内心

的内心三角形的中心是它的内切圆的圆心。它有几个重要的性质和与三角形的其他部分的关系，包括它外心，垂心、面积等等。

中间部分通常用字母表示 $我$．

所有三角形都有一个内心，它总是在三角形内部。求内心的一种方法是利用内心是三个角平分线的交点的性质几何坐标以确定中心的位置。不幸的是，这通常在计算上很繁琐。

通常，找到中心的最简单的方法是先确定内接圆半径，或圆周半径，通常用字母表示 $r$(这封信 $R$是为外接圆半径）.这可以通过多种方式实现，详细内容将在下面的“基本属性”一节中介绍。一旦知道内径，三角形的每条边就可以翻译由内半径的长度计算，得到的三条直线的交点就是内中心。这也可以用几何坐标．

或者，可以使用下面的公式。对于有边长的三角形 $a, b, c$，在这些点上有顶点 $(x_1, y_1)， (x_2, y_2)， (x_3, y_3)$，中心在于

$\离开(\ dfrac {ax_1 + bx_2 + cx_3} {a + b + c} \ dfrac {ay_1 + by_2 + cy_3} {a + b + c} \右)。$

三角形的顶点在 $= (0, 0), B =(14日0)$, $C =(5、12)$．中心的坐标是什么?

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边的长度(使用距离公式) $= \√6{甚佳)^ 2 +(只剩12)^ 2}= 15,b = \√6{(5)^ 2 +(只剩12)^ 2}= 13,c = \√6{(队仍以14:0)^ 2 +(0 - 0)^ 2}= 14。$现在可以使用上面的公式: $I =\left(\dfrac{15 \cdot 0+13 \cdot 14+14 \cdot 5}{13+14+15}， \dfrac{15 \cdot 0+13 \cdot 0+14 \cdot 12}{13+14+15}\right)=\left(6,4 \right)。\ _ \广场$

最简单的证明是三角函数的一个结果切瓦定理，声明 $广告,,CF$当且仅当

$\frac{sin\angle BAD}{sin\angle ABE} \cdot \frac{sin\angle CBE}{sin\angle BCF} \cdot \frac{sin\angle ACF}{sin\angle CAD} = 1。$

在这种情况下, $D, E, F$是角平分线的脚吗 $CAD \角坏= \角度$， $安倍\角= \角CBE$, $ACF = \ \角角度$．作为一个结果,

$\frac{sin\angle BAD}{sin\angle CAD} \cdot \frac{sin\angle ABE}{sin\angle CBE} \cdot \frac{sin\angle ACF}{sin\angle BCF} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

重新排列左边得到

$\frac{sin\angle BAD}{sin\angle ABE} \cdot \frac{sin\angle CBE}{sin\angle BCF} \cdot \frac{sin\angle ACF}{sin\angle CAD} = 1。$

因此，三个角平分线相交于一点， $我$．

此外,由于 $我$在的角等分线上 $BAC \角$，距离 $我$来 $AB$等于到 $我$来 $交流$．同样的，这也等于到 $我$来 $公元前$．因此, $我$为圆周圆的圆心，证明了内圆心的存在。

另一种证明涉及长度版本切瓦定理和角平分线定理．

上面已经提到过，圆心是三个角平分线的交点。

对于一个具有半周长的三角形周长） $年代$和内接圆半径 $r$，

三角形的面积等于 $老$．

这对于在给定边长的情况下求半径内的长度特别有用，因为面积可以用另一种方法计算。海伦的公式)，半周长也很容易计算。

作为一个推论,

在一个直角三角形对于整数边长，内半径总是整数。

如果 $D$这个点是圆周接触的点吗 $公元前$和类似的 $E, F$是圆周接触的地方吗 $交流$和 $AB$分别,然后 $AE = AF =年代,BD =男朋友= sb, CD = CE = s-c$．作为一个推论,

$AE + BF + CD =$,也 $r =根号{AE \cdot BF \cdot CD}{AE+BF+CD}}。$

此外 $广告,,$和 $CF$在一个点相交，叫做Gergonne点．

如果三角形的高度有长度 $h_1、h_2 h_3$,然后

$\ \ dfrac {1} {h_1} + dfrac {1} {h_2} + \ dfrac {1} {h_3} = \ dfrac {1} {r}。$

让三角形的两条边是 $a, b, c$．然后,自 $\frac{1}{2} a h_1= \Delta$，其他方面也是如此， $\ \压裂{1}和{h_1} = \ \压裂{一}和{2 \三角洲}= \压裂{2}{2 \三角洲}= \压裂{1}{\δ/ s} = \压裂{1}{r}。$

内接圆,外接圆也是密切相关的。根据欧拉定理，

$(rr) ^ 2 = d ^ 2 + r ^ 2,$

在哪里 $R$是外接圆半径, $r$内接圆半径, $d$中心点和外心．同样, $d = \ sqrt {R (R-2r)}$．这也证明了欧拉不等式: $R \组的2 R$．等式只对等边三角形成立。

此外,

$rR = \压裂{abc} {2 (a + b + c)},{和}~ ~ \文本IA \ cdot IB \ cdot IC = 4 rR ^ 2。$

Incircles也和他们自己相处得很好。如果 $r_1, r_2, r_3$那么这三个圆的半径是否与圆和三角形的两条边相切呢

$大概{r_1r_2} + r = \ \ sqrt {r_2r_3} + \ sqrt {r_3r_1}。$

换句话说，如果 $美国广播公司$是画的, $米$是小弧的中点吗 $公元前$,然后

$米$也是外心的 $BIC \三角形$．

同样, $MB = MI = MC$．这在奥林匹亚德社区被称为“第5个事实”。

类似地,如果点 $E$位于…的圆周上 $BCI$这 $公元前= EC$,然后 $BAC公元前= \ \角角度$． $电子商务$也垂直于 $有限公司$,在那里 $O$圆心是 $美国广播公司$．

所有三角形都有一个内环，因此也就有了一个内中心，但并不是所有其他多边形都有。当一个多边形存在时，调用该多边形切向．在三角形中，内心(如果它存在)是多边形的角平分线的交点。

对于四边形，当且仅当对边长度和相等时，圆周存在:两边相对的和是 $a + b + c + d$

• 外心
• 垂心
• 重心