − 1 2 − 2<米sub> 一个<米row> n<米o> − 2 ≥ 0 A_ {n-1}^2 -2 A_ {n-2} \geq 0 因为左边是实数平方和。自 一个<米row> n<米o> − 1 ＝ ± 1 A_ {n-1} = \pm ,这意味着 一个<米row> n<米o> − 2 ＝ − 1 现代{2}= 1 ．根据Vieta的公式， （ r<米n>1 r<米n>2 ⋯ r<米我>n ） 2 ＝ 1 \左(r_1 r_2 \cdots r_n \右)^2 = 1 ．然后由<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-mean-geometric-mean/">AM-GM不平等，我们有 ∑ 我<米o> ＝ 1 n r<米我>我<米n>2 ≥ n \sum_{i=1}^n r_i^2 \geq n ,这意味着 n<米o> ≤ 3. n \ leq 3 ．然后我们可以列举所有这样的多项式来找到解 x<米o> ± 1 x \下午1 ， x<米n>2 ± x<米o> − 1 X ^2 \pm X -1 , x<米n>3. − x<米o> ± （ x<米n>2 − 1<米o stretchy="false"> ） X ^3 - X \pm (X ^2-1) ． □ _ \广场 让 r<米n>1 ， r<米n>2 r_1, r_2 而且 r<米n>3. r_3 是多项式的根 5<米sup> x<米n>3. − 11<米sup> x<米n>2 + 7<米我>x<米o> + 3. 5 x ^ 3 x -11 x ^ 2 + 7 + 3 ．评估 r<米n>1<米n>3. + r<米n>2<米n>3. + r<米n>3.<米n>3. ． r_1 ^ 3 + r_2 ^ 3 + r_3 ^ 3。 在这个问题中，Vieta公式的应用不是很明显，表达式必须进行变换。从<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/assessment/techniques-trainer/advanced-factorization/">分解4，我们有 r<米n>1<米n>3. + r<米n>2<米n>3. + r<米n>3.<米n>3. ＝ 3.<米sub> r<米n>1 r<米n>2 r<米n>3. + （ r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. ） ［ r<米n>1<米n>2 + r<米n>2<米n>2 + r<米n>3.<米n>2 − （ r<米n>1 r<米n>2 + r<米n>2 r<米n>3. + r<米n>3. r<米n>1 ） ］ ． r_1 ^ 3 + r_2 ^ 3 + r_3 ^ 3 = 3 r_1r_2r_3 +左(r_1 + r_2 + r_3) \ [r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2 - (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) \]。 现在我们只需要知道如何计算 r<米n>1<米n>2 + r<米n>2<米n>2 + r<米n>3.<米n>2 r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2 ．根据因式分解，我们有 r<米n>1<米n>2 + r<米n>2<米n>2 + r<米n>3.<米n>2 ＝ （ r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. ） 2 − 2<米o stretchy="false"> （ r<米n>1 r<米n>2 + r<米n>2 r<米n>3. + r<米n>3. r<米n>1 ） ， r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2 = (r_1 + r_2 + r_3) ^ 2 - 2 (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) 这让我们得出结论 r<米n>1<米n>3. + r<米n>2<米n>3. + r<米n>3.<米n>3. ＝ 3.<米sub> r<米n>1 r<米n>2 r<米n>3. + （ r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. ） ［ r<米n>1<米n>2 + r<米n>2<米n>2 + r<米n>3.<米n>2 − （ r<米n>1 r<米n>2 + r<米n>2 r<米n>3. + r<米n>3. r<米n>1 ） ］ ＝ 3.<米sub> r<米n>1 r<米n>2 r<米n>3. + （ r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. ） ［ （ r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. ） 2 − 3.<米o stretchy="false"> （ r<米n>1 r<米n>2 + r<米n>2 r<米n>3. + r<米n>3. r<米n>1 ） ］ ＝ 3.<米o> × （ − 3.<米n>5<米o fence="true"> ） + （ 11<米n>5<米o fence="true"> ） ［ （ 11<米n>5<米o fence="true"> ） 2 − 3.<米o> × 7<米n>5<米o fence="true"> ］ ＝ − 49<米n>125<米我 mathvariant="normal"> ．