三角形面积

有许多不同的公式可以用来计算<年代trong>三角形面积．

内容

基本公式
使用正弦法则
海伦的公式
鞋带公式
计算区域
解决问题的基本方法
解决问题-中级

基本公式

这是最常用的公式，可能是你见过的第一个。

对于有底边的三角形<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b$ $b$ 和高度<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h$ $h$ ，面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $一个$ $一个$ 是由

$A = \frac{1}{2} b \乘以h.\ _\平方$

观察一下，这正好是具有相同底和高的矩形面积的一半。这个证明很简单，所以不需要太多解释。对此的一个逻辑推理是，你可以通过降低一个高度来制作两个三角形，其中两个三角形的两半都围绕它们的斜边中点旋转180度，从而形成两个矩形。因此，很明显，三角形是它们各自矩形面积的一半，矩形的总面积为<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $黑洞。$ $b h ．$

下图中三角形的面积是多少?

由于三角形的底为5，高为8，所以面积为<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 20$ $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 ＝ 20$ ．<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $_ \广场$ $_{□}$

永远记住，底和高是垂直的。这里还有一些例子。

下图中三角形的面积是多少?

图中显示的基数是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b = 5$ $b ＝ 5$ 高度是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h = 3。$ $h ＝ 3. ．$ 因此，面积为

$\压裂{1}{2}\ cdot5 \ cdot3 = \压裂{15}{2}。\ _ \广场$

在下面的图中，有两条线<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $l1$ $l_{1}$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $l2$ $l_{2}$ 是平行的。如果的面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $三角形ABC \$ $△ 一个 B C$ 是6，它们之间的距离是多少<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $l1$ $l_{1}$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $l2吗?$ $l_{2} ?$

图中显示了基础<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\大($ $（$ 这是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $AB \眉题{}\大)$ $\overline{一个 B} ）$ 是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b = 4。$ $b ＝ 4 ．$ 因为线<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $l1$ $l_{1}$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $l2$ $l_{2}$ 是平行的，它们之间的距离是三角形的高度<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h。$ $h ．$ 因此我们有<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\frac{1}{2}\cdot4\cdot h=6 \表示h=3。$ $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h ＝ 6 ⟹ h ＝ 3. ．$ 请注意，即使我们选择不同的观点<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $l1$ $l_{1}$ 为<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $C,$ $C ，$ 该区域将保持不变。<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $_ \广场$ $_{□}$

所以你认为三角形的面积很简单<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\压裂{bh} {2}$ $\frac{b h}{2}$ ．其实求三角形面积的方法有很多。

使用正弦法则

考虑下面这个带角的三角形<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $A、B$ $一个， B$ ,<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $C$ $C$ 对应的对边<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $a、b$ $一个， b$ ,<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $c$ $c$ ：<年代p一个ncl一个年代年代＝"image-caption center">然后是三角形的面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $美国广播公司$ $一个 B C$ 是

$(文本\{区域})= \压裂{1}{2}ab \ C =罪\压裂{1}{2}bc \罪= \压裂{1}{2}ac \ B =罪\压裂{abc} {4 r},$

在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $R$ $R$ 圆的半径是三角形的半径吗<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $美国广播公司(ABC)。$ $一个 B C ．$ $_ \广场$

我们将证明这个面积等于<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\frac{1}{2} bc \sin A$ $\frac{1}{2} b c 罪一个$ ．其它等式也可以得到同样的证明。

通过绘制高度<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h$ $h$ 三角形的顶点<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $C$ $C$ 对边，我们知道三角形的面积是

$(\text{Area}) = \frac{1}{2} ch。$

现在,<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $罪\ = \压裂{{相反})(\文本}{{斜边})(\文本}= \压裂{h} {b}$ $罪一个＝ \frac{（相反）}{（斜边）} ＝ \frac{h}{b}$ ，这意味着<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h = b\sin$ $h ＝ b 罪一个．$ 因此,

