Tribonacci序列

的tribonacci序列这是一种泛化吗斐波那契序列其中每一项是前三项的和。

的tribonacci序列是一个整数序列吗 $T_n$定义为

$c \开始{数组}{}&T_0 = 0, t_1 = T_2 = 1, &T_n = T_ {n}识别+ T_{2}识别+ T_ {n} \识别,\,通用电气(n \ 3)。\{数组}结束$

序列的开始 $0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149， \点。$

的封闭公式对于斐波那契数列涉及多项式的根 $x ^ 2 * 1。$可以合理地认为，三角序列的类似公式包含了多项式 $x ^法^ 2 * 1,$事实确实如此。这个多项式有一个实根

$左(1 + t = \ frac13 \ \ sqrt [3] {19 + 3 \ sqrt {33}} + \ sqrt [3] {19-3 \ sqrt{33}} \) \约1.83929,$

被称为tribonacci常数．另外两个根是共轭复数。

让 $\α,β\ \γ$的复根 $x ^法^ 2 * 1。$然后

$T_n = \压裂{\α^ n}{- \α^ 2 + 4 \ alpha -} + \压裂{\β^ n}{-β\ ^ 2 + 4 \ beta 1} + \压裂{\ n ^γ}{- \伽马^ 2 + 4 \ gamma 1}。$

和斐波那契数列一样，这个公式的产生比证明要困难得多。它可以由上的一般结果推导出来线性递归关系，但它可以用归纳法从第一性原理得到证明。从公式的形式可以很清楚地看出右边满足与 $T_n,$所以这个证明最难的部分是验证右边是 $0, 1, 1$为 $n = 0, 1, 2,$分别。这可以通过繁琐的计算来完成对称多项式．

tribonacci数的生成函数与生成函数对于斐波纳契数列:

$\ displaystyle \总和_ {n = 0} ^ {\ infty} {{T} _ {n}} {x} ^ {n} = \压裂{x} {1-x-x ^ 2 x ^ 3}。$

证明也是类似的:

${对齐}\ \开始大(1-x-x ^ 2 x ^ 3 \大)\离开(\ sum_ {n = 0} ^ \ infty T_n x ^ n \右)& = T_0 + \大(T_1-T_0 \大)x + \ (T_2-T_1-T_0 \大)x ^ 2 + \ sum_ {n = 3} ^ \ infty \大(T_n-T_ {n} -T_ {2} -T_ {n} \大)x ^ n \ \ & = x。\ \ _ \广场结束{对齐}$

就像斐波那契数列中连续项的比率接近黄金比例，则tribonacci序列的连续项之比趋近于tribonacci常数

$t = \压裂{1}{3}\离开(1 + \ sqrt [3] {19 + 3 \ sqrt {33}} + \ sqrt [3] {19-3 \ sqrt{33}} \右)。$

这是因为另外两个根 $β\$和 $\γ$的 $x ^法^ 2 * 1$复数的绝对值是多少 $\ frac1 {\ sqrt {t}} < 1,$所以他们的 $n ^ \文本{th}$权力去 $0$作为 $n \ \ infty$．

也就是说,

$\ lim _ {n \ rightarrow \ infty}{\压裂{{T} _ {n + 1}} {{T} _ {n}}} = T = \压裂{1}{3}\离开(1 + \ sqrt [3] {19 + 3 \ sqrt {33}} + \ sqrt [3] {19-3 \ sqrt{33}} \右)。$

tribonacci序列计算了许多组合对象，这些对象类似于斐波那契序列计数。

让 $C_0 = 0, c_1 = 1，$和 $C_n$ $(n \通用电气2)$是组成的个数 $n - 1$没有大于 $3.$这里是正整数的合成 $k$一个正整数的和等于多少 $k,$“秩序至关重要。”

例如, $C_5 = 7$因为

$4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 = 2 + 2 = 1 + 3 = 3 + 1。$

表明, $C_n = T_n。$

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这足以证明 $C_n = C_ {n} + C_ {2} + C_ {n}$为 $n \通用电气3,$自 $C_n$和 $T_n$同意的 $n = 0, 1, 2。$但这是立竿见影的:有 $C_ {n}$作品以 $1,$ $C_ {2}$作品以 $2，$和 $C_ {n}$作品以 $3.$因为从组合中减去最后一个数 $n - 1$留下一篇作文 $n, n - 3,$或 $4$分别。 $_ \广场$