<米sub> □ \{数组}{l l}开始r_1 ^ 3 + r_2 ^ 3 + r_3 ^ 3 & = 3 r_1r_2r_3 +左(r_1 + r_2 + r_3) \ [r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2 - (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) \] \ \ & = 3 r_1r_2r_3 +左(r_1 + r_2 + r_3) \ [(r_1 + r_2 + r_3) ^ 2 - 3 (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) \] \ \ & = 3 \ * \离开(- \压裂{3}{5}\右)+ \离开(\压裂{11}{5}\)\左\[左(\压裂{11}{5}\右)^ 2 - 3 \ * \压裂{7}{5}\ ] \\ & = -\ 压裂{49}{125}。\ \ _ \广场结束数组{} 越南公式问题解决-基本 提交你的答案 让 一个 一个 而且 b b 是两个不同的实数 一个<米n>2 + 3.<米我>一个<米o> + 1<米o> ＝ b<米n>2 + 3.<米我>b<米o> + 1<米o> ＝ 0 ^ 2 + 3 + 1 = ^ 2 + 3 b + 1 = 0 ．找到…的价值 一个<米我>b<米o> + b<米我>一个 \ \压裂压裂{一}{b} + {b}{一} ． 求满足下列方程组的所有复数三元组: 一个<米o> + b<米o> + c ＝ 0 一个<米我>b<米o> + b<米我>c<米o> + c<米我>一个 ＝ 0 一个<米我>b<米我>c ＝ 0. \begin{aligned} a + b + c & = 0\\ ab + BC + ca & = 0\\ ABC & = 0。结束\{对齐} 任何 3. 3. 数字 （ 一个<米o separator="true"> ， b<米o separator="true"> ， c<米o stretchy="false"> ） (a, b, c) 可以看作是一次三次多项式的根吗 P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） ＝ （ x<米o> − 一个<米o stretchy="false"> ） （ x<米o> − b<米o stretchy="false"> ） （ x<米o> − c<米o stretchy="false"> ） ． P (x) = (x)(取向)(得到)。 将维塔公式应用到多项式上，我们得到 P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） ＝ x<米n>3. P (x) = x ^ 3 ．的唯一根 P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） P (x) 是 x<米o> ＝ 0 x = 0 (与多样性 3. 3. )，这意味着 （ 0<米o separator="true"> ， 0<米o separator="true"> ， 0<米o stretchy="false"> ） (0, 0, 0) 是满足方程组的唯一复数的三倍。 □ _ \广场 让 r<米n>1 ， r<米n>2 r_1, r_2 而且 r<米n>3. r_3 是多项式的根 5<米sup> x<米n>3. − 11<米sup> x<米n>2 + 7<米我>x<米o> + 3. 5 x ^ 3 x -11 x ^ 2 + 7 + 3 ．评估 r<米n>1 （ 1<米o> + r<米n>2 + r<米n>3. ） + r<米n>2 （ 1<米o> + r<米n>3. + r<米n>1 ） + r<米n>3. （ 1<米o> + r<米n>1 + r<米n>2 ） ． r_1 (1 + r_2 + r_3) + r_2 (1 + r_3 + r_1) + r_3 (1 + r_1 + r_2)。 这个表达式等于 r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. + 2<米o stretchy="false"> （ r<米n>1 r<米n>2 + r<米n>2 r<米n>3. + r<米n>3. r<米n>1 ） r_1 + r_2 + r_3 + 2 (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) ．根据维塔公式，我们知道这一点 r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. ＝ − − 11 5<米o> ＝ 11<米n>5<米o separator="true"> ， r<米n>1 r<米n>2 + r<米n>2 r<米n>3. + r<米n>3. r<米n>1 ＝ 7<米n>5<米o separator="true"> ， r<米n>1 r<米n>2 r<米n>3. ＝ − 3.<米n>5<米o separator="true"> ， c \开始{数组}{}&r_1 + r_2 + r_3 = - \压裂{-11}{5}= \压裂{11}{5},&r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1 = \压裂{7}{5},&r_1r_2r_3 = - \压裂{3},{5}\{数组}结束 所以 r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. + 2<米o stretchy="false"> （ r<米n>1 r<米n>2 + r<米n>2 r<米n>3. + r<米n>3. r<米n>1 ） ＝ 11<米n>5<米o> + 2<米o> × 7<米n>5 ＝ 25<米n>5 ＝ 5.