$(文本\{区域})= \压裂{1}{2}ch = \压裂{1}{2}c b \罪。$

通过绘制高度<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h$ $h$ 从另外两个顶点，我们可以类似地显示

$(文本\{区域})= \压裂{1}{2}ab \ C =罪\压裂{1}{2}ac罪\ B。$

为了得到最后一个等式，回想一下<一个href＝"//www.parkandroid.com/wiki/extended-sine-rule/" class="wiki_link" title="扩展正弦定则" target="_blank">扩展正弦定则给了我们<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\dfrac{a}{\sin a} = 2R$ $\frac{一个}{罪一个} ＝ 2 R$ ，因此我们得到

$(文本\{区域})= \压裂{1}{2}cb \罪= \压裂{abc} {4 r}。\ _ \广场$

对于三角形<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $美国广播公司$ $一个 B C$ ，假设已知两条边长<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $A = 6, b= 5:$ $一个＝ 6 ， b ＝ 5 ：$

如果的面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $三角形ABC \$ $△ 一个 B C$ 是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $10，$ $10 ，$ 价值是什么<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $罪\ C ?$ $罪 C ?$

由上式，三角形的面积为

$\开始{对齐}{区域})(\文本& = \压裂{1}{2}ab罪\ C & = 10 \ \ \压裂{1}{2}\ cdot 6 \ cdot 5 \罪C \ \ \压裂{20}{30}& =罪罪\ C \ \ \ C = \压裂{2}{3}。\ _\方形\端{对齐}$

三角形<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $美国广播公司$ $一个 B C$ 有边长<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $= 6$ $一个＝ 6$ 和角度<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\角= 30 ^{\保监会}$ $∠ 一个＝ 3. 0^{\circ}$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\ B = 45角^{\保监会}$ $∠ B ＝ 4 5^{\circ}$ ．求的面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $三角形ABC \$ $△ 一个 B C$ ．

利用正弦定律，我们有

${对齐}\ \开始dfrac{一}{罪\{一}}& = \ dfrac {b}{罪\ {b}} \ \ \ \ \ dfrac{6}{\罪{30 ^{\保监会}}}& = \ dfrac {b}{\罪{45 ^{\保监会}}}\ \ \ \ \ dfrac{6}{\水平间距{3毫米}\压裂{1}{2}\水平间距{3毫米}}& = \ dfrac {b}{\水平间距{3毫米}\压裂{1}{\ sqrt{2}} \水平间距{3毫米}}\ \ \ \ b = 6 \ sqrt2。结束\{对齐}$

因为内角和是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $180 ^{\保监会}$ $18 0^{\circ}$ ，<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> ${C} = 105 ^ \ \角保监会$ $∠ C ＝ 10 5^{\circ}$ ．现在，用这个公式<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $ab \压裂{1}{2}\罪{C}$ $\frac{1}{2} 一个 b 罪 C$ ，我们得到

$\begin{aligned} \frac{1}{2} \times 6\ times 6\sqrt2 \times \ sin105 ^\circ &=18\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\right) \\ &=9\sqrt{3}+9。\ _\方形\端{对齐}$

海伦的公式

根据赫伦公式，这个面积是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $大概{\ s(年代)(sb) (s-c)},$ $年代（年代 - 一个）（年代 - b ）（年代 - c ），$ 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $年代$ $年代$ 三角形是半周长吗<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\压裂{a + b + c} {2}$ $\frac{一个 + b + c}{2}$ ．稍微重新排列一下就得到了

$16 ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c) (a - b + c) (a + c),$

在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $一个$ $一个$ 就是面积。<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $_ \广场$ $_{□}$

三角形<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $XYZ$ $X Y Z$ 边长都是整数，半径是圆内刻的吗<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $25日,$ $25 ，$ 有边长<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $x = 14$ $x ＝ 14$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $y = 30$ $y ＝ 3. 0$ ．三角形的面积是多少?

