多项式的变换根gydF4y2Ba

变换多项式的根gydF4y2Ba一种技术是用来构造一个gydF4y2Ba多项式gydF4y2Ba谁的gydF4y2Ba根gydF4y2Ba与另一个多项式的根相关(或由其转换而来)。例如，如果gydF4y2Ba $F (x) = x^2 -4，gydF4y2Ba$然后是一个多项式它的根是的倒数gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $G (x) = 4x^2 - 1。gydF4y2Ba$类似地，一个多项式其根比的根大1gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $G (x) = x^2-2x -3。gydF4y2Ba$

的关键思想是，为了变换根，不需要知道根，通常使用的结果gydF4y2BaVieta的公式gydF4y2Ba．这些技术最常出现在gydF4y2Ba数学竞赛中gydF4y2Ba问题。gydF4y2Ba

本维基考虑的一般问题如下:gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $P (x)gydF4y2Ba$是一个有根的一元多项式gydF4y2Ba $r_1, r_2 \ ldots r_n。gydF4y2Ba$假设gydF4y2Ba $s_1、s_2 \ ldots s_ngydF4y2Ba$都来自于gydF4y2Ba $r_ngydF4y2Ba$通过某种(简单的)函数，例如:gydF4y2Ba $S_i = 2r_i+3，gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $S_i = r_i^{-2}。gydF4y2Ba$什么是一元多项式gydF4y2Ba $问(x)gydF4y2Ba$谁的根是gydF4y2Ba $s_igydF4y2Ba$?gydF4y2Ba

一般来说，人们都理解用根来计数gydF4y2Ba多重性gydF4y2Ba，以及每个根的各自的多重度和程度gydF4y2Ba $P (x)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $问(x)gydF4y2Ba$会相等。gydF4y2Ba

这里有两个简单的例子。gydF4y2Ba

翻译。gydF4y2Ba $\水平间距{0.1厘米}gydF4y2Ba$让gydF4y2Ba $P (x)gydF4y2Ba$是一个有根的一元多项式gydF4y2Ba $r_1, \ ldots r_n。gydF4y2Ba$什么是一元多项式gydF4y2Ba $问(x)gydF4y2Ba$他们的根是gydF4y2Ba $r_1 + 2, r_2 + 2, \ ldots r_n + 2gydF4y2Ba$?gydF4y2Ba

---

很明显gydF4y2Ba $Q(x) = P(x-2)gydF4y2Ba$会有效果的:gydF4y2Ba $Q(x) = 0gydF4y2Ba$当且仅当gydF4y2Ba $P(x-2) = 0，gydF4y2Ba$当且仅当gydF4y2Ba $X-2 = r_i，gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $x = r_i + 2。gydF4y2Ba$这是一个非正式的论证，因为它没有正式地处理重复根，所以这里有一个更严格的证明:gydF4y2Ba

写gydF4y2Ba $P(x) = (x-r_1)(x-r_2)(\cdots)(x-r_n)，gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $问(x) = \大(x - (r_1 + 2) \大)\大(x - (r_2 + 2) \大)(\ cdots) \大(x - (r_n + 2) \大)。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $P(x-2) = Q(x)gydF4y2Ba$通过简单的代换gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$把gydF4y2Ba $x - 2gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在for的表达式中gydF4y2Ba $P (x))gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

例如，让gydF4y2Ba $P(x) = x^2-4gydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $Q(x) = P(x-2) = (x-2)^2-4 = x^2-4x。gydF4y2Ba$的根源gydF4y2Ba $P (x)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $2、2gydF4y2Ba$的根gydF4y2Ba $问(x)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $0，4gydF4y2Ba$，如你所愿。gydF4y2Ba