<米sub> □ \{对齐}开始r_1 + r_2 + r_3 + 2 (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) & = \压裂{11}{5}+ 2 \ \压裂{7}{5}\ \ & = \压裂{25}{5}\ \ & = 5。\ \ _ \广场结束{对齐} 请注意:一种常见的方法是尝试找到多项式的每个根，特别是当我们知道其中一个根必须是实数(为什么?)然而，这并不一定是一个可行的选择，因为我们很难确定根是什么。 提交你的答案 如果二次方程的根的倒数和 3.<米sup> x<米n>2 + 7<米我>x<米o> + k<米o> ＝ 0 3 x ^ 2 + 7 x + k = 0 是 7<米n>3. \压裂{7}{3} 是什么 k<米o stretchy="false"> ？ k ? 维塔公式问题解决-中级 让 r<米n>1 ， r<米n>2 r_1, r_2 而且 r<米n>3. r_3 是多项式的根 5<米sup> x<米n>3. − 11<米sup> x<米n>2 + 7<米我>x<米o> + 3. 5 x ^ 3 x -11 x ^ 2 + 7 + 3 ．评估 r<米n>1<米n>3. + r<米n>2<米n>3. + r<米n>3.<米n>3. ． r_1 ^ 3 + r_2 ^ 3 + r_3 ^ 3。 在这个问题中，Vieta公式的应用不是很明显，表达式必须进行变换。根据因式分解，我们有 r<米n>1<米n>3. + r<米n>2<米n>3. + r<米n>3.<米n>3. ＝ 3.<米sub> r<米n>1 r<米n>2 r<米n>3. + （ r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. ） ［ r<米n>1<米n>2 + r<米n>2<米n>2 + r<米n>3.<米n>2 − （ r<米n>1 r<米n>2 + r<米n>2 r<米n>3. + r<米n>3. r<米n>1 ） ］ ． r_1 ^ 3 + r_2 ^ 3 + r_3 ^ 3 = 3 r_1r_2r_3 +左(r_1 + r_2 + r_3) \ [r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2 - (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) \]。 现在我们只需要知道如何计算 r<米n>1<米n>2 + r<米n>2<米n>2 + r<米n>3.<米n>2 r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2 ．根据因式分解，我们有 r<米n>1<米n>2 + r<米n>2<米n>2 + r<米n>3.<米n>2 ＝ （ r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. ） 2 − 2<米o stretchy="false"> （ r<米n>1 r<米n>2 + r<米n>2 r<米n>3. + r<米n>3. r<米n>1 ） ， r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2 = (r_1 + r_2 + r_3) ^ 2 - 2 (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) 这让我们得出结论 r<米n>1<米n>3. + r<米n>2<米n>3. + r<米n>3.<米n>3. ＝ 3.<米sub> r<米n>1 r<米n>2 r<米n>3. + （ r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. ） ［ r<米n>1<米n>2 + r<米n>2<米n>2 + r<米n>3.<米n>2 − （ r<米n>1 r<米n>2 + r<米n>2 r<米n>3. + r<米n>3. r<米n>1 ） ］ ＝ 3.<米sub> r<米n>1 r<米n>2 r<米n>3. + （ r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. ） ［ （ r<米n>1 + r<米n>2 + r<米n>3. ） 2 − 3.<米o stretchy="false"> （ r<米n>1 r<米n>2 + r<米n>2 r<米n>3. + r<米n>3. r<米n>1 ） ］ ＝ 3.<米o> × （ − 3.<米n>5<米o fence="true"> ） + （ 11<米n>5<米o fence="true"> ） ［ （ 11<米n>5<米o fence="true"> ） 2 − 3.<米o> × 7<米n>5<米o fence="true"> ］ ＝ − 49<米n>125<米我 mathvariant="normal"> ．