$你GydF4y2Ba$-代换GydF4y2Ba

随着GydF4y2Ba零件一体化GydF4y2Ba， 这GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$-代换GydF4y2Ba是经常用于那些不能直接解决的积分集成技术。该过程如下：GydF4y2Ba

• （一世）GydF4y2Ba查找替代术语，并让这成为GydF4y2Ba $ü。GydF4y2Ba$

• （ii）GydF4y2Ba找GydF4y2Ba $杜GydF4y2Ba$ $（GydF4y2Ba$按照GydF4y2Ba $DX）。GydF4y2Ba$

• （iii）GydF4y2Ba代替GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $杜GydF4y2Ba$进入表达。GydF4y2Ba

• （iv）GydF4y2Ba相对于整合GydF4y2Ba $U，GydF4y2Ba$然后替换GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$回到结果。GydF4y2Ba

例如，假设我们有一种形式的积分GydF4y2Ba $\ int f（x）f'（x）\，dx。GydF4y2Ba$解决这个使用过程GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$3'-取代如下：GydF4y2Ba

• （一世）GydF4y2Ba首先，我们发现部分用于替换GydF4y2Ba $ü。GydF4y2Ba$在这种情况下放手GydF4y2Ba $U = F（X）GydF4y2Ba$将是适当的。GydF4y2Ba

• （ii）GydF4y2Ba然后我们发现GydF4y2Ba $杜GydF4y2Ba$通过区分两侧GydF4y2Ba $u = f（x）：GydF4y2Ba$ $杜= F'（x）的\，DX。GydF4y2Ba$

• （iii）GydF4y2Ba现在，取代GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $DX.GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $杜GydF4y2Ba$给GydF4y2Ba $\ INT F（X）F'（x）的\，DX = \ INT U \，杜。GydF4y2Ba$

• （iv）GydF4y2Ba最后，我们对于整合GydF4y2Ba $U，GydF4y2Ba$和替代品GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$放回结果获得GydF4y2Ba $\诠释U \，杜= \压裂{1} {2} U ^ 2 + C = \压裂{1} {2} \大（F（X）\大）^ 2 + C，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba

观察使用复合功能的分化来区分结果GydF4y2Ba $F（X）F'（x）的。GydF4y2Ba$当你习惯了GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$-substion，你会发现一体化的一体化GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$3'-取代是复合功能分化的完全相反，但我们只是坚持的基本知识现在。GydF4y2Ba

首先，它可能不那么容易确定的量，表达式的一部分应被取代。因此，对于我们的第一步，我们将与其中置换给予的问题开始。当你走过这些例子，你会在整体的哪个部分决定代替获得一些感觉。GydF4y2Ba

使用替代GydF4y2Ba $U = X ^ 3 + 1，GydF4y2Ba$找GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int x ^ 2 \ sqrt {x ^ 3 + 1}〜dx。}GydF4y2Ba$

---

从GydF4y2Ba $U = X ^ 3 + 1，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba $du = 3x ^ 2dx。GydF4y2Ba$因此给定的表达式相当于GydF4y2Ba $\ BEGIN {对齐} \ INT的x ^ 2 \ SQRT {X ^ 3 + 1} \，DX＆= \ INT \压裂{1} {3} \ SQRT {U】\，杜\\＆= \压裂{2}{9} U ^ {\压裂{3} {2}} + C \\＆= \压裂{2} {9} \大（X ^ 3 + 1周\大）\ {SQRT的x ^ 3 + 1} +C，\ {端对齐}GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

使用替代GydF4y2Ba $u = x ^ 3，GydF4y2Ba$找GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT的x ^ 2E ^ {X ^ 3} DX。}GydF4y2Ba$

---

从GydF4y2Ba $u = x ^ 3，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba $du = 3x ^ 2dx。GydF4y2Ba$因此给定的表达式相当于GydF4y2Ba $\ INT的x ^ 2E ^ {X ^ 3} DX = \ INT \压裂{1} {3} E 1 UDU = \压裂{1} {3} E 1 {X ^ 3} + C，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