我们知道三角形的圆周半径等于<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $t R = \压裂{xyz} {4}$ $R ＝ \frac{x y z}{4 T}$ ,在那里<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $T$ $T$ 就是面积。实际上我们在上面证明了这个，因为它是一个重排<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $r \压裂{abc} {4}$ $\frac{一个 b c}{4 R}$ ．

代入已知的值，我们有

$25 = \ dfrac {(14) (30) z} {4 t} \意味着100 t = 420 z。$

半周长是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\压裂{14 + 30 + z} {2}$ $\frac{1 4 + 3. 0 + z}{2}$ ，所以根据赫伦的公式<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $T$ $T$ 就变成了

$大概{\开始{对齐}t = \ \离开(22 + \压裂{z}{2} \) \离开(8 + \压裂{z}{2} \) \离开(8 + \压裂{z}{2} \) \离开(22 - \压裂{z}{2} \右)}\ \ & = \√6{\左(484 - \压裂{z ^ 2}{4} \) \离开(\压裂{z ^ 2}{4} -64 \右)}\ \ & = \压裂{1}{4}\√6 {- z ^ 4 + 2192 z ^ 2 - 495616}。结束\{对齐}$

代入这个值<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $T$ $T$ 收益率

$25 \√6 {- z ^ 4 + 2192 z ^ 2 - 495616} = 420 z。$

一些冲击产量<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $z = 40岁$ $z ＝ 40 ，$ 把我们的值代入方程，得到

$(文本\{区域})= \ dfrac {abc} {4 r} = \ dfrac{(14)(30)(40)}{4(25)} = 168。\ _ \广场$

这个证明有点复杂，所以我尽量简单点。

从一个任意三角形开始<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $美国广播公司$ $一个 B C$ 与基础<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $c$ $c$ ．从角度降低高度<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $C$ $C$ 到另一边<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $c$ $c$ 并称之为<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h$ $h$ ．让两段分开<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $c$ $c$ 是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $米$ $米$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $n$ $n$ 有两个直角三角形<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $无水的$ $一个 N H$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $贝克海姆$ $B H 米$ 与国<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $一个$ $一个$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b$ $b$ 是它们各自的斜边。因此，这个三角形的面积是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\压裂{1}{2}ch$ $\frac{1}{2} c h$ ．

自<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $m =碳氮$ $米＝ c - n$ ，因此，<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $m ^ 2 = c ^ 2-2cn + n ^ 2$ $米^{2} ＝ c^{2} - 2 c n + n^{2}$ ．现在，记住这一点，让我们稍微改变一下。

根据勾股定理，<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b ^ 2 = h ^ 2 + m ^ 2$ $b^{2} ＝ h^{2} + 米^{2}$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $^ 2 = h ^ 2 + n ^ 2$ $一个^{2} ＝ h^{2} + n^{2}$ ．回到最初的方程，我们相加<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h ^ 2$ $h^{2}$ 要两边都得到

$m ^ 2 + h ^ 2 = c ^ 2-2cn + n ^ 2 + h ^ 2。$

将上面的勾股定理方程代入<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h ^ 2 + n ^ 2$ $h^{2} + n^{2}$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h ^ 2 + m ^ 2$ $h^{2} + 米^{2}$ ，我们得到<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b ^ 2 = c ^ 2-2cn + ^ 2。$ $b^{2} ＝ c^{2} - 2 c n + 一个^{2} ．$ 隔离<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $n$ $n$ 给了<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $n = \压裂{^ 2 + c ^ 2 b ^ 2} {2 c}。$ $n ＝ \frac{一个 ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 c} ．$

现在,因为<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h ^ 2 = ^ 2 n ^ 2$ $h^{2} ＝一个^{2} - n^{2}$ ，我们可以代入的值<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $n$ $n$ 获得

