三角协函数恒等式

三角协函数恒等式之间的关系<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="基本三角函数" target="_blank">基本三角函数(正弦和余弦)基于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complementary-and-supplementary-angles/" class="wiki_link" title="互补的角度" target="_blank">互补的角度．它们还表明，正弦和余弦的图形是相同的，但移了一个常数 $\压裂{\π}{2}$．

恒等式在处理三角函数的和时非常有用，因为它们通常允许使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-identities/" class="wiki_link" title="毕达哥拉斯的身份" target="_blank">毕达哥拉斯的身份．

平行一个ngleBisector

在上图中，点 $P '$与点对称 $P$关于这条直线 $y = x。$让 $P = (x, y)$的坐标 $P,$然后 $P ' = (y, x)。$

现在,让 $\θ$表示由。构成的角 $\眉题{OP}$正方向 $x$设在。然后,自 $\眉题{OP '}$和 $+ y$-direction也有一个角度 $\θ,$由 $\眉题{OP '}$和 $+ x$-方向为 $\压裂{\π}{2}- \θ。$因此，三角函数建立如下:

• $左(\ \罪\压裂{\π}{2}- \θ\右)= \压裂{x}{1} = \因为\θ$

• $左(\ \因为\压裂{\π}{2}-θ\ \右)= \压裂{y}{1} = \ \θ的罪$

• $谭\ \离开(\压裂{\π}{2}- \θ\右)= \压裂{x} {y} = \压裂{1}{\ tan \θ}= \床\θ。$

这对于锐角来说更容易看出来。

互补角恒等式:

在上面的直角三角形中，

$\开始{对齐}\ cosθ& = \ \压裂{一}{c} = \罪\离开(\压裂{\π}{2}-θ\ \)\ \ \床\θ& = \压裂{一}{b} = \ tan \离开(\压裂{\π}{2}-θ\ \)\ \ \ csc \θ& = \压裂{c} {b} = \秒\离开(\压裂{\π}{2}-θ\ \右)。结束\{对齐}$

另外，因为cos是an<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/trigonometric-even-odd-functions/" class="wiki_link" title="偶函数" target="_blank">偶函数sin是a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/trigonometric-even-odd-functions/" class="wiki_link" title="奇函数" target="_blank">奇函数,

$\开始{对齐}\ cosθ& = \ \罪\离开(\压裂{\π}{2}- \θ\右)= -罪\ \离开(\θ- \压裂{\π}{2}\右)= \罪\离开(\θ+ \压裂{\π}{2}\)\ \ \罪\θ& = \ cos \离开(\压裂{\π}{2}- \θ\右)= \因为\离开(\θ- \压裂{\π}{2}\右)= - \因为\离开(\θ+ \压裂{\π}{2}\右),结束\{对齐}$

利用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/trigonometric-periodicity-identities/" class="wiki_link" title="三角周期恒等式" target="_blank">三角周期恒等式．

最后，下面的三角函数也可以直接得到:

• $\csc \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = \sec \theta$

• $\sec \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = \csc \theta$

• $左(\ \床\压裂{\π}{2}-θ\ \右)= \压裂{1}{\床\θ}= \ tan \θ。$

如果 $左(\ \因为\压裂{\π}{2}——\右)= \罪\压裂{\π}{4},$是什么 $一个吗?$ $\左(0< A < \frac{\pi}{2}\右)$

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我们有

$\开始{对齐}\因为\离开(\压裂{\π}{2}——\右)= \罪一罪= \ \压裂{\π}{4}\ \一个= \压裂{\π}{4}。\ _ \方形\端{对齐}$

如果 $\秒\离开(\压裂{\π}{2}——\右)= \ csc \压裂{\π}{7},$是什么 $一个吗?$ $\左(0< A < \frac{\pi}{2}\右)$

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我们有

${对齐}\秒\ \开始离开(\压裂{\π}{2}——\右)= \ csc一= \ csc \压裂{\π}{7}\ \一个= \压裂{\π}{7}。\ _ \方形\端{对齐}$

如果 $谭\ \离开(\压裂{\π}{3}——\右)= \床\压裂{\π}{3},$是什么 $一个吗?$ $\左(0 < A < \frac{\pi}{2} \右)$

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观察到 $\tan \left(\frac{\pi}{3}-A \right)$可以表示为

