vectors.

您可能熟悉的大多数数量都用单个数字表示： $\ frac {\ sqrt {2}} {3}$，15公斤，或25.63秒。这些数量被称为标量数量或简单标量。

但是，有些数量同时具有尺寸和方向因此需要两个或更多个数字来完全指定。这种数量被称为向量量或载体。 $^\文本{[1]}$例如，当速度一个物体只是它的运动速率 $（18\，\text{km}/\text{h}），$一个物体速度反映不仅仅是其运动速率，而且还反映了其动作的方向 $（18 \，\ text {km} / \ text {h}$西南 $).$因此，速度是标量数量，而速度是矢量数量。其他矢量数量包括力那移位，及电场。

许多重要的物理和数学量是载体，以及广义载体的分析及其性质（称为称为线性代数）形成现代数学的核心的一部分。

在进一步讨论之前，我们首先需要知道向量是什么。

在数学上，定向线段称为a向量。或者，换句话说，具有指定幅度和方向的线段称为矢量。

指定向量的一个基本方法就是给出向量的大小和方向 $（$例如。， $5\，\text{meters}$北或 $12.$在 $45（中国保监会）$。然而，在某些情况下，两种数量都可以立即显而易见。有时它更容易指定两个点 - 一个初始点 $一种$和终点 $B.$- 表示矢量作为从一个到另一个的（定向）位移的矢量。

在笛卡尔平面上，我们可以 $a =（x_a，y_a）$和 $b =（x_b，y_b）$，在这种情况下，位移的水平部分是 $x_B-x_A$垂直部分是 $Y_B - Y_A.$. 通常，用符号表示向量 $\ vec {v}$通过指示两个部分，也称为成分，以有序对的形式

$\ vec {v} =（x_b - x_a，y_b - y_a），$

或简单

$\vec{V}=（V_x，V_y）$

和 $v_x=x_B-x_A$和 $v_y = y_b - y_a$。

为了区分从标量的向量，通常将向量与箭头写入箭头，如图所示（虽然不严格需要此表示法）。

一般来说，人们只对移位-也就是说，只要每个分量相同，就不会区分具有不同初始点和端点的向量。具有相同分量的向量被视为相等或全等(指示初始点和终点只是一种视觉和计算辅助。）

矢量 $\ vec {v}$有初始点 $A=（-1,2）$和终点点 $B=（3,2）$。确定组件 $\ vec {v}$。

回答

我们有

$\向量{V}=\big（3-（-1），2-2\big）=（4,0）。\\u2\square$

这尺寸那长度， 或者量级通常将向量的欧几里德距离由Pythagorean定理给出并写作 $|\ vec {v} |$：

$\vec{V}=\sqrt{（x_B-x_A）^2+（y_B-y_A）^2}=\sqrt{V_x^2+V_y^2}。$

通常作为角度给出方向 $\θ.$关于积极的 $X$-axis，由此提供

$\tan{\theta}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{v_y}{v_x}。$

某向量 $\ vec {v}$可以代表 $6\hat{\imath}+8\hat{\jmath}$。找到它的幅度和相对于积极的角度 $X$-轴。

回答

震级是

$\ big | \ vec {v} \ big | = \ sqrt {v_x ^ 2 + v_y ^ 2} = \ sqrt {6 ^ 2 + 8 ^ 2} = \ sqrt {36 + 64} = \ sqrt {100} =10，$

角度是

$\tan(\theta_{\text{w.r.t. } x\text{-axis}})=\dfrac{v_y}{v_x}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3} \implies \theta_{\text{w.r.t. } x\text{-axis}}=\tan^{-1}\left(\dfrac{4}{3}\right).\ _\square$

平面向量可以通过指示两个分量或给出幅值和角度来指定。在这两种情况下，这两个值足以提供有关矢量的所有信息，并在“分量”和“幅值和角度”表示之间移动(等价地，我们可以把“大小和角度”表示法简单地看作是平面上一点的坐标极坐标.)