$\{对齐}开始h ^ 2 & = ^ 2 - \离开(\ dfrac {^ 2 + c ^ 2 b ^ 2} {2 c} \右)^ 2 \ \ \ \ & = \离开(a - \ dfrac {^ 2 + c ^ 2 b ^ 2} {2 c} \) \离开(a + \ dfrac {^ 2 + c ^ 2 b ^ 2} {2 c} \) \ \ \ \ & = \离开(\ dfrac {2 ac-a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2} {2 c} \) \离开(\ dfrac {2 ac + ^ 2 + c ^ 2 b ^ 2} {2 c} \) \ \ \ \ & = \ dfrac{\离开(b ^ 2 - (a - c) ^ 2 \) \离开((a + c) ^ 2 b ^ 2 \右)}{4 c ^ 2} \ \ \ \ & = \ dfrac {(b + c) (b + a - c) (a + cb) (a + c + b)} {4 c ^ 2} \ \ \ \ \ Rightarrow h = \ dfrac{\√6 {(b + c) (b + a - c) (a + cb) (a + c + b)}} {2 c}。结束\{对齐}$

把这个代入第一个方程<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $(文本\{区域})= \压裂{1}{2}ch$ $（区域）＝ \frac{1}{2} c h$ ，我们得到

$\开始{对齐}& \压裂{1}{2}c \离开(\ dfrac{\√6 {(b + c) (b + a - c) (a + cb) (a + c + b)}} {2 c} \) \ \ \ \ & = \ dfrac{\√6 {(b + c) (b + a - c) (a + cb) (a + c + b)}}{4}。结束\{对齐}$

替换<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $s = \压裂{a + b + c} {2}$ $年代＝ \frac{一个 + b + c}{2}$ ，我们得到

${对齐}\ \开始dfrac{\√6 {2 (s) \ cdot 2(年代)\ cdot 2 (sb) \ cdot 2 (s-c)}} {4} & = \ dfrac{4 \√6 {(s) \ cdot(年代)\ cdot (sb) \ cdot (s-c)}}{4} \ \ & = \√6{年代(年代)(sb) (s-c)}。\ _\方形\端{对齐}$

鞋带公式

三角形的面积，给定顶点的坐标，等于的绝对值

$\frac 12 \det \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}。$

(如果是顺时针，符号为正;如果是逆时针，符号为负。)

在膨胀时，我们得到<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\压裂{1}{2}| x_1y_2-x_3y_2 + x_3y_1-x_1y_3 + x_2y_3-x_2y_1 |。$ $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{3.} y_{2} + x_{3.} y_{1} - x_{1} y_{3.} + x_{2} y_{3.} - x_{2} y_{1} ∣ ．$

如果三角形是三维的，那么面积就变成

$\dfrac{1}{2} \sqrt{\左(\det\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\右)^2 + \左(\det\begin{vmatrix} x_1 & z_1 & 1 \ x_2 & z_3 & 1 \end{vmatrix}\右)^2 + \左(\det\begin{vmatrix} z_1 & y_1 & 1 \ z_2 & y_2 & 1 \ z_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\右)^2}。$

或者，它就是的绝对值

$\frac 12 \det \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} .\ _\square$

三角形顶点的坐标为<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $A=(1,7)， b =(4,5)， c =(10,12)$ $一个＝（ 1 ， 7 ）， B ＝（ 4 ， 5 ）， C ＝（ 10 ， 12 ）$ ．求三角形的面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $美国广播公司$ $一个 B C$ ．

我们有

$\begin{aligned} (\text{Area}) &=& \frac12 \begin{vmatrix}1 & 7 & 1\ 4 & 5 & 1\ 10 & 12 & 1\ end{vmatrix} \\ &=& \frac12 \big[(1\cdot5 + 4\cdot12 + 10\cdot7) -(4\cdot7+5\cdot10+12\cdot1) \big] \\ &=& 16\tfrac12。\ _\方形\端{对齐}$

