用指数衰减来解释振幅下降
考虑欠阻尼谐振子的运动方程:
这个解描述了在指数衰减包络内的快速振荡。临界阻尼和过阻尼谐振子的振幅同样以指数衰减。
在整个物理和工程文献中,有几个参数被用来描述阻尼谐振子的振幅如何随时间衰减。数学上最直接的参数是 衰减时间,常表示为 .假设一个阻尼谐振子从振幅开始 ;则阻尼包络的幅值为 .的 衰减时间定义为时间 振幅减小到 .这等价于衰减包络中的指数取值 ,即:
一个更复杂的参数是品质因数 :
作为一种帮助理解和记住名字的助记符,达到了很高的境界质量水晶被敲击时,会响很长一段时间。具有大质量因数的阻尼谐波振荡器是欠阻尼的,振幅衰减缓慢,反之亦然。临界阻尼出现在 ,标志着两种阻尼系统的边界。
阻尼谐振子的质量因数是什么 , , ?
解决方案:
阻尼谐振子中储存的能量为“弹簧势能”: 在哪里 是谐振子的振幅。回顾阻尼谐振子有一个 衰变包络,它等于
每弧度耗散能量为: 与 给定振动一个弧度所需的时间,等于 .
它的导数是 ,则耗散的能量为:
最后质量因素是: 在哪里 为阻尼谐振子的频率。对于高度欠阻尼系统, 质量因素是 .由此可见,临界阻尼在 通过两侧的平方,并与临界阻尼判据进行比较。
最后一个度量,在工程文献中更常见的描述阻尼振荡器的振幅衰减是对数衰减 ,定义为
挑战问题:展示出来 .
值得注意的是,粘性阻尼模型只适用于某些流体中的分子间作用力。它是不一个很好的模型干摩擦,通常摩擦受该方程式支配的与固体物体摩擦产生的力 , 摩擦系数和 法向力。有趣的是,简单的干摩擦模型是可解的,并证明了a线性阻尼包络线而不是指数包络线。