在三个方面，一个是第三个组件 $Z.$-轴：

$\vec{V}=（V_x，V_y，V_z）。$

如果 $\vec{V}=（V_x，V_y，V_z）$是三维空间中的任意点，然后是向量 $\向量{OV}$起源 $o（0,0,0）$和 $\ vec {v}$作为其起点和终点，分别称为位置向量属于 $\ vec {v}$它的长度由

$\ big | \ vec {v} \ big |= \ sqrt {v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2}。$

矢量 $\ vec {v}$有初始点 $A=（-1,2,5）$和终点点 $B =（3,2,2）$. 找出长度 $\ vec {v}$。

回答

我们有

$\ big | \ vec {v} \ big |= \ sqrt {\ big（3 - （ - 1）\ big）^ 2 +（2 - 2）^ 2 +（2 - 5）^ 2} = 5. \ _ _ \ square$

可以通过将其乘以标量值来“缩放”矢量。这样的产品 $\大（$标量之间 $一种$和一个矢量 $\ vec {v} \ big）$写为 $a\vec{V}=a（V_x，V_y，V_z）$并定义为

$a \ vec {v} =（av_x，av_y，av_z）。$

这种产品仅仅将长度乘以一个因素 $一种$， 作为

$\ big | a \ vec {v} \ big |= \ sqrt {（av_x）^ 2 +（av_y）^ 2 +（av_z）^ 2} = \ sqrt {a ^ 2 \ big（v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2 \ big）} = a \sqrt {v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2} =一个\ big | \ vec {v} \ big |。$

矢量 $\ vec v =（3,4,12）$. 找出长度 $3 \ vec v$。

回答

这可以用两种方式完成：

• 第一种方式： $\大| 3\vec V\Big |=\Big | 3次（3,4,12）\Big |=\Big |（9,12,36）\Big |=\sqrt{9^2+12^2+36^2}=39。$

• 第二种方式： $\大| 3\vec V\Big |=3\Big | \vec V\Big |=3\Big |（3,4,12）\Big |=3\sqrt{3^2+4^2+12^2}=3乘以13=39。$ $_\正方形$

笔记 ：矢量 $\ vec {ab} = \ vec {ob} - \ vec {oa}，$在哪里 $\ vec {oa}，\ vec {ob}$是点的位置向量 $一种$和 $B，$分别。

以下是各种类型的向量：

• 空向量：初始和终点点的载体相同称为空向量 $\大（\vec{0}\big）$或者零向量。其大小为零，方向不确定。

• 单位向量：其大小为单位（1个单位）的向量称为单位向量单位向量。如果 $\ vec {a}$是任何向量，则其单位向量表示为 $\ hat {a}$和单位矢量 $\ vec {a}$是（谁）给的 $\ hat {a} = \ dfrac {\ vec {a}} {| \ vec {a} |}$。

• 等于矢量：两个向量 $\ vec {a}$和 $\ vec {b}$如果它们具有相同的大小和方向，则称为相等。

• 向量的负数：其大小与给定向量的大小相同但方向相反的向量称为该向量的负数。如果 $\ vec {a}$是任何向量，则其负数表示为 $- \ vec {a}$。此外，如果 $\ vec {ab}$是任何向量，则其负值由 $\ vec {ba}$. 永远记住这一点 $\ vec {ab} = - \ vec {ba}$。

• 平行向量：两个向量称为平行向量，当且仅当它们具有相同的支撑或平行支撑时。换句话说，如果 $\ vec {a}$和 $\ vec {b}$那么是任何两个平行矢量 $\ vec {a} = \ alpha \ vec {b}，$在哪里 $\α$是一些标量常数。如果两个向量具有相同的方向，则据说它们是平行矢量（或类似矢量）;但是，如果两个向量呈相反方向，则据说它们是反并联载体（或与载体不同）。

• 共线载体：两种载体 $\ vec {a}$和 $\ vec {b}$如果它们具有相同的方向，平行或反平行，则据说是合同的。

• 共面向量：支撑在同一平面或平行于同一平面的向量称为共面向量。不共面的向量称为非共面向量。

• 共同初始向量：具有相同初始点的两个或更多个载体称为共同初始向量。

让 $a_1，a_2，a_3，C点，a_n$是向量和 $X_1，X_2，X_3，\ CDOTS，X_N$是标量。然后是向量 $X_1A_1 + X_2A_2 + X_3A_3 + \ CDOTS + X_NA_N$被称为线性组合载体 $a_1，a_2，a_3，C点，a_n$。

• $2a - b + 3c$是以下各项的线性组合： $A，B，C$。
• 三个向量是共面的当且仅当其中一个向量是其他两个向量的线性组合。

• 矢量加法

• 单位向量

• 点产品

• 叉积

[1]严格来说，在本文中，我们参考几何的或欧几里德向量. 广义向量不需要是多维的。