<米sub> □ \{数组}{l l}开始r_1 ^ 3 + r_2 ^ 3 + r_3 ^ 3 & = 3 r_1r_2r_3 +左(r_1 + r_2 + r_3) \ [r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2 - (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) \] \ \ & = 3 r_1r_2r_3 +左(r_1 + r_2 + r_3) \ [(r_1 + r_2 + r_3) ^ 2 - 3 (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) \] \ \ & = 3 \ * \离开(- \压裂{3}{5}\右)+ \离开(\压裂{11}{5}\)\左\[左(\压裂{11}{5}\右)^ 2 - 3 \ * \压裂{7}{5}\ ] \\ & = -\ 压裂{49}{125}。\ \ _ \广场结束数组{} 如果 α<米o separator="true"> ， β \α,β\ 是方程的根吗 x<米n>2 + 2<米我>x<米o> + 3.<米o> ＝ 0 X ^2 +2x+3 = 0 什么是根是的二次方程 （ α<米o> − 1<米我>α ） 2 \左(\alpha - \dfrac{1}{\alpha} \右)^2 而且 （ β<米o> − 1<米我>β ） 2 ？ \左(\beta - \dfrac{1}{\beta} \右)^ 2? [ARML 2012，团队问题，#6]的零 f<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） ＝ x<米n>6 + 2<米sup> x<米n>5 + 3.<米sup> x<米n>4 + 5<米sup> x<米n>3. + 8<米sup> x<米n>2 + 13<米我>x<米o> + 21 F (x) = x^6 + 2x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 8x^2 + 13x + 21 是不同的复数。的平均值 一个<米o> + B<米我>C<米o> + D<米我>E<米我>F A + BC + def 除以所有可能的排列 （ 一个<米o separator="true"> ， B<米o separator="true"> ， C<米o separator="true"> ， D<米o separator="true"> ， E<米o separator="true"> ， F<米o stretchy="false"> ） (a, b, c, d, e, f) 这六个数字。 越南公式问题解决-高级 (国际海事组织名单)确定参数的所有实值 一个 一个 这个方程 16<米sup> x<米n>4 − 一个<米sup> x<米n>3. + （ 2<米我>一个<米o> + 17<米o stretchy="false"> ） x<米n>2 − 一个<米我>x<米o> + 16<米o> ＝ 0 16 x ^ 4 ax ^ 3 + (2 + 17) x ^ 2 ax + 16 = 0 恰好有四个不同的实根构成一个几何级数。 假设 一个 一个 满足问题的要求 x x ， 问<米我>x qx、 ， 问<米n>2 x 问^ 2 x ， 问<米n>3. x 问^ 3 x 是给定方程的根。然后 x<米我米一个thvariant="normal"> ≠<米n>0 x \ neq 0 我们可以这样假设 ∣<米我>问<米我米一个thvariant="normal"> ∣<米o> > 1 q | | > 1 ,所以 ∣<米我>x<米我米一个thvariant="normal"> ∣<米o> < ∣<米我>问<米我>x<米我米一个thvariant="normal"> ∣<米o> < ∣<米sup> 问<米n>2 x<米我米一个thvariant="normal"> ∣<米o> < ∣<米sup> 问<米n>3. x<米我米一个thvariant="normal"> ∣ x < | | | qx | < | q q x ^ 3 ^ 2 x < | | | ．注意这些系数是对称的，即第一个系数与第五个系数相同，第二个系数与第四个系数相同，第三个系数与第三个系数相同。它向我们保证如果 α \α 是根，那么它的倒数(是 α<米row> − 1 ＝ 1<米我>α \alpha ^{-1} = \frac{1}{\alpha} )也将是一个根。因此, 1<米我>x<米o> ＝ 问<米n>3. x<米o separator="true"> ， \frac{1}{x} = q^3 x， 所以 问<米o> ＝ x<米row> − 2<米n>3. Q = x^{-\frac{2}{3}} 根是 x<米o separator="true"> ， x<米fr一个c><米n> 1<米n>3. ， x<米fr一个c><米row> − 1 3. ， x<米row> − 1 X, X ^{\frac{1}{3}}， X ^{\frac{-1}{3}}， X ^{-1} ．根据Vieta的公式 x<米o> + x<米fr一个c><米n> 1<米n>3. + x<米fr一个c><米row> − 1 3. + x<米row> − 1 ＝ 一个<米n>16 x + x ^{\压裂{1}{3}}+ x ^{\压裂{1}{3}}+ x ^{1} = \压裂{一}{16} 而且 x<米fr一个c><米n> 4<米n>3. + x<米fr一个c><米n> 2<米n>3. + 1<米o> + 1<米o> + x<米fr一个c><米row> − 2 3. + x<米fr一个c><米row> − 4 3. ＝ 2<米我>一个<米o> + 17 16 x ^{\压裂{4}{3}}+ x ^{\压裂{2}{3}}+ 1 + 1 + x ^{\压裂{2}{3}}+ x ^{\压裂{4}{3}}= \压裂{2 + 17}{16} ．