使用替代GydF4y2Ba $u = x + 3，GydF4y2Ba$找GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT X（X + 3）^ 9dx}GydF4y2Ba$

---

从GydF4y2Ba $u = x + 3，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba $du = dx。GydF4y2Ba$因此给定的表达式相当于GydF4y2Ba $\ BEGIN {对齐} \ INT X（X + 3）^ 9dx＆= \ INT（U-3）U ^ 9du \\＆= \ INT \大（U ^ {10} -3u ^ 9 \大）\，杜\\＆= \压裂{1} {11} U ^ {11} - \压裂{3} {10} U ^ {10} + C \\＆= \压裂{1} {11}（X + 3）^ {11} - \压裂{3} {10}（X + 3）^ {10} + C，\ {端对齐}GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

使用替代GydF4y2Ba $U = \罪X，GydF4y2Ba$找GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int \ sin ^ 5 x \ cos x \，dx。}GydF4y2Ba$

---

从GydF4y2Ba $U = \罪X，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba $du = \ cos xdx。GydF4y2Ba$因此给定的表达式相当于GydF4y2Ba $\开始{对齐} \ INT \罪^ 5×\ COS X \，DX＆= \ INTÚ^ 5DU \\＆= \压裂{1} {6} U ^ 6 + C＆\\ = \压裂{1}{6} \罪^ 6×+ C，\ {端对齐}GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

谈到集成时使用GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$定积分的3'-取代，我们需要保持一件事记：积分区间必须改变的区间GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$这对应于给定的间隔GydF4y2Ba $X。GydF4y2Ba$让我们尝试我们集成在上面的功能的明确积分。GydF4y2Ba

使用替代GydF4y2Ba $U = X ^ 3 + 1，GydF4y2Ba$找GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT_0 ^ 2×^ 2 \ SQRT {X ^ 3 + 1}〜DX。}GydF4y2Ba$

---

从GydF4y2Ba $U = X ^ 3 + 1，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba $\ begin {对齐} du＆= 3x ^ 2dx \\ x＆= 0 \ lightarrow u = 1 \\ x＆= 2 \ lightarrow u = 9。\结束{对齐}GydF4y2Ba$因此给定的表达式相当于GydF4y2Ba $\ begin {对齐} \ int_0 ^ 2 x ^ 2 \ sqrt {x ^ 3 + 1} \，dx＆= \ int_1 ^ 9 \ frac {1} {3} \ sqrt {u} \，du \\＆= \左。\ frac {2} {9} u ^ {\ frac {3} {2}} \ reval | _1 ^ 9 \\＆\ \ frac {52} {9}。\ _ \ square \ END {对齐}GydF4y2Ba$

使用替代GydF4y2Ba $u = x ^ 3，GydF4y2Ba$找GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int_0 ^ 2 x ^ 2e ^ {x ^ 3} dx。}GydF4y2Ba$

---

从GydF4y2Ba $u = x ^ 3，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba $\开始{对齐}杜＆= 3×^ 2DX \\ X＆= 0 \ RIGHTARROW U = 0 \\ X＆= 2 \ RIGHTARROW U = 8。\结束{对齐}GydF4y2Ba$因此给定的表达式相当于GydF4y2Ba $\ int_0 ^ 2 x ^ 2e ^ {x ^ 3} dx = \ int_0 ^ 8 \ frac {1} {3} e ^ udu = \ left。\ frac {1} {3} e ^ u \ reply | _0 ^8 = \ frac {1} {3} \ big（e ^ 8-1 \ big）。\ _ \ squareGydF4y2Ba$

使用替代GydF4y2Ba $u = x + 3，GydF4y2Ba$找GydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int _ { - 3} ^ 0 x（x + 3）^ 9dx。}GydF4y2Ba$