${对齐}\ tan \ \开始离开(\压裂{\π}{3}——\右)= \ tan \离开(\压裂{\π}{2}- \压裂{\π}{6}——\右)。结束\{对齐}$

然后，从三角协函数恒等式 $谭\ \离开(\压裂{\π}{2}- \θ\右)= \床\θ,$我们有

${对齐}\ tan \ \开始离开(\压裂{\π}{3}——\右)& = \ tan \离开(\压裂{\π}{2}- \压裂{\π}{6}——\ ) \\ &= \ 晒黑左(\ \压裂{\π}{2}- \大(\压裂{\π}{6}+ \大)\ ) \\ &= \ 床\离开(\压裂{\π}{6}+ \右)= \床\离开(\压裂{\π}{3}\)\ \ \ Rightarrow & = \压裂{\π}{6}。\ _ \方形\端{对齐}$

是什么 $\c \f {5\pi}{6} ?$

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我们有

$\开始{对齐}\ csc \压裂{5 \π}{6}& =罪\压裂{1}{\ \压裂{5 \π}{6 }} \\ &= \ 压裂{1}{\罪\离开(\压裂{\π}{2}+ \压裂{\π}{3}\ )} \\ &= \ 压裂{1}{\罪\离开(\压裂{\π}{2}- \大(- \压裂{\π}{3}\大)\ )} \\ &= \ 压裂{1}{\因为\左(- \压裂{\π}{3}\ ) } \\ &= \ 压裂{1}{\因为\压裂{\π}{3}}& \ qquad \大(\文本以来{}\ cos (- x) = \ cos x \大)\ \ & = 2。\ _ \方形\端{对齐}$

如果 $谭\ \离开(\压裂{\π}{2}- x \右)+ \床\离开(\压裂{\π}{2}- x \右)= 2,$的价值是什么 $\tan x ?$

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由三角协函数恒等式，我们知道 $谭\ \离开(\压裂{\π}{2}- \θ\右)= \床\θ,$而且 $左(\ \床\压裂{\π}{2}-θ\ \右)= \ tan \θ。$因此我们有 ${对齐}\ tan \ \开始离开(\压裂{\π}{2}- x \右)+ \床\离开(\压裂{\π}{2}- x \右)& = 2 \ \ \床x + \ tanx & = 2 \ \ \压裂{1}{\ tanx} + \ tanx & = 2 \ \ 1 + \ tan ^ 2 x & = 2 \ tanx \ \ \ tan ^ 2 x 2 \ tan x + 1 & = 0 \ \ (\ tan x - 1) ^ 2 & = 0 \ \ \ Rightarrow \ tan x = 1。\ _ \方形\端{对齐}$

找到…的价值 $\ cos ^ 2(1 ^ \保监会)+ \ cos ^ 2(2 ^ \保监会)+ \ cos ^ 2(3 ^ \保监会)+ \ cdots + \ cos ^ 2(90 ^ \保监会)$．

提示:使用上面的互补角恒等式。

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从上面，我们知道 $\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)，$所以我们可以写成 $\ cos(46 ^ \保监会)= \罪(44 ^ \保监会)\ cos(47 ^ \保监会)= \罪(43 ^ \保监会),$等等。

求和就变成了 $\ cos ^ 2(1 ^ \保监会)+ \ cdots + \ cos ^ 2(44 ^ \保监会)+ \因为^ 2(45 ^ \保监会)+ \罪^ 2(44 ^ \保监会)+ \ cdots + \罪^ 2(1 ^ \保监会)。$我们可以把这些项巧妙地组合起来，得到 $左(\ \因为^ 2(1 ^ \保监会)+ \罪^ 2(1 ^ \保监会)\右)+ \离开(\ cos ^ 2(2 ^ \保监会)+罪\ ^ 2(2 ^ \保监会)\右)+ \ cdots + \离开(\ cos ^ 2(44 ^ \保监会)+罪\ ^ 2(44 ^ \保监会)\右)+ \ cos ^ 2(45 ^ \保监会)。$

由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-identities/" class="wiki_link" title="毕达哥拉斯的身份" target="_blank">毕达哥拉斯的身份, $\sin²x + \cos²x = 1，$所以我们的和很简单 $44\cdot 1 + \cos^2(45^\circ) = 44.5。$ $_ \广场$

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