在设置 z<米o> ＝ x<米fr一个c><米n> 1<米n>3. + x<米fr一个c><米row> − 1 3. z = x ^{\压裂{1}{3}}+ x ^{\压裂{1}{3}} 这些方程成为 z<米n>3. − 2<米我>z<米o> ＝ 一个<米n>16<米o separator="true"> ， （ z<米n>2 − 2<米sup> ） 2 + z<米n>2 − 2<米o> ＝ 2<米我>一个<米o> + 17 16<米我 mathvariant="normal"> ． c \开始{数组}{}z ^ 3-2z = \压裂{一}{16},& (z ^ 2 - 2) ^ 2 + z ^ 2 = \压裂{2 + 17}{16}\{数组}结束。 替换 一个<米o> ＝ 16<米o stretchy="false"> （ z<米n>3. − 2<米我>z<米o stretchy="false"> ） = 16 (z ^ 3-2z) 第二个方程的结果是 z<米n>4 − 2<米sup> z<米n>3. − 3.<米sup> z<米n>2 + 4<米我>z<米o> + 15<米n>16<米o> ＝ 0 z ^ 4-2z ^ 3-3z ^ 2 + 4 z + \压裂{15}{16}= 0 ．我们观察到这个多项式因式为 （ z<米o> + 3.<米n>2<米o fence="true"> ） （ z<米o> − 5<米n>2<米o fence="true"> ） （ z<米n>2 − z<米o> − 1<米n>4<米o fence="true"> ） 左(z + \ \压裂{3}{2}\)\离开(z - \压裂{5}{2}\)\离开(z ^ 2 z - \压裂{1}{4}\右) ．自 ∣<米我>z<米我米一个thvariant="normal"> ∣<米o> ＝ ∣ x<米fr一个c><米n> 1<米n>3. + x<米row> − 1<米n>3. ∣ ≥ 2 z | | = \左| x ^{\压裂{1}{3}}+ x ^{\压裂{1},{3}}\ | \组的2 ，唯一可行的价值是 z<米o> ＝ 5<米n>2 z = \压裂{5}{2} ．因此 一个<米o> ＝ 170. 一个= 170。 重新排列方程，得到 16<米row> （ x<米n>2 + 1<米sup> x<米n>2 ） − 170<米row> （ x<米o> + 1<米我>x<米o fence="true"> ） + 357<米o> ＝ 0 16 \离开(x ^ 2 + \压裂{1}{x ^ 2} \右)- 170 \离开(x + \压裂{1}{x} \右)+ 357 = 0 ．为了简化，我们可以叫 y<米o> ＝ x<米o> + 1<米我>x Y = x + \frac{1}{x} 因此 y<米n>2 ＝ x<米n>2 + 2<米o> + 1<米sup> x<米n>2 Y²= x²+ 2 + \frac{1}{x²} ，从而得到一个新的形式 16<米o stretchy="false"> （ y<米n>2 − 2<米o stretchy="false"> ） − 170<米我>y<米o> + 357<米o> ＝ 0<米text> ⟹ 16<米sup> y<米n>2 − 170<米我>y<米o> + 325<米o> ＝ 0<米o separator="true"> ， 16 (y^2 - 2) - 170y + 357 = 0 \隐含着16y^2 - 170y +325 = 0， 的根是 5<米n>2 \压裂{5}{2} 而且 65<米n>8 \压裂{65}{8} ．我们得把这两个插回去 y<米o> ＝ x<米o> + 1<米我>x Y = x + \frac{1}{x} ，引导我们再进行两个二次运算，最后得到 1<米n>8 ， 1<米n>2 ， 2<米o separator="true"> ， 8. □ {数组}{c} & \ \开始dfrac {1} {8}, & \ dfrac{1}{2},至2,8条。结束\{数组}\ _ \广场 (由<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/profile/mark-4vl4ha/feed/">马克·亨宁）表明, ∑ j<米o> ＝ 1 n 床<米o> ⁡ 2 （ j<米我>π 2<米我>n<米o> + 1 ） ＝ 1<米n>3. n<米o stretchy="false"> （ 2<米我>n<米o> − 1<米o stretchy="false"> ） \ sum_ {j = 1} ^ n \床^ 2 \大(\ tfrac {j \π}{2 n + 1} \大)\;= \;\ tfrac13n (2 n - 1) 对于任何一个整数 n<米o> ≥ 1 n \通用电气1 ． (解决方案<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/profile/aditya-85fq8c/">Aditya沙玛）让我们从任何正整数的德莫维定理开始 米<米o> ： m: （ 因为<米o> ⁡ x<米o> + 我<米我>罪<米o> ⁡ x<米sup> ） 米 ＝ 因为<米o> ⁡ 米<米我>x<米o> + 我<米我>罪<米o> ⁡ 米<米我>x 因为<米o> ⁡ 米<米我>x<米o> + 我<米我>罪<米o> ⁡ 米<米我>x 罪<米o> ⁡ 米 x ＝ （ 床<米o> ⁡ x<米o> + 我<米sup> ） 米 ＝ 床<米o> ⁡ 米 x<米o> + （ 米<米n>1<米o fence="true"> ） 床<米o> ⁡ 米<米o> − 1 （ x<米o stretchy="false"> ） 我<米o> + ⋯ + （ 米<米row> 米<米o> − 1 ） 床<米o> ⁡ （ x<米o stretchy="false"> ） 我<米row> 米<米o> − 1 + 我<米我>米 ． \{对齐}开始(\ cos x + i \ sin (x)) ^猴= \ cos mx + i \罪mx \ \ \压裂{\因为mx + i \罪mx} {\ sin ^ m x} & = x + i)(\床^ m \ \ & = \床^ m x + \ binom {m}{1} \床^ {m - 1} (x) i + \ cdots + \ binom {m} {m - 1} \床(x)我^ {m - 1} + i ^ m。