三角形<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $美国广播公司$ $一个 B C$ 存在于二维笛卡尔平面上，并且在点上有两个顶点<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $=(2、3)$ $一个＝（ 2 ， 3. ）$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $B = (9)$ $B ＝（ - 3. ， 9 ）$ ．点<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $C$ $C$ 存在于抛物线上<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $y = x ^ 2 - 1$ $y ＝ x^{2} - 1$ 这样<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $x$ $x$ 点坐标<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $C$ $C$ 满足<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $3 < x < 3$ $- 3. < x < 3.$ ．求三角形的最大可能面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $美国广播公司$ $一个 B C$ ．

我们先代入给定条件:<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\压裂{1}{2}\大| (2-x_c) (9) (2 + 3) (y_c-3) \大|。$ $\frac{1}{2} ∣ ∣ （ 2 - x_{c} ）（ 9 - 3. ） - （ 2 + 3. ）（ y_{c} - 3. ） ∣ ∣ ．$

替换<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $y = x ^ 2 - 1$ $y ＝ x^{2} - 1$ 膨胀，我们得到<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\压裂{1}{2}\大| (x - 2) (5 x + 13) \大|。$ $\frac{1}{2} ∣ ∣ （ x - 2 ）（ 5 x + 1 3. ） ∣ ∣ ．$

使用<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\压裂{b} {2}$ $\frac{- b}{2 一个}$ 时，最大值出现在<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $x = - \压裂{3}{10}$ $x ＝ - \frac{3.}{1 0}$ ．

然而，由于这是一个绝对值方程，两个根发生在<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $3$ $- 3.$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $3.$ $3.$ ，我们必须检查的值<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $x ={3 3 - \压裂{3}{10}}$ $x ＝ - 3. ， 3. ， - \frac{3.}{1 0}$ 使功能最大化。因此，经过一番努力，我们发现<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $x = \压裂{3}{10}$ $x ＝ \frac{3.}{1 0}$ 为三角形的面积产生最大的值<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $美国广播公司、$ $一个 B C ，$ 这是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\压裂{529}{40}。$ $\frac{5 2 9}{4 0} ．$ $_ \广场$

用向量叉乘、行列式和微积分有几个很好的证明。然而，由于这是一个关于几何的维基，我将发布最简单的几何证明。不幸的是，尽管这是最简单的，但也是最丑的。

为了简单起见，用表示<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $X_1 =a， ~ x_2=b，~ x_3=c，~ y_1=d， ~ y_2=e， ~ y_3=f$ $x_{1} ＝一个， x_{2} ＝ b ， x_{3.} ＝ c ， y_{1} ＝ d ， y_{2} ＝ e ， y_{3.} ＝ f$ ．

这样我们就有了坐标<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $(a,d)， (b,e)， (c,f)$ $（一个， d ），（ b ， e ），（ c ， f ）$ ．(我知道这样不太合适，但相信我，会很难看的。)我们的公式是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\压裂{1}{2}\大| (a - c) (e-f) - (a - b) (d-f) \大|。$ $\frac{1}{2} ∣ ∣ （一个 - c ）（ e - f ） - （一个 - b ）（ d - f ） ∣ ∣ ．$

接下来，通过距离公式，我们得到如下:

从<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $(a, d)$ $（一个， d ）$ 来<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $(b, e)$ $（ b ， e ）$ ，我们得到<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\√6 {(a - b) ^ 2 - (d e) ^ 2}$ $（一个 - b ）^{2} - （ d - e ）^{2}$ ，令它等于<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $p。$ $p ．$
从<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $(a, d)$ $（一个， d ）$ 来<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $(c、f)$ $（ c ， f ）$ ，我们得到<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\√6 {(a - c) ^ 2 - (d-f) ^ 2}$ $（一个 - c ）^{2} - （ d - f ）^{2}$ ，令它等于<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $q。$ $问．$
从<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $(b, e)$ $（ b ， e ）$ 来<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $(c、f)$ $（ c ， f ）$ ，我们得到<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\√6 {(c) ^ 2 - (e-f) ^ 2}$ $（ b - c ）^{2} - （ e - f ）^{2}$ ，令它等于<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $r。$ $r ．$

