维恩图解

一个维恩图解的有限集合之间的关系的图表是集．如果我们有两个或两个以上的集合，我们可以使用维恩图来显示这些集合之间的逻辑关系以及基数这些集合的集合。特别地，维恩图被用来演示德摩根定律．维恩图在说明关系方面也很有用统计数据，概率，逻辑等等。

维恩图在帮助我们仔细思考集合操作方面特别有用，因为它们为我们提供了相关关系的可视化描述。

那么维恩图是什么样的呢?要画维恩图，我们首先画一个矩形，它将包含我们想要考虑的每一项。因为它包含了每一项，我们可以称它为“宇宙”。

矩形

假设我们想要一个集合 $一个$这是一个包含1到5的数字列表，和一个集合 $B$这是一个包含6到10的数字列表。我们用圆来表示每个集合:

23

那么if集呢 $一个$而且 $B$有共同点吗?我们不能简单地画两个单独的圆，因为那样两者之间不会形成任何逻辑关系。如下所示，显示关系确实存在的方法是将两个圆部分合并。

在所有小于的正整数的通用集合中 $10日,$让 $一个$是小于的所有正偶整数的集合 $10日,$而且 $B$所有小于的正素数的集合 $10$．那么维恩图是什么样的呢?

---

我们

$2$是唯一属于两个集合的数，所以它在交点处。我们也可以看到 $1$而且 $9$在圆形之外，但在矩形或通用集合内。 $_ \广场$

维恩图在直观理解集合符号方面非常有用。一些常用的集合表示法和它们各自的图是

1） $B \帽,$解读为 $一个$十字路口 $B,$所有元素的集合是对两者都通用的吗 $一个$而且 $B。$

2） $一杯\ B,$读作…的联合 $一个$而且 $B,$是两个集合中所有元素的集合吗 $一个$而且 $B。$观察到 $A\杯B= A + B - A\帽B，$我们减去交集来解释元素的重复。

3） $一个\δB,$的对称差分 $一个$而且 $B,$是两个集合中所有元素的集合，不包括两个集合的交集( $B \帽$)。

4） $一个”,$解读为 $一个$恭维，就是把一切元素都排除在全集之外的集合 $一个$本身。在一些书中，赞美符号被表示为 $一个^ {c}$．

蓝色标记的区域表示元素被发现的地方。

集

到目前为止，我们已经看到了显示两个集合之间关系的维恩图，但这并不一定是事实，尽管图在3个集合之后就失去了实用性。

考虑上面的图表，每个区域的数量表示该区域有多少元素。那么什么是 $$

1)集合中元素的个数 $一个吗?$

2)集合中元素的个数 $B ?$

3)集合中元素的个数 $一个$而且 $B ?$

4)集合中元素的数量 $B$而且 $C ?$

5)集合中元素的个数 $一个$而且 $C ?$

6)集合中元素的个数 $一个$， $B$而且 $C ?$

---

1)把集合中的数字相加 $一个$给了 $n (A) = 6 + 5 + 1 + 2 = 14。$

2)类似地，将集合中的数字相加 $B$给了 $n (B) = 2 + 8 + 1 + 7 = 18。$

3)忽略 $C$然后把交集内的元素加起来 $一个$而且 $B,$然后 $n(A\帽B)= 2 + 1=3。$

4)同样的, $n(B\cap C)= 7+1=8。$

5)同样的, $n(A\cap C)= 5+1=6。$

6)蓝色标记的区域是所有3个区域的交点，因此 $n(A\cap B \cap C)=1。$ $_ \广场$

当给定集合并要求找出它们之间的关系时，我们发现维恩图使事情变得简单。因此，当集合限制为3个时，建议使用它们。

给定上面的维恩图所包含的总数 $30.$学习物理和生物的学生，两者都或都不学，如果学习物理和生物的总人数是 $19$而且 $11日,$分别会有多少人在该地区标明“ $?$”?

---

标记的区域 $?$是物理学和生物学共同的区域: $P \帽B$．

我们知道学生总数等于物理和生物的人数 $(P B \杯)$，加上两组都不参加的人数。因此,

${对齐}\ \开始文本{总}& = P \杯B + 4 \ \ & = (P B + B - P \帽)+ 4 \ \ \ \ \ Rightarrow 30 & = (19 + 11) - ?+ 4\\ ?&=34-30 = 4。\ _\square \end{aligned}$

考虑上图:

只学生物或只学物理的学生占百分之多少?

---

这个问题也可以理解为生物和物理学生之间的对称差异。

所以只学习物理的学生总数是 $19-4 = 15$只学习生物的学生总数是 $剩下的= 7$．这意味着

$x = \压裂{22}{30}\乘以100 \文本{(\$