注意，这甚至适用于gydF4y2Ba复杂的gydF4y2Ba的根源。如果gydF4y2Ba $P(x) = x²+4，gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $Q(x) = P(x-2) = (x-2)²+4 = x²-4x+8。gydF4y2Ba$的根源gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $我下午\,gydF4y2Ba$的根gydF4y2Ba $问(x)gydF4y2Ba$都是由gydF4y2Ba二次方程gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $\压裂{4 \ \下午sqrt {4 ^ 2 - 4 \ cdot 8}} 2 = \压裂{下午4 \ \ sqrt{-16}} 2 = 2 \ \下午√{4}= 2 \ pm我,gydF4y2Ba$根据需要。gydF4y2Ba

扩展。gydF4y2Ba $\水平间距{0.1厘米}gydF4y2Ba$让gydF4y2Ba $P (x)gydF4y2Ba$是一个有根的一元多项式gydF4y2Ba $r_1, \ ldots r_n。gydF4y2Ba$什么是一元多项式gydF4y2Ba $问(x)gydF4y2Ba$他们的根是gydF4y2Ba $2 r_1 \ ldots 2 r_n吗?gydF4y2Ba$

---

这是相似的:gydF4y2Ba $Q(x) = 2^n P\大(\frac x2\大)gydF4y2Ba$将工作。gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $P(x) = (x-r_1)(\cdots)(x-r_n)，gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $大(2 ^ n P \ \压裂x2 \大)= 2 ^ n \大(\压裂x2 - r_1 \大)(\ cdots) \大(\压裂x2-r_n \大)= (x-2r_1) (\ cdots) (x-2r_n),gydF4y2Ba$这是gydF4y2Ba $Q (x)。gydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$最后一步消除gydF4y2Ba $2 ^ ngydF4y2Ba$乘以每一个gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$因素,gydF4y2Ba $2)。gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

例如，让gydF4y2Ba $P(x) = x^2-4。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $问(x) = 2 ^ 2 P \大(\压裂x2 \大)= 4 \大(\大(\压裂x2 \大)^ 2 - 4 \大)= x ^ - 18。gydF4y2Ba$的根源gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\下午2gydF4y2Ba$的根gydF4y2Ba $问gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $4 \点,gydF4y2Ba$根据需要。这个公式同样适用于gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$是复杂的。gydF4y2Ba

反演。gydF4y2Ba $\水平间距{0.1厘米}gydF4y2Ba$让gydF4y2Ba $P (x)gydF4y2Ba$是一个有根的一元多项式gydF4y2Ba $r_1, \ ldots r_n。gydF4y2Ba$假设gydF4y2Ba $R_i \ne 0gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $我。gydF4y2Ba$什么是一元多项式gydF4y2Ba $问(x)gydF4y2Ba$他们的根是gydF4y2Ba $\frac 1{r_1}， \ldots， \frac 1{r_n}?gydF4y2Ba$

---

这是自然的选择gydF4y2Ba $Q(x) = P\大(\frac 1x\大)，gydF4y2Ba$但这不是一个多项式，如果gydF4y2Ba $P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0，gydF4y2Ba$ $大(P \ \压裂1 x \大)= \压裂{1}{x ^ n} + \压裂{现代{n}} {x ^ {n}} + \ cdots + a_0。gydF4y2Ba$但是，它在乘以之后变成了一个多项式gydF4y2Ba $x ^ n。gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $x ^ nP \大(\压裂1 x \大)= a_0x ^ n + a_1 x ^ {n} + \ cdots +现代{n} x + 1。gydF4y2Ba$注意这个多项式是精确的gydF4y2Ba $P (x)gydF4y2Ba$系数反转。请注意,gydF4y2Ba $A_0 \ne 0gydF4y2Ba$因为它就是gydF4y2Ba $(1) ^ ngydF4y2Ba$乘以的乘积gydF4y2Ba $r_i。gydF4y2Ba$所以我们想要的monic多项式是gydF4y2Ba $Q(x) = \frac1{a_0} x^n P\左(\frac 1x\右)。\ _ \广场gydF4y2Ba$