根据赫伦公式，我们得到<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $16 t ^ 2 = (p + q + r) (p + q + r) (p q + r) (p + q r)。$ $16 T^{2} ＝（ p + 问 + r ）（ - p + 问 + r ）（ p - 问 + r ）（ p + 问 - r ）．$

在插入已知条件进行大规模扩张之后<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $p, q,$ $p ，问，$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $r$ $r$ ，我们得到

$16T^2=4(b d-c d-a e+c e+a f-b f)^2，$

哪个可以因式分解

$(a - c) (e d) - (a - b) (f-d)。$

请注意,<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\ sqrt {x ^ 2} = | | x。$ $x^{2} ＝ ∣ x ∣ ．$ 因此，在两边开平方根后，我们得到

$| | = \ T压裂{1}{2}\大| (a - c) (e d) - (a - b) (f-d) \大|。\ _ \广场$

计算区域

解决问题的基本方法

现在您已经学习了所有不同的可能的公式，让我们看一些例子。

如果一个三角形的两条边长分别为10和11，这个三角形可能的最大面积是多少?

因为三角形面积的公式是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\ fr12 ab \sin C$ $\frac{1}{2} 一个 b 罪 C$ 与<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $0 < \sin C \leq$ $0 < 罪 C \leq 1$ 时，最大面积出现在<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\sin C = 1$ $罪 C ＝ 1$ ．面积是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\frac 12 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 1 = 55。\ _ \广场$ $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 11 \cdot 1 ＝ 55 ．_{□}$

注意，当三角形是直角三角形时，面积是最大的。

图中部分线段的相对长度如下:

$\begin{array}{c}&CE=AE， &DB=2AD， &CF=3BF。结束\{数组}$

如果的面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $三角形ABC \$ $△ 一个 B C$ 是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $24日,$ $24 ，$ 的面积是多少<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\三角形DEF吗?$ $△ D E F ?$

圆的半径是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $20.$ $20$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\角度AOB=\frac{3}{10} \pi。$ $∠ 一个 O B ＝ \frac{3.}{1 0} π ．$

如果<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $C$ $C$ 这一点<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\眉题{BO}$ $\overline{B O}$ 这样<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\眉题{AC}$ $\overline{一个 C}$ 的平分线是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\角包,$ $∠ B 一个 O ，$ 长度是多少<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $公元前\眉题{}?$ $\overline{B C} ?$

把你的答案四舍五入到小数点后三位。

在图中，<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\Delta ABC \cong \Delta EDF$ $Δ 一个 B C ≅ Δ E D F$ 与<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\overline{AC} = \overline{EF} = 8$ $\overline{一个 C} ＝ \overline{E F} ＝ 8$ ．

如果<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $δDEF \$ $Δ D E F$ 以这样的方式定位<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $D$ $D$ 谎言在<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\眉题{AB}$ $\overline{一个 B}$ 和多边形的面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $ADEC$ $一个 D E C$ 是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $28日,$ $28 ，$ 长度是多少<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\眉题{FC} ?$ $\overline{F C} ?$

解决问题-中级

求边长三角形的面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $6、7、8$ $6 ， 7 ， 8$ ．

令边长记为<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $= 6, b = 7, c = 8$ $一个＝ 6 ， b ＝ 7 ， c ＝ 8$ 与边长相对的角<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $一个$ $一个$ 被<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $一个$ $一个$ ．根据余弦法则，我们有<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \ cosa$ $一个^{2} ＝ b^{2} + c^{2} - 2 b c 因为一个$ ．解<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $一个$ $一个$ 收益率<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $\cos A\约\frac{11}{16}$ $因为一个 \approx \frac{1 1}{1 6}$ 或<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $大概{1 - \ \罪= \因为^ 2}= \压裂{\ sqrt {135}} {16}$ $罪一个＝ 1 - 因为^{2} 一个＝ \frac{1 3. 5}{1 6}$ ．请注意，我们只取正的平方根，因为三角形中任何角的正弦值都是非负的。