---

从GydF4y2Ba $u = x + 3，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba $\ begin {对齐} du＆= dx \\ x = -3＆\ lightarrow u = 0 \\ x = 0＆\ lightarrow u = 3。\结束{对齐}GydF4y2Ba$因此给定的表达式相当于GydF4y2Ba $\ BEGIN {对齐} \ INT _ { - 3} ^ 0 X（X + 3）^ 9dx＆= \ INT_0 ^ 3（U-3）U ^ 9du \\＆= \ INT_0 ^ 3 \大（U ^ {10}-3u ^ 9 \大）杜\\＆= \左[\压裂{1} {11} U ^ {11} - \压裂{3} {10} U ^ {10} \右] _0 ^ 3 \\＆= - \压裂{3 ^ {11}} {110} \ _ \平方\ {端对齐}。GydF4y2Ba$

使用替代GydF4y2Ba $U = \罪X，GydF4y2Ba$找GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT_0 ^ {\压裂{\ PI} {2}} \罪^ 5×\ COS X \，DX。}GydF4y2Ba$

---

从GydF4y2Ba $U = \罪X，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba $\ begin {对齐} du＆= cos x \，dx \\ x＆= 0 \ lightarrow u = 0 \\ x＆\ frac {\ pi} {2} lightarrow u = 1。\结束{对齐}GydF4y2Ba$因此给定的表达式相当于GydF4y2Ba $\ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 5 x \ cos x \，dx = \ int_0 ^ 1 u ^ 5du = \左。\ frac {1} {6} u ^ 6 \右| _0 ^ 1 = \ frac {1} {6}。\ _ \ squareGydF4y2Ba$

$你GydF4y2Ba$3'-取代是简化积分的好方法。这是在许多其他形式的整合，例如通过部分积分和臭名昭著TRIG子使用的技术。GydF4y2Ba

$你GydF4y2Ba$-substitutions采取两种形式，其中GydF4y2Ba $f（x）= uGydF4y2Ba$或者GydF4y2Ba $F（u）的= XGydF4y2Ba$。请注意，差异化的链规则基本上相当于GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$-sub用于积分。GydF4y2Ba

评估GydF4y2Ba $\ displaystyle \ int x \ ln x \，dxGydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

---

让GydF4y2Ba $X = E ^ùGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $dx = e ^ u \，duGydF4y2Ba$。后来想到的GydF4y2Ba $DX.GydF4y2Ba$作为“变量”并替换它GydF4y2Ba $DX = E ^ U \，DU：GydF4y2Ba$ $\ in e ^ u \ ln e ^ u（e ^ u \，du）= \ int e ^ {2u} u \，du。GydF4y2Ba$做一个GydF4y2Ba $W.GydF4y2Ba$-sub（同样的事情作为GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$-sub但具有不同的变量），我们有GydF4y2Ba $\ BEGIN {对齐} W＆= 2U \\ DW＆= 2 \，杜\\杜＆= \压裂{DW} {2} \\？\ RIGHTARROW \ INTÊ^ {2U} U \，杜＆= \ INTË^ {瓦特} \左（\压裂{瓦特} {2} \右）\左（\压裂{DW} {2} \右）\\＆= \压裂{1} {4} \ INT我们^ W \，DW。\ qquad（1）\ {端对齐}GydF4y2Ba$现在，分部积分法，GydF4y2Ba $\的DisplayStyle \ INT一个\，DB = AB- \的DisplayStyle \ INT b \，哒。GydF4y2Ba$注意GydF4y2Ba $D bGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $达GydF4y2Ba$并不意味着相对于分化GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$， 但GydF4y2Ba $达GydF4y2Ba$是微分的GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $D bGydF4y2Ba$是微分的GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$。所以，在这里我们让GydF4y2Ba $A = W.GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $db = e ^ wGydF4y2Ba$， 然后GydF4y2Ba $DA = 1GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B = E 1瓦特GydF4y2Ba$ $（GydF4y2Ba$既积分和衍生GydF4y2Ba $Ë^ w ^GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $e ^ w）。GydF4y2Ba$