例如，如果gydF4y2Ba $P(x) = x^2-4，gydF4y2Ba$系数反转的多项式是gydF4y2Ba $4 x ^ 2 + 1,gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $Q(x) = -\frac14 \big(-4x^2+1\big) = x^2-\frac 14。gydF4y2Ba$它的根是gydF4y2Ba $\pm \frac 12，gydF4y2Ba$哪个是根的倒数gydF4y2Ba $\下午2gydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $P (x)。gydF4y2Ba$

稍微难一点的问题是找到一个多项式，它的根是原多项式根的平方。gydF4y2Ba

平方。gydF4y2Ba $\水平间距{0.1厘米}gydF4y2Ba$让gydF4y2Ba $P (x)gydF4y2Ba$是一个有根的一元多项式gydF4y2Ba $r_1, \ ldots r_n。gydF4y2Ba$根是什么的一多项式是什么gydF4y2Ba $r_1 ^ 2 \ ldots r_n ^ 2 ?gydF4y2Ba$

---

首先要注意gydF4y2Ba $P (x)gydF4y2Ba$有根gydF4y2Ba $r_igydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $(1) ^ n P (- x)gydF4y2Ba$有根gydF4y2Ba $-r_i。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $(1) ^ n P (x) P (- x)gydF4y2Ba$是次的一多项式吗gydF4y2Ba $2 ngydF4y2Ba$他们的根是gydF4y2Ba $\pm r_1， \pm r_2， \ldots， \pm r_n。gydF4y2Ba$但是要注意gydF4y2Ba $(1) ^ n P (x) P (- x)gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba甚至gydF4y2Ba多项式，所以它是一个多项式gydF4y2Ba $x ^ 2gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba $(-1)^nP(x)P(-x) = Q(x²)gydF4y2Ba$对于一些一元的gydF4y2Ba $问gydF4y2Ba$的程度gydF4y2Ba $n。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $问(x)gydF4y2Ba$就是题目要求的多项式。gydF4y2Ba

$（gydF4y2Ba$的显式公式gydF4y2Ba $问(x)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $Q(x) = (-1)^n P(\√{x})P(-\√{x})。gydF4y2Ba$这个公式没有说明原因gydF4y2Ba $问gydF4y2Ba$是一个多项式，但前面的段落确保了它是。gydF4y2Ba $）gydF4y2Ba$

下面是一个显式的例子:ifgydF4y2Ba $P(x) = x^3-6x^2+11x-6，gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $\ P{对齐}- P (x)开始(- x) & = \大(x ^ 3-6x ^ 2 + 11×6 \大)、大(x ^ 3 + 6 x ^ 2 + 11 + 6 \大)\ \ & = \大(x ^ 3 + 11 x \大)^ 2 - \大(6 x ^ 2 + 6 \大)^ 2 \ \ & = x ^ 6 + 22 x ^ 4 + 121 x ^ 2 - 36 x ^ 4 - 72 x ^ 2 - 36 \ \ & = x ^ 6 - 14 x x ^ ^ 4 + 49转动,结束\{对齐}gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $Q(x) = x^3-14x^2+49x-36gydF4y2Ba$是有根的多项式吗gydF4y2Ba $r_i ^ 2。gydF4y2Ba$如前所述，根gydF4y2Ba $P (x)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $1、2、3,gydF4y2Ba$的根很容易检查gydF4y2Ba $问(x)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $1、4、9gydF4y2Ba$根据需要。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

这些技术可以结合起来生成带有根的多项式，这些根是原始根的有趣函数。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $P(x) = x³-6x²+11x-6。gydF4y2Ba$叫它的根gydF4y2Ba $r_1, r_2, r_3。gydF4y2Ba$