结束\{对齐} 我们可以将RHS分组如下，因为我们已经这样做了 我<米n>2 ＝ − 1<米o> ： 我^ 2 = 1: 园艺学会 ＝ （ 床<米o> ⁡ 米 x<米o> − （ 米<米n>2<米o fence="true"> ） 床<米o> ⁡ 米<米o> − 2 x<米o> + ⋯ ） + 我<米row> （ （ 米<米n>1<米o fence="true"> ） 床<米o> ⁡ 米<米o> − 1 x<米o> − （ 米<米n>3.<米o fence="true"> ） 床<米o> ⁡ 米<米o> − 3. x<米o> + ⋯ ） ． {RHS} = \ \文本左(\床^ m x - \ binom {m}{2} \床^ {m - 2} x + \ cdots \右)+ i \离开(\ binom {m}{1} \床^ {m - 1} x - \ binom {m}{3} \床^ {m3} x + \ cdots \右)。 将LHS和RHS上的虚部相等，我们得到 （ 米<米n>1<米o fence="true"> ） 床<米o> ⁡ 米<米o> − 1 x<米o> − （ 米<米n>3.<米o fence="true"> ） 床<米o> ⁡ 米<米o> − 3. x<米o> + ⋯ ＝ 罪<米o> ⁡ 米<米我>x 罪<米o> ⁡ 米 x ． m \ binom{}{1} \床^ {m - 1} x - \ binom {m}{3} \床^ {m3} x + \ cdots = \压裂{\罪mx} {\ sin ^ m x}。 现在如果我们让 米<米o> ＝ 2<米我>n<米o> + 1 m = 2 n + 1 而且 x<米o> ＝ j<米我>π 米 x = \压裂{j \π}{m} 对于任何 j<米o> ＝ 1<米o separator="true"> ， 2<米o separator="true"> ， .．. ， 米 j = 1, 2 \ ldots m ，则方程化简为 （ 2<米我>n<米o> + 1 1<米o fence="true"> ） 床<米o> ⁡ 2<米我>n x<米o> − （ 2<米我>n<米o> + 1 3.<米o fence="true"> ） 床<米o> ⁡ 2<米我>n<米o> − 2 x<米o> + ⋯ ＝ 0 \ binom {2 n + 1}{1} \床^ {2 n} x - \ binom {2 n + 1}{3} \床^ {2 - 2}x + \ cdots = 0 自 罪<米o> ⁡ 米<米我>x<米o> ＝ 罪<米o> ⁡ j<米我>π<米o> ＝ 0. 罪\ mx = \罪j \π= 0。 让 床<米o> ⁡ 2 x<米o> ＝ u<米o separator="true"> ， \cot^2 x = u， 然后方程就出来了 u u 它的根和由 （ 2<米我>n<米o> + 1 3.<米o fence="true"> ） （ 2<米我>n<米o> + 1 1<米o fence="true"> ） \ displaystyle \压裂{\ binom {2 n + 1} {3}} {\ binom {2 n + 1} {1}} 我们从越南的公式中知道。自 x<米o> ＝ j<米我>π 2<米我>n<米o> + 1 ， x = \压裂{j \π}{2 n + 1}, ∑ j<米o> ＝ 1 n 床<米o> ⁡ 2 j<米我>π 2<米我>n<米o> + 1 ＝ （ 2<米我>n<米o> + 1 3.<米o fence="true"> ） （ 2<米我>n<米o> + 1 1<米o fence="true"> ） ＝ 1<米n>6<米n> 2<米我>n<米o stretchy="false"> （ 2<米我>n<米o> − 1<米o stretchy="false"> ） ＝ 1<米n>3.<米我> n<米o stretchy="false"> （ 2<米我>n<米o> − 1<米o stretchy="false"> ） ．<米sub> □ {对齐}\ \开始sum_ {j = 1} ^ {n} \床^ 2 \压裂{j \π}{2 n + 1} & = \压裂{\ binom {2 n + 1} {3}} {\ binom {2 n + 1}{1}} \ \ & = \压裂{1}{6}2 n (2 n - 1) \ \ & = \压裂{1}{3}n (2 n - 1)。\ \ _ \广场结束{对齐} 是什么 ∑ k<米o> ＝ 1 n 床<米o> ⁡ 4 （ k<米我>π 2<米我>n<米o> + 1 ） ？ \ sum_ {k = 1} ^ n \床^ 4 \大(\ tfrac {k \π}{2 n + 1} \大)? 让 w w 是任何<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/primitive-roots-of-unity/" class="wiki_link" title="原始的" target="_blank">原始的 （ 2<米我>n<米o> + 1<米sup> ） th 文本(2 n + 1) ^ \ {th} 根的团结。