Vandermonde的身份

范德蒙德的恒等式(或范德蒙德的卷积)，以Alexandre-Théophile范德蒙德命名，声明任何组合 $k$组中的对象 $（m + n）$对象必须有一些 $0\ \leq\ r\ leq\ k$组中的对象 $米$对象和其余 $(k-r)$组中的对象 $n$．

数学上, ${m + n \选择k} = \ sum_ {r = 0} ^ k {m \选择r} {n \选择k-r}。$这个恒等式在计算某些其他的和或做困难的组合问题时是有用的。

我们考虑的二项式扩张 $(1 + x) ^ {m + n}$

$（1 + x）^ {m + n} = \ sum_ {k = 0} ^ {m + n} {m + n \选择k} x ^ k。$

注意，我们可以通过观察来考虑膨胀 $（1 + x）^ {m + n} =（1 + x）^ m（1 + x）^ n：$

$\ begin {对齐}（1 + x）^ {m + n}＆=（1 + x）^ {m}（1 + x）^ {n} \\＆= left（\ sum_ {i = 0}^ m {m \选择i} x ^ i \ other）\ left（\ sum_ {j = 0} ^ n {n \ lecke j} x ^ j \ recten）\\＆= \ left（{m \选择0} + {m \选择1} x + {m \选择2} x ^ 2 + cdots \右）\ times \ left（{n \选择0} + {n \选择1} x + {n \选择2} x^ 2 + \ cdots \右）\\＆= \ left（{m \选择0} {n \选择0} \右）x ^ 0 + \ left（{m \选择0} {n \选择1} +{m \选择1} {n \选择0} \右）x +左（{m \选择0} {n \选择2} + {m \选择1} {n \选择1} + {m \选择2} {n \选择0} \右）x ^ 2 + \ cdots。结束\{对齐}$

因此，我们可以得出 $x ^ k$在上述展开式中为

${m \选择0} {n \选择k} + {m \选择1} {n \选择k-1} + \ cdots + {m \选择k} {n \选择0} = \ sum_ {r = 0}^k {m \choose r}{n \choose k-r}.$

因此，通过比较 $x ^ k$

$\ sum_ {r = 0} ^ k {m \选择r} {n \选择k-r} = {m + n \选择k}。\ _ \ square$

注意：特别是，Vandermonde的身份对所有二项式系数保持，而不仅仅是在组合证明中假定的非负整数。

假设有 $米$男孩和 $n$班上的女孩，你被要求形成一个团队 $k$这里面的学生 $m + n$学生，有 $0 \le k \le m+n。$你可以这样做 ${m + n \选择k}$的方式。但是，现在我们用一种相当不同的方式来计算。组建团队，你可以选择 $我$男孩和 $K-I.$女孩的一些固定 $我$．有 ${m \选择i}{n \选择k-i}$做这个的方法。现在，你可以有 $0$男孩和 $k$女孩,或 $1$男孩和 $k - 1$女孩,或 $2$男孩和 $k-2$女孩,或 $\ ldots$．也就是说，有 $\sum_{r=0}^k {m \choose r}{n \choose k-r}$组建团队的方法。

因此，我们得到了我们的结果

$\ sum_ {r = 0} ^ k {m \选择r} {n \选择k-r} = {m + n \选择k}。$

证明

${2n \choose n} = \sum_{r=0}^n {n \choose r}^2。$

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上述金额是沃德美德的身份的特殊情况 $m = k = n。$

因此,我们得到

${n + n \选择n} = \ sum_ {r = 0} ^ n {n \选择r} {n \选择n-r}。$

因此，因为身份 ${n \选择n-r} = {n \选择r}$,我们得到

${2n \choose n} = \sum_{r=0}^n {n \choose r}^2。\ _ \广场$

我将把这种身份的组合证明作为锻炼身体。

在上述恒等式的代数证明中，我们将两个多项式相乘得到我们想要的和。类似地，乘出来 $p$多项式，你可以得到广义的单位矩阵，也就是

$\sum_{k_1+\dots +k_p = m}^m {n\选择k_1} {n\选择k_2} {n\选择k_3} \cdots {n\选择k_p} = {pn \选择m}。$

你也可以把它组合起来考虑 $p$每袋包括 $n$球。因此，总共有 $PN.$球。现在你得接电话了 $米$球总共。有

${pn \选择m}$

做这件事的方法。

对于上面所述的类似论点，我们也可以选择 $米$球通过选择 $I_1$1号袋子里的球， $I_2$来自袋子＃2的球，......和 $i_p$球从袋#p。因此对于一个固定的集合 $(i_2 i_1 \ ldots i_p)$,有 ${n \选择k_1} {n \选择k_2} {n \选择k_3} \ cdots {n \选择k_p}$做它的方法，因此总的来说

$\ sum_ {k_1 + \ dots + k_p = m} ^ m {n \选择k_1} {n \选择k_2} {n \选择k_3} \ cdots {n \选择k_p}$

的方式。

这使我们得到我们想要的结果

$\sum_{k_1+\dots +k_p = m}^m {n\选择k_1} {n\选择k_2} {n\选择k_3} \cdots {n\选择k_p} = {pn \选择m}。\ _ \广场$

将LHS (Vandermonde等式中的)移到RHS的分母中

$\开始{对齐}1 & = & \压裂{\ sum_ {r = 0} ^ k {m \选择r} {n \选择k-r}} {{m + n \选k }} \\ & = & \ sum_ {r = 0} ^ k \压裂{{m \选择r} {n \选择k-r}} {{m + n \选k }} \\ & = & \ 压裂{{m \选择0}{n \选择k}} {{m + n \选择k}} + \压裂{{m \选择1}{n \选择k - 1}} {{m + n \选择k}} + \压裂{{m \选择2}{n \选择k-2}} {{m + n \选择k}} + \ cdots。结束\{对齐}$

上述总和中的每个术语可以被解释为概率，即蓝色球数的概率分布 $k$不需要更换的从一个包 $n$蓝色和 $米$绿色球。得到的分布更好地称为超几何概率分布。

Chu-Vandermonde的身份：

Chu Wenchang将该恒等式扩展到非整数参数，称为Chu- vandermonde恒等式，其表述如下:

对于一般的复数 $x$和 $y$和任何非负整数 $n$，它采取了形式 ${x + y \选择n} = \ sum_ {k = 0} ^ n {x \选择k} {y \选择n - k}。$它可以写成Pochhammer符号的形式 $(x + y) _n”= \ sum_ {k = 0} ^ n {n \选择k} (x) _k (y) _ {n - k},$在哪里 $(x) _ {k} = x (x - 1) (x - 2) \ ldots (x-k + 1)$被称为下降波切哈默符号(或下降阶乘)。

Rothe-Hagen标识:

罗特-哈根恒等式以海因里希·奥古斯特·罗特和约翰·格奥尔格·哈根的名字命名，是范德蒙恒等式的进一步推广，它可以扩展到所有复数 $(a, b, c)$．它指出

$\ sum_ {k = 0} ^ n \压裂{一}{+ bk} {+ bk \选k} {c-bk \选择n - k} = {+ c \选择n}。$

尝试以下问题：