三角图-振幅和周期性gydF4y2Ba

由基本三角函数的定义为gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$- - -gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$单位圆上点的-坐标，我们可以通过绕圆一周来得到gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$或者一个角度gydF4y2Ba $2 \π),gydF4y2Ba$我们回到同一点，因此是相同的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$- - -gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$坐标。这可以扩展到绕圆周的任意倍数gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$或者是任何角的倍数gydF4y2Ba $2 \π)。gydF4y2Ba$

图片来源:commons.wikimedia.orggydF4y2Ba

例如,gydF4y2Ba

$0 = \sin(0 + 2\pi) = \sin(0 + 2\ cdot 2\pi) = \cdots = \sin(0 + k \cdot 2\pi)gydF4y2Ba$

对于任何一个整数gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这表明三角函数是gydF4y2Ba重复gydF4y2Ba．这些函数被称为gydF4y2Ba周期gydF4y2Ba,gydF4y2Ba期gydF4y2Ba是捕获一个区间所需的最小间隔，当反复重复该区间时，得到完整的函数。gydF4y2Ba

基本三角函数的周期如下:gydF4y2Ba

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Function} & \text{Period}\\ hline \sin (\theta)， \cos (\theta) & 2\pi\\ \hline \csc (\theta)， \sec (\theta) & 2\pi\\ \hline \tan (\theta)， \cot (\theta) & \pi\\ \hline \end{array}gydF4y2Ba$

正如我们所看到的，三角函数遵循丘陵和山谷之间的交替模式。的gydF4y2Ba振幅gydF4y2Ba三角函数的极值为曲线最高点到曲线最低点距离的一半:gydF4y2Ba

${(振幅)}= \ \文本压裂{\文本{(最大值)-(最小)}}{2}。gydF4y2Ba$

例如，如果我们考虑gydF4y2Ba $y = \ sin (x)gydF4y2Ba$

振幅等于gydF4y2Ba $文本\压裂{\{(最大值)-(最小)}}{2}= \压裂{1 -(1)}{2}= \压裂{2}{2}= 1gydF4y2Ba$．类似地，这个图gydF4y2Ba $y = \ cos (x)gydF4y2Ba$振幅也是1。gydF4y2Ba

基本三角函数的幅值如下:gydF4y2Ba

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Function} & \text{Amplitude}\\ \hline \sin (\theta)， \cos(\theta) &1 \\ \hline \csc (\theta)， \sec (\theta) & \text{N/A} \\ \hline \tan (\theta)， \cot (\theta) & \text{N/A} \\ \hline \end{array}gydF4y2Ba$

在gydF4y2Ba三角图的变换gydF4y2Ba，我们看到三角函数乘以一个常数会改变振幅。例如，图形的振幅gydF4y2Ba $Y = 3 \sin(x)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这幅图的振幅和周期是多少gydF4y2Ba $Y = 5 \sin(x) - 2?gydF4y2Ba$

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因为三角函数gydF4y2Ba $\ sin (x)gydF4y2Ba$乘以常数gydF4y2Ba $5gydF4y2Ba$，得到的图的振幅为gydF4y2Ba $5gydF4y2Ba$．变换的结果是将图形垂直移动gydF4y2Ba $－2gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$-方向并将图垂直拉伸一个因子gydF4y2Ba $5.gydF4y2Ba$由于图没有被水平拉伸，因此结果图的周期与函数的周期相同gydF4y2Ba $\ sin (x)gydF4y2Ba$,或gydF4y2Ba $2 \πgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

这幅图的振幅和周期是多少gydF4y2Ba $y = -100 \ cos(1234 \π)?gydF4y2Ba$

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不管它是不是gydF4y2Ba $-100年gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $100;gydF4y2Ba$在转折点上，gydF4y2Ba $y = \ pm100。gydF4y2Ba$振幅是100，基本周期是gydF4y2Ba $\压裂{2 \π}{1234 \π}= \压裂{1}{617}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

正弦函数的基本周期gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$经过原点的函数是gydF4y2Ba $3 \πgydF4y2Ba$它的振幅是5。构造gydF4y2Ba $f (x)。gydF4y2Ba$

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因为它经过原点，所以它一定是这种形式gydF4y2Ba $f(x) = A \sin(kx)gydF4y2Ba$作为gydF4y2Ba $f (0) = 0gydF4y2Ba$．因为它的振幅是5，gydF4y2Ba $F (x) = \pm 5 \sin(kx)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

因为它的基本周期是gydF4y2Ba $3 \πgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\frac{2\pi}k = 3\pi \隐含k = \frac23gydF4y2Ba$．所以gydF4y2Ba $F (x) = \pm5 \sin\大(\frac23 x\大)。\ _ \广场gydF4y2Ba$

函数的基本周期和振幅是什么gydF4y2Ba $F (x) =40\sin(2x) + 9\cos(2x)?gydF4y2Ba$

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通过gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$方法,我们有gydF4y2Ba $f (x) = \ sqrt{40 9 ^ ^ 2 + 2} \罪(2 x + \α)= 41 \罪(2 x + \α)gydF4y2Ba$为一个常数gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$独立的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．所以振幅是41，而基本周期是gydF4y2Ba $\frac {2\pi}2 = {\pi}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

函数的周期是多少gydF4y2Ba $H (x) = \sin\大(|123x|\大)?gydF4y2Ba$

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附近的一个简单的图形草图gydF4y2Ba $x = 0gydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $h (x) = \罪(123 x) = \开始{病例}{\ sin (123 x ) } \\ { -\ 罪(123 x)} \{病例}结束gydF4y2Ba$说明它不是周期性的。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

函数的振幅和基本周期是什么gydF4y2Ba $f (x) = 64 \ cos (x) ^ 7 - 112 \因为^ 5 (x) + 56 \ cos (x) ^ 5 - 7 \ cos (x) ?gydF4y2Ba$

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通过倍角公式和三角公式，我们可以得到gydF4y2Ba $f (x) = \ cos (x 6日)gydF4y2Ba$．因此它的振幅是1，基本周期是gydF4y2Ba $\frac 6 {2\pi} = \frac3{\pi}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

注意，我们也可以用切比雪夫多项式来证明这一点。gydF4y2Ba