三角方程-双角度公式

这个三角双角公式根据角本身的三角函数，给出应用于两个角的基本三角函数之间的关系。

双角度公式：

我们有

$\开始{aligned}\sin2x&=2\sinx\cosx\\\\\\cos2x&=\cos^2x-\sin^2x\\&=2\cos^2x-1\\\&=1-2\sin^2x\\&=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan tan 2x_\方形\结束{对齐}$

我们可以使用正弦和余弦的和公式证明双角度恒等式：

$\开始{aligned}\sin 2x&=\sin（x+x）\\&=\sin x\cos x+\cos x\sin x\\&=2\sin x\cos x\\\\\\cos 2x&=\cos x\cos x-\sin x\sin x\\\&=\cos^2 x-\sin^2 x.\_\方形\结束{对齐}$

根据这些公式，我们还具有以下等式：

$\开始{aligned}\sin^2 x&=\frac{1}{2}（1-\cos 2x）\\\cos^2 x&=\frac{1}{2}（1+\cos 2x）\\\sin x\cos x&=\frac{1}{2}（\sin 2x）\\\tan x&=\frac{1-\cos 2x\结束{对齐}$

我们有

$\开始{aligned}\sinh 2x&=2\sinh x\cosh x\\\\\cosh 2x&=\cosh^2 x+\sinh^2 x\\&=2\cosh^2 x-1\\\\&=2\sinh^2 x+1\\\\\\\\tanh 2x&=\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2 x}.\end{aligned}$

证明身份 $$

$\开始{aligned}（\sin x+\cos x）^2=1+\sin 2x。\结束{aligned}$

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我们有

$\开始{aligned}（\sin x+\cos x）^2&=\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x\\&=1+2\sin x\cos x\\\&=1+\sin 2x.\_\方形\结束{对齐}$

证明身份 $$

$\sin 2x=\tan x（1+\cos 2x）。$

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我们有

$\开始{aligned}\frac{\sin x}{\cos x}（1+\cos 2x）&=\frac{\sin x}{\cos x}\left（1+2\cos^2 x-1\right）\\&=\frac{\sin x}{\cos x}（2\cos^2 x）\&=2\sin x\cos x\\\\&=\sin 2x_\方形\结束{对齐}$

证明身份 $$

$\cos 2x=\frac{\cot x-\tan x}{\cot x+\tan x}。$

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我们有

$\开始{aligned}\frac{\cot x-\tan x}{\cot x+\tan x}&=\frac{\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}\\\\\\\\\\\\=\frac{\frac{\sin cos^2 x-\sin x}_\方形\结束{对齐}$

以下是一些重要的术语：

• 精通正弦 $x:$ $\text{vers}（x）=1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$
• 精通余弦 $x:$ $\text{vercos}（x）=1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$
• 覆盖正弦 $x:$ $\文本{covers}（x）=1-\sinx=\left（\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right）^2$
• 覆盖余弦 $x:$ $\text{covercos}（x）=1+\sinx=\left（\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right）^2$
• $\text{chord}（x）=\text{crd}（x）=2\sin\frac{x}{2}。$