因此，GydF4y2Ba $（1）GydF4y2Ba$可以重写为GydF4y2Ba $\ BEGIN {对齐} \压裂{1} {4} \ INT我们^ W DW＆= \压裂{1} {4}我们^ W- \压裂{1} {4} \的DisplayStyle \ INT E 1瓦特DW \\ &=\frac{1}{4}(we^w-e^w). \qquad (2) \end{aligned}$对于最后一个步骤，我们的GydF4y2Ba $W.GydF4y2Ba$- 和GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$-substitutions，我们必须重新替代GydF4y2Ba $W.GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $U：GydF4y2Ba$ $w = 2uGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $U = \ LN（x）的GydF4y2Ba$。然后我们可以重写GydF4y2Ba $（2）GydF4y2Ba$作为GydF4y2Ba $\begin{aligned} \frac{1}{4}\left(we^w-e^w\right) &=\frac{1}{4}\left(2ue^{2u}-e^{2u}\right)\\ &=\frac{1}{4}\big(2(\ln x)e^{2\ln x}-e^{2\ln x}\big)\\ &=\frac{1}{4}\left(2x^2\ln x-x^2\right)\\ &=\frac{1}{4}x^2(2\ln x-1). \ _\square \end{aligned}$

现在我们将讨论特定但经常使用的形式GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$- 是的，这是GydF4y2Ba $\ LN \大\ lvert F（X）\大\ rvertGydF4y2Ba$形式。考虑形式的积分GydF4y2Ba $\ INT \ dfrac {F'（x）的} {F（X）} DX。QQuad（1）GydF4y2Ba$我们替代GydF4y2Ba $U = F（X）GydF4y2Ba$以便GydF4y2Ba $du = f'（x）\，dxGydF4y2Ba$。然后GydF4y2Ba $（1）GydF4y2Ba$相当于GydF4y2Ba $\ int \ dfrac {1} {u} \，du = \ ln \ ln \ l ltver u \ rfter + c = \ ln \ big \ ltvert f（x）\ big \ rvert + c，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是集成的常数。因此，我们可以轻松计算表单的积分GydF4y2Ba $（1）GydF4y2Ba$，或者我们可以操纵表达式将它们转换为此表格。GydF4y2Ba

评估GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT \压裂{E 1 X-E ^ { - X}} {E 1 X + E ^ { - X}} \，DX。}GydF4y2Ba$

---

让GydF4y2Ba $u = e ^ x + e ^ { - x}。GydF4y2Ba$然后我们有GydF4y2Ba $du =（e ^ x-e ^ { - x}）\，dx，GydF4y2Ba$接下去就是GydF4y2Ba $\int\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\,dx=\int\frac{du}{u}=\ln\lvert u\rvert+C=\ln\big\lvert e^x+e^{-x}\big\rvert+C,$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

评估GydF4y2Ba $\的DisplayStyle {\ INT \压裂{2X + 3} {X ^ 2 + 3×-4} \，DX。}GydF4y2Ba$

---

让GydF4y2Ba $U = X ^ 2 + 3×-4。GydF4y2Ba$然后我们有GydF4y2Ba $杜=（2×+ 3）\，DX，GydF4y2Ba$接下去就是GydF4y2Ba $\ BEGIN {对齐} \ INT \压裂{2X + 3} {X ^ 2 + 3×-4} \，DX＆= \ INT \压裂{杜} {U】\\＆= \ LN \ lvert U \ rvert + C\\＆= \ LN \大\ lvert的x ^ 2 + 3×-4 \大\ rvert + C，\ {端对齐}GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

评估GydF4y2Ba $\ displaystyle \ int \ cot x \，dxGydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

---

我们有GydF4y2Ba $\ INT \婴儿床X \，DX = \ INT \ dfrac {\ COS X} {\罪X} \，DX = \ INT \ dfrac {（\罪X）'} {\罪X} DX = \ LN \ lvert\的SiNx \ rvert + C，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

评估GydF4y2Ba $\的DisplayStyle \ INT \ dfrac {1} {\ LN的x ^ X} DXGydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

---

我们有GydF4y2Ba $\ INT \ dfrac {1} {\ LN的x ^ X} DX = \ INT \ dfrac {1} {X \ LN X} DX = \ INT \ dfrac {\压裂{1} {X}} {\ LN X}DX = \ INT \ dfrac {（\ LN X）'} {\ LN X} DX = \ LN \ lvert \ LN X \ rvert + C，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是集成的常数。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$