根是什么的一元三次多项式gydF4y2Ba $\dfrac3{r_1+1}， \dfrac3{r_2+1}， \dfrac3{r_3+1}?gydF4y2Ba$

---

一种多项式，其根为gydF4y2Ba $r_i + 1gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\{对齐}开始P_1 (x) & = P (x - 1) \ \ & = (x - 1) ^ 3 - 6 (x - 1) ^ 2 + 11 (x - 1) 6 \ \ & = x ^ 3-9x ^ 2 + 26 x - 24。结束\{对齐}gydF4y2Ba$一种多项式，其根为gydF4y2Ba $\ frac1 {r_i + 1}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $P_2 (x) = - \ dfrac1 {24} x ^ 3 p_1左(\ frac1x \右)= - \ \ dfrac1{24} \大(-24 x ^ 3 + 26 x ^ 2-9x + 1 \大)。gydF4y2Ba$一种多项式，其根为gydF4y2Ba $\ frac3 {r_i + 1}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $P_3(x) = 27P_2\左(\frac x3\右)= -\dfrac{27}{24}\左(\dfrac{24}{27} x^3 + \dfrac{26}9 x^2 - 3x + 1\右)= x^3 -\dfrac{13}4 x^2 + \dfrac{27}8 -\ dfra98。\ _ \广场gydF4y2Ba$

$（gydF4y2Ba$其实是根gydF4y2Ba $P (x)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $1、2、3,gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $P_3 (x)gydF4y2Ba$应该有根gydF4y2Ba $\frac32, 1， \frac34。gydF4y2Ba$这很容易直接检查。gydF4y2Ba $）gydF4y2Ba$

更一般地，假设gydF4y2Ba $F (x) = \frac{g(x)}{h(x)}gydF4y2Ba$是有理函数吗gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $hgydF4y2Ba$多项式。给定一个多项式gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$与根gydF4y2Ba $r_i,gydF4y2Ba$构造多项式的方法gydF4y2Ba $问gydF4y2Ba$与根gydF4y2Ba $f (r_i)gydF4y2Ba$具体如下:gydF4y2Ba

的根源gydF4y2Ba $问gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $Y_i = \dfrac{g(r_i)}{h(r_i)}，gydF4y2Ba$所以它们是解gydF4y2Ba $y_igydF4y2Ba$两个变量的方程组gydF4y2Ba $\begin{aligned} y h(x) - g(x) &= 0 \\ P(x) &= 0。结束\{对齐}gydF4y2Ba$具有这些根的一多项式(在一个比例因子内)是gydF4y2Ba合成gydF4y2Ba ${Res}值\ \文本大(yh - g (x) (x), P (x) \大)。gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $P(x) = x^3-x+1。gydF4y2Ba$假设它的根是gydF4y2Ba $r_1, r_2, r_3。gydF4y2Ba$求出其根为的多项式gydF4y2Ba $\ dfrac {r_i} {r_i ^ 2 + 1}。gydF4y2Ba$

---

我们要的是结果gydF4y2Ba ${Res}值\ \文本大(y (x ^ 2 + 1) - x, x ^法+ 1 \大),gydF4y2Ba$这是gydF4y2Ba $\侦破\ {pmatrix} y&-1&y&0&0开始\ \ 0 0 &0&y&-1&y &y&-1&y&0 \ \ \ \ 1 &0&-1&1&0 \ \ 0 &1&0&-1&1 \结束{pmatrix} = 5 y ^ 3 - 4 y ^ 2 - y + 1。gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $Q(x) = x^3-\ frac45x ^2 -\ frac15x + \frac15。gydF4y2Ba$

另一种表达这个结果的方式是:gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$的根gydF4y2Ba $x ^法+ 1gydF4y2Ba$,让gydF4y2Ba ${\ mathbb Q}(\α)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba场gydF4y2Ba的多项式gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$有有理系数。然后gydF4y2Ba最小多项式gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $\ dfrac{\α}{\α^ 2 + 1}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $Q(x) = x^3-\ frac45x ^2 -\ frac15x + \frac15。gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

结果不容易用手计算，但很适合计算机计算。这就是计算机代数包如何解决寻找多项式的根是现有多项式根的有理函数的问题。gydF4y2Ba