三角函数的周期性的身份

的期一个函数在保持函数不变的情况下所能移位的最小值。更正式的说法是，它是最小的 $p$这样 $f (n + p) = f (n)$对所有 $n$．直觉上，周期是一个函数“重复”自身的度量。

三角函数是周期函数的最简单的例子，因为它们重复自己，因为它们的解释单位圆．

三角函数的周期性恒等式告诉我们，将一个三角函数的图形平移一定数量就会得到同一个函数。

的 $\ sin (x)$和 $\ cos x$函数以及它们各自的倒数 $\ csc x$和 $x \交会$都有一个时期 $2 \π,$而 $\ tanx$和 $x \床$有一段时间 $\π$．函数的周期性恒等式是

$\开始{对齐}\ sin (x) & = \ sin (x + 2 \π)csc (x) & = & \四\ \ csc (x + 2 \π)\ \ \ cos (x) & = \ cos (x + 2 \π)& \四\秒(x) & = \秒(x + 2 \π)\ \ \ tan (x) & = \ tan (x + \π)& \四\床(x) & = \轻便(x + \π)。结束\{对齐}$

类似地,

$\开始{对齐}\ sin (x) & = - \ sin (x + \π)& \四\ csc (x) & = - csc (x + \π)\ \ \ \ cos (x) & = - \ cos (x + \π)& \四\秒(x) & = - \秒(x + \π)。结束\{对齐}$

所以基本上，如果我们知道函数的值 $0$来 $2 \π$对于前3个函数，我们可以找到函数在任意值处的值。更清楚的是，我们可以把这些函数看作单位圆的值。

上图显示了正弦和余弦函数每绕单位圆一圈都是重复的。实际上我们可以绕过去 $4\ 6\ 8\， ldots, 2k\$对于正整数 $k$仍然得到相同的函数。更一般的周期恒等式形式是:

$\开始{对齐}\ sin (x) & = \ sin (x + 2 k \π)& \四\ csc (x) & = \ csc (x + 2 k \π)\ \ \ cos (x) & = \ cos (x + 2 k \π)& \四\秒(x) & = \秒(x + 2 k \π)\ \ \ tan (x) & = \ tan (x + k \π)& \四\床(x) & = \床(x + k \π)。结束\{对齐}$

找出…的价值 $2 \罪(11 \ pi + x)$．

---

我们有

$\开始{对齐}2 \罪(11 \ pi + x) & = 2 \罪(2 \ cdot5 \π+ \ pi + x) \ \ & = 2 \罪(\ pi + x) \ \ & = 2 \ sin (x),广场\ _ \ \{对齐}$

找出…的价值 $2 \因为\离开(\压裂{19}{3}\π\右)+ \罪\离开(\压裂{7}{2}\π\右)$．

---

我们有

$\开始{对齐}2 \因为\离开(\压裂{19}{3}\π\右)+ \罪\离开(\压裂{7}{2}\π\右)& = 2 \因为\离开(6 \π+ \压裂{\π}{3}\右)+ \罪\离开(3 \π+ \压裂{\π}{2}\)\ \ & = 2 \因为\离开(\压裂{\π}{3}\右)+ \罪\离开(2 \π+ \ pi + \压裂{\π}{2}\)\ \ & = 2 \因为\离开(\压裂{\π}{3}\右)+ \罪\离开(\π+ \压裂{\π}{2}\)\ \ & = 2 \因为\离开(\压裂{\π}{3}\右)——罪\ \离开(\压裂{\π}{2}\)\ \ & = 1 - 1 \ \ & = 0。\ \ _ \广场结束{对齐}$

找出…的价值 $1 - \ \ displaystyle \压裂{因为^ {2}(7 \ pi + x)}{\因为^{2}(8 \πx)}$．

---

我们有

$\开始{对齐}\压裂{1 - \因为^ {2}(7 \ pi + x)}{\因为^{2}(8 \π- x)} & = \压裂{1 -{\因为}^{2}(6 \π+ \ pi + x)}{{\因为}^ {2}(- x ) } \\ &=\ 压裂{1 -{\因为}^ {2}(\ pi + x)}{{\因为}^ {2}x} \ \ & = \压裂{1 - {(\ cos (x)} ^{2}}{{\因为}^ {2}x} \ \ & = \压裂1 -{\因为}^ {x}{2}{{\因为}^ {2}x} \ \ & = \压裂{{\罪}^ x}{2}{{\因为}^ {2}x} \\&={\tan}^{2}x。\ \ _ \广场结束{对齐}$

• 三角函数
• 泛函方程-周期函数