然后, P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） ＝ x<米row> 2<米我>n<米o> + 1 − 1 x<米o> − 1 P (x) = \ dfrac {x ^ {2 n + 1} 1} {x - 1} 将根 w<米o separator="true"> ， w<米n>2 ， .．. ， w<米row> 2<米我>n w w ^ 2 \ ldots w ^ {2 n} ．我们也知道 罪<米o> ⁡ （ π<米我>k 2<米我>n<米o> + 1 ） ＝ w<米row> k<米我米一个thvariant="normal"> /<米n>2 − w<米row> − k<米我米一个thvariant="normal"> /<米n>2 2<米我>我 左(\ \罪\压裂{\πk} {2 n + 1} \右)= \压裂{w ^ {k / 2} - w ^ {- k / 2}}{2我} 而且 因为<米o> ⁡ （ π<米我>k 2<米我>n<米o> + 1 ） ＝ w<米row> k<米我米一个thvariant="normal"> /<米n>2 + w<米row> − k<米我米一个thvariant="normal"> /<米n>2 2 左(\ \因为\压裂{\πk} {2 n + 1} \右)= \压裂{w ^ {k / 2} + w ^ {- k / 2}} {2} ．然后 床<米o> ⁡ （ π<米我>k 2<米我>n<米o> + 1 ） ＝ 我<米o stretchy="false"> （ w<米我>k + 1<米o stretchy="false"> ） w<米我>k − 1 左(\ \床\压裂{\πk} {2 n + 1} \右)= \压裂{我(w ^ k + 1)} {w ^ k - 1} ．因此,总和 年代 年代 (说) 年代<米o> ＝ ∑ k<米o> ＝ 1 n （ w<米我>k + 1 w<米我>k − 1 ） 4 ． S = \ sum_ {k = 1} ^ {n} \离开(\ dfrac {w ^ k + 1} {w ^ k - 1} \右)^ 4。 现在，我们要做一个根的多项式变换 y<米o> ＝ x<米o> + 1 x<米o> − 1 y = \压裂{x + 1} {x - 1} ,然后 x<米o> ＝ y<米o> + 1 y<米o> − 1 x = \压裂{y + 1} {y-1} ．代入 P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） P (x) ： P<米o stretchy="false"> （ x<米o stretchy="false"> ） ＝ （ y<米o> + 1 y<米o> − 1 ） 2<米我>n<米o> + 1 − 1 y<米o> + 1 y<米o> − 1 − 1 ． P (x) = \ dfrac{\离开(\ dfrac {y + 1} {y-1} \右)^ {2 n + 1} 1} {\ dfrac {y + 1} {y-1} 1}。 化简成多项式，我们得到 P<米o stretchy="false"> （ y<米o stretchy="false"> ） ＝ （ y<米o> + 1<米sup> ） 2<米我>n<米o> + 1 − （ y<米o> − 1<米sup> ） 2<米我>n<米o> + 1 ． P (y) = (y + 1) ^ {2 n + 1} - (y-1) ^ {2 n + 1}。 再次展开和简化: P<米o stretchy="false"> （ y<米o stretchy="false"> ） ＝ 2<米row> （ 2<米我>n<米o> + 1 1<米o fence="true"> ） （ y<米n>2 ） n + 2<米row> （ 2<米我>n<米o> + 1 3.<米o fence="true"> ） （ y<米n>2 ） n<米o> − 1 + 2<米row> （ 2<米我>n<米o> + 1 5<米o fence="true"> ） （ y<米n>2 ） n<米o> − 2 + ⋯ ． P (y) = 2 \ binom {2 n + 1}{1} \大(y ^ 2 \大)^ n + 2 \ binom {2 n + 1}{3} \大(y ^ 2 \大)^ {n} + 2 \ binom {2 n + 1}{5} \大(y ^ 2 \大)^ {2}+ \ cdots。 最后，根据维塔公式，我们的和是 年代<米o> ＝ ∑ k<米o> ＝ 1 n y<米我>k<米n>4 ＝ （ ∑ k<米o> ＝ 1 n y<米我>k<米n>2 ） 2 − 2<米row> （ ∑ 1<米o> ≤ j<米o> < k<米o> ≤ n y<米我>j<米n>2 y<米我>k<米n>2 ） ＝ （ − 2<米row> （ 2<米我>n<米o> + 1 3.<米o fence="true"> ） 2<米row> （ 2<米我>n<米o> + 1 1<米o fence="true"> ） ） 2 − 2<米row> （ 2<米row> （ 2<米我>n<米o> + 1 5<米o fence="true"> ） 2<米row> （ 2<米我>n<米o> + 1 1<米o fence="true"> ） ） ＝ n<米n>2 （ 2<米我>n<米o> − 1<米sup> ） 2 9<米o> − n<米o stretchy="false"> （ 2<米我>n<米o> − 1<米o stretchy="false"> ） （ n<米o> − 1<米o stretchy="false"> ） （ 2<米我>n<米o> − 3.