因此，面积为

$(\text{Area}) =\ frac12 bc \sin A =\ frac12 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{135}}{16} =\frac74 \sqrt{135} \约20.333。\ _ \广场$

注意，我们还可以使用Heron公式得到这个三角形的面积:<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $(\text{Area}) = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}。$ $（区域）＝年代（年代 - 一个）（年代 - b ）（年代 - c ）．$

求三角形的所有可能面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $2$ $2$ 长度边<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $11$ $11$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $12$ $12$ 和一个<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $60 ^{\保监会}$ $6 0^{\circ}$ 角。

的面积之和<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $3.$ $3.$ 最小的三角形是<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $一个\ sqrt {b},$ $一个 b ，$ 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $一个$ $一个$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b$ $b$ 都是整数和<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b$ $b$ 是否无平方，输入您的答案为<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $a + b$ $一个 + b$ ．

这是特雷弗十人组的一部分。
有用的Brilliant wiki:三角形的面积
图片来源:Ilmari Karonen的Wikimedia全等三角形

在几何中，赫伦公式表示边长为三角形的面积<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $一个$ $一个$ ，<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b$ $b$ ,<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $c$ $c$ 是

$A = \√{s(s- A)(s-b)(s-c)，}$

在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $年代$ $年代$ 是三角形的半周长，也就是，

$S = \frac{a+b+c}{2}。$

赫伦公式也可以写成

$\开始{对齐}& = & \压裂{1}{4}\ sqrt {(A + b + c) (A + c) (b + c - A) (c + A - b )} \\ &=&\ 压裂{1}{4}\ sqrt{2 \离开(^ 2 b ^ ^ 2 + b 2 c ^ 2 + c ^ 2 ^ 2 \右)- \离开(4 ^ + ^ 4 b + c ^ 4 \对吧 )} \\ &=& \ 压裂{1}{4}\ sqrt{\离开(^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 \右)^ 2 - 2 \左(4 ^ + ^ 4 b + c ^ 4 \ )} \\ &=& \ 压裂{1}{4}\√6 {4 a ^ 2 b ^ 2 -左\ (^ ^ 2 + b 2 c ^ 2 \右)^ 2}。结束\{对齐}$

另外两个面积公式具有与Heron公式相同的结构，但用不同的变量表示。

首先，从两边表示中位数<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $一个$ $一个$ ，<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b$ $b$ ,<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $c$ $c$ 分别为<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $u, v$ $u ， v$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $w$ $w$ 它们的半和是

$\sigma = \frac{u+v+w}{2}，$

我们有

$= \压裂{4}{3}\√6{\σ(\ sigma-u) (\ sigma-v) (\ sigma-w)}。$

接下来，表示从两侧的高度<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $一个$ $一个$ ，<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b$ $b$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $c$ $c$ 分别为<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $p$ $p$ ，<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $问$ $问$ ,<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $r$ $r$ ，表示高度倒数的半和为

$H = \frac{p^{-1}+q^{-1}+r^{-1} {2}，$

我们有

$一个^{1}= 4 \√6 {H \离开(惠普^{1}\)\离开(H-q ^{1} \) \离开(H-r ^{1} \右)}。$

其他公式包括

$\frac {1}{2} b h，$ 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b$ $b$ 是基和<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $h$ $h$ 是高度;
$\frac {1}{2} a b \sin C，$ 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $C$ $C$ 是夹角，有臂膀<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $b$ $b$ 而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $c;$ $c ；$
$abc \压裂{}{4 r},$ 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $R$ $R$ 是圆周半径;
$rs,$ 在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $r$ $r$ 是in半径和<年代p一个ncl一个年代年代＝"katex"> $年代$ $年代$ 是半周长;
选择定理为晶格多边形的面积。

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