矫形器

的垂心三角形的三的交点海拔．它有几个重要的属性和关系与三角形的其他部分，包括其外心，内心、面积等等。

圆心通常用字母表示 $H$．

圆心的位置取决于三角形的类型。如果三角形是锐角，直角中心点就在它里面。如果三角形是钝角的，直角中心点就在它的外面。最后，如果三角形是对的，那么直角的顶点就是直角的顶点。

因为这三个高度总是相交于一个点(证明在后面的部分)，可以通过确定它们中的任何两个的交点来找到圆心。这在使用坐标几何时尤其有用，因为只需找到两个直线方程(及其交点)，计算就大大简化了。

三角形的顶点在 $a =（0,0），b =（14,0）$， 和 $C =（5,12）$．什么是矫形器的坐标？

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最容易找到的高度是 $C$来 $AB$，因为这只是一条直线 $x = 5$．下一个最容易找到的是来自 $B$来 $交流$,因为 $交流$可以计算为 $Y = \ FRAC {12} {5} x$．垂直于 $交流$形式是 $y = - \压裂{5}{12}x + b$,对于一些 $b$，并且随着这条线路通过 $（14,0）$，则高度方程为 $y = - \压裂{5}{12}x + \压裂{35}{6}$．

最后，这条线和线路的交点 $x = 5$是 $\左（5，\ frac {15} {4} \右）$，这就是圆心的位置。 $_ \广场$

最自然的证据是结果Ceva的定理，哪些指出 $广告，BE，CF$当且仅当 $\ frac {af} {fb} \ cdot \ cdot \ frac {bd} {dc} {dc} \ cdot \ frac {cd} {ea} = 1，$在哪里 $d，e，f$是英尺的高度。

请注意, $三角形BFC \sim \三角形BDA$而且，同样的， $三角形AEB \sim \ AFC \ CDA \sim \ CEB$．因此,

$\压裂{BF} {BD} = \压裂公元前{}{英航},\压裂{AE} {AF} = \压裂{AB} {AC}, \压裂{CD} {CE} = \压裂{CA}{公元前}。$

乘以这三个方程给我们

$\压裂{BF} {BD} \ cdot \压裂{AE} {AF} \ cdot \压裂{CD} {CE} = \压裂公元前{}{英航}\ cdot \压裂{AB} {AC} \ cdot \压裂{CA}{公元前}= 1。$

重新排列左边得到

$\压裂{AF} {FB} \ cdot \压裂{BD}{直流}\ cdot \压裂{CE} {EA} = 1。$

因此，这三个高度重合在一个点上，即圆心。

为方便起见，在讨论一般属性时，通常假设有问题的原始三角形是尖锐的。相同的属性通常也适用于钝壳，但可能需要轻微的重构。

有趣的是，这三个顶点和重心形成了一个垂心的系统:这四个点中的任何一个点都是其他三个点组成的三角形的圆心。

一个令人难以置信的有用的财产是，矫正者在三个方面的反射都在于外接圆三角形的。有一种更直观的方式来解释这个结果:从一张圆形的纸开始，在纸上画一个三角形，然后沿着三条边向内折叠。这三条弧在三角形的圆心处相交

该结果有许多重要的冠状动因。最直接的是在矫形器处形成的角度是补充到顶点的角度：

$\角ABC +角度AHC = \角BCA + \角度BHA = \角槽频率+ \角CHB = 180 ^ {\ rIC}$

另一个遵循点的幂:垂直中心将高度分割成的两个长度的乘积是常数。更具体地说,

$AH \cdot HD = BH \cdot HE = CH \cdot HF$

相似地，

$\ begin {对齐} ad \ cdot dh＆r = bd \ cdot cd \\ be \ cdot eh＆= ae \ cdot ce \\ cf \ cdot fh＆r = af \ cdot bf。\结束{对齐}$

将此应用于直角三角形也有其值得注意的地方:

如果从直角顶点到斜边的高度将斜边分成两个长度 $p$和 $问$，那个高度的长度是 $\ sqrt {pq}$．

另一个推论是外接圆由三角形的任意两点组成的三角形，且其圆心与原三角形的外圆全等。这是因为圆的 $六氯$可以看作是轨迹的 $H$作为 $一个$在原始矩阵周围移动。

最后，这个过程(显著地)可以被逆转任何圆周上的点反射在三面上，得到的三个点是共线的，而圆心总是在连接它们的直线上。

换句话说，三角形的圆心与外接圆三角形以深深的方式：这两点是同性恋共轭，意味着海拔的反映角度小分子相交于外心三角形的。

另一个重要的财产是，正管闭管在三角形的任何一侧的中点上的反射位于矩阵上，并且与与相应侧面相反的顶点径向相反。

由三个高度的脚形成的三角形被称为典型的三角形．它有几个显着的财产。例如，三角形的矫形器也是内心它的矫形三角形。等效地，原始三角形的海拔高度是角度小分子典型的三角形。

典型三角形的边有长度 $a cos a, b cos b$， 和 $c \因为c$，这就是标准三角形的周长 $a cos a +b cos b +c cos c$．在所有三角形中，正三角形的周长是最小的 $美国广播公司$．

矫形三角形的矩形循环含有原始三角形侧面的中点，以及从顶点到正常的点。这个圆圈更好地称为9点圈三角形。

传统的三角形也是如此类似的到两个重要的三角形：三角形由切线形成到顶点上的原始三角形的周围（切向三角形），并且通过延伸高度来形成的三角形来击中原始三角形的矩阵。

• 内心
• 外心
• 重心

[1]垂心好奇．1月23日从http://untilnextstop.blogspot.com/2010/10/orthocenter-curiosities.html检索