莱布尼茨在1682年的一篇论文中第一个使用了“先验的”这个词,他在论文中证明了函数
f
(
x
)
=
罪
x
f (x) = \ sin (x)
f(x)= 罪x 不是一个代数函数的
x
x
x ,这大致意味着不存在整数多项式
p
0
(
x
)
,
p
1
(
x
)
,
...
p_0 (x) p_1 (x) \ ldots
p0 (x),p1 (x),... 这样
p
0
(
x
)
(
罪
x
)
0
+
p
1
(
x
)
(
罪
x
)
1
+
p
2
(
x
)
(
罪
x
)
2
+
⋯
=
0
p_0 (x) (\ sin (x)) ^ 0 + p_1 (x) (\ sin (x)) ^ 1 + p_2 (x) (\ sin (x)) ^ 2 + \ cdots = 0
p0 (x)(罪x)0 + p1 (x)(罪x)1 + p2 (x)(罪x)2 + ⋯= 0 对所有
x
x
x .
然而,直到1748年,这个术语才被用于先验的数字欧拉猜想如果
日志
一个
b
\log_ab
日志ydF4y2Bag 一个 b 是非理性的,也是先验的。然而,这个猜想一个多世纪以来都没有得到证实。
将近100年后,刘维尔用一个包括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continued-fractions/" class="wiki_link" title="连分数gydF4y2Ba" target="_blank">连分数.然而,他的证明仅强到足以证明专门制作的数字(称为刘维尔数)是先验的,特别是没有强到足以检测的超越
e
e
e .
一段时间后,康托尔证明了一个更深层次的结果:超越数不仅存在,而且几乎包含所有实数。这是关于实数的不可数性的一个更深层次的结果,这个结果在研究中也有深刻的应用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/infinity/" class="wiki_link" title="无限gydF4y2Ba" target="_blank">无限.
1955年,休-西格尔-罗斯定理(通常简称为罗斯定理)在刘维尔的基础上有了显著的改进,从而发现了许多其他超越数,其中最著名的是罗斯定理Champernowne常数
0.1234567891011
...
0.1234567891011 \ ldots
0.123.4567891011... .这一成果为罗斯赢得了1958年菲尔兹奖章。
这一领域由于发现了Lindemann-Weierstraß定理,该定理最终解决了圆的平方问题,表明仅使用直尺和指南针不可能构造出面积等于给定圆的正方形
π
\圆周率
π 是超越的,而且之前已经确定只有代数长度可以用直尺和圆规,所以这个问题的答案是否定的。
最新的主要结果是Gelfand-Schneider定理证明了这一点
一个
b
a^b
一个b 对于任何代数系统都是超越的
一个
,
b
a、b
一个,b
(
(
( 在哪里
一个
一个
一个 不是
0
,
1
0,1
0,1 和
b
b
b 是不理性的
)
.
).
). 这肯定地回答了希尔伯特在世纪之交提出的著名的23个问题中的第七个问题。
从直觉上讲,刘维尔的方法是论证代数数不能很好地近似<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-numbers/" class="wiki_link" title="有理数gydF4y2Ba" target="_blank">有理数,所以任何一个数可以被有理数很好地近似,必须是超越的。更正式,如果
α
\α
α 是一个带度的代数数
d
d
d
(
(
( 意思是多项式的次数最小
α
\α
α 作为根有度
d
)
,
d),
d), 那么不平等
∣
α
−
p
问
∣
<
1
问
d
+
ϵ
\左| \alpha-\frac{p}{q}\右|<\frac{1}{q^{d+\epsilon}
∣ ∣ ∣ ∣ α−问 p ∣ ∣ ∣ ∣ < 问d+ϵ 1
只有有限多个解
p
问
\压裂{p} {q}
问 p 哪里
ϵ
\ε
ϵ 是任意正数。
然而,这个结果很难用来证明一个数是超越的,因为它必须证明无穷解
p
问
\压裂{p} {q}
问 p 为每一个的价值
d
d
d . 因此l我ouville's proof was only sufficient to show specially crafted numbers were transcendental, most notably the number
∑
我
=
0
∞
1
1
0
我
!
=
0.110001000000000000000001
...
\ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \压裂{1}{10 ^{我!}}= 0.110001000000000000000001 \ ldots
我=0 ∑ ∞ 10我! 1 = 0.110001000000000000000001...
被称为刘维尔常数.更普遍的是,
∑
我
=
0
∞
一个
k
b
k
!
\ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \压裂{a_k} {b ^ {k !}}
我=0 ∑ ∞ bk! 一个k
(
(
( 即。
0.
一个
1
一个
2
000
一个
3.
00000000000000000
一个
4
...
b
)
0. a_1a_2000a_300000000000000000a_4 \ ldots_b)
0.一个1 一个2 000一个3. 00000000000000000一个4 ...b ) 是超越
0
≤
一个
k
≤
b
−
1
0 \leq a_k \leq b-1
0≤ 一个k ≤ b− 1 ,这类数字被称为刘维尔数.
选择这些数字是为了满足以下属性:
对于任意整数
n
n
n 还有刘维尔号码
l
l
l ,则存在无穷多对
(
p
,
问
)
(p, q)
(p,问) 满足了不平等
∣
l
−
p
问
∣
<
1
问
n
.
\左| L - \压裂{p} {q} \右| < \压裂{1}{q ^ n}。
∣ ∣ ∣ ∣ l−问 p ∣ ∣ ∣ ∣ < 问n 1 .
如果被证明,这意味着
l
l
l 是超越的,就好像它是代数的
d
d
d 那么就只有有限的解了
∣
l
−
p
问
∣
<
1
问
d
+
ϵ
\左| L-\frac{p}{q}\右<\frac{1}{q^{d+\epsilon}
∣ ∣ ∣ l−问 p ∣ ∣ ∣ < 问d+ϵ 1 ,这与任何解都有无限个解的事实相矛盾
n
n
n .
证明使用了下面的引理:
如果
α
\α
α 是一个带度的代数数
n
n
n ,则存在一个实数
一个
一个
一个 这样
∣
α
−
p
问
∣
>
一个
问
n
\ displaystyle \左| \α- \压裂{p} {q} \右| > \压裂{一}{q ^ n}
∣ ∣ ∣ ∣ α−问 p ∣ ∣ ∣ ∣ > 问n 一个 对所有
p
p
p 和
问
.
q。
问.
现在,如果
l
l
l 是代数的,那么就存在一些
一个
一个
一个 这样
∣
l
−
p
问
∣
>
一个
问
n
\左| L-\frac{p}{q}\right}>\frac{A}{q^n}
∣ ∣ ∣ ∣ l−问 p ∣ ∣ ∣ ∣ > 问n 一个
对所有
p
,
问
p, q
p,问 .但根据上述性质,存在整数
一个
,
b
a、b
一个,b 这样
∣
l
−
一个
b
∣
<
1
b
米
左| \ L - \压裂{一}{b} \右| < \压裂{1}{b ^ m}
∣ ∣ ∣ l−b 一个 ∣ ∣ ∣ < b米 1
对于任何
米
米
米 .特别是,设置
米
=
n
+
r
m = n + r
米= n+ r 给了
∣
l
−
一个
b
∣
<
1
b
n
+
r
=
1
b
r
⋅
1
b
n
≤
1