<米o stretchy="false"> ） 15 ＝ n<米o stretchy="false"> （ 2<米我>n<米o> − 1<米o stretchy="false"> ） （ 4<米sup> n<米n>2 + 10<米我>n<米o> − 9<米o stretchy="false"> ） 45<米我 mathvariant="normal"> ．<米sub> □ \{对齐}开始S = \ sum_求和{k = 1} ^ n k ^ 4 & = \离开(\ sum_ {k = 1} ^求和{n} k ^ 2 \右)^ 2 - 2左(\ \ sum_ {1 \ leq j < k \ leq n} y_j求和^ 2 k ^ 2 \) \ \ \ \ & = \离开(\ dfrac {2 \ binom {2 n + 1} {3}} {2 \ binom {2 n + 1}{1}} \右)^ 2 - 2 \离开(\ dfrac {2 \ binom {2 n + 1} {5}} {2 \ binom {2 n + 1} {1}} \) \ \ \ \ & = \ dfrac {n ^ 2 (2 n - 1) ^ 2} {9} - \ dfrac {n (2 n - 1) (n - 1) (2 n)} {15} \ \ \ \ & = \ dfrac {n (2 n - 1) (4 n ^ 2 + 10 n - 9)}{45}。\ \ _ \广场结束{对齐} 提交你的答案 让 x<米n>1 ， x<米n>2 ， ．<米我米一个thvariant="normal"> ．<米我米一个thvariant="normal"> ．<米o separator="true"> ， x<米n>10 X_1, x_2，…，x_{10} 是多项式的根 x<米n>10 + x<米n>9 + ⋯ + x<米o> + 1 x ^ {10} + x ^ 9 + \ cdots + x + 1 ．找到…的价值 ∑ n<米o> ＝ 1 10 1<米row> 1<米o> − x<米我>n 大型{\ \ sum_ {n = 1} ^{10} \压裂{1}{1-x_n}} Vieta根跳 主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/vieta-root-jumping/" class="wiki_link" title="Vieta根跳" target="_blank">Vieta根跳 越式跳跃是一种特殊下降方法的别名，它在更高层次的奥数理论问题中非常流行。就像其他下降的例子一样，当你必须解一个丢番图方程(或方程组、同余或不等式)，其解具有一些<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/subroutines/" class="wiki_link" title="递归" target="_blank">递归结构。 另请参阅 多项式的根 多项式因式分解 Vieta根跳 引用:Vieta的公式。Brilliant.org．检索从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/vietas-formula/">//www.parkandroid.com/wiki/vietas-formula/ 掌握这些概念 开始 在我们的竞赛数学II课程中了解更多，由专家为您构建。 注册阅读所有关于数学、科学和工程主题的维基和测试。 登录Facebook<一个href="//www.parkandroid.com/account/google/login/?next=/wiki/vietas-formula/" id="login-google" class="btn btn-google signup-social ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal_google" data-ax-type="button" data-is_modal="true">以谷歌登录<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/vietas-formula/" id="problem-login-link" class="btn btn-email ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal_email" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/vietas-formula/">用电子邮件登录 加入使用Facebook<一个href="//www.parkandroid.com/account/google/login/?next=/wiki/vietas-formula/ 忘记了密码?新用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/signup/?signup=true&next=/wiki/vietas-formula/ 现有的用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/vietas-formula/" id="problem-login-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/vietas-formula/">登录 × 问题加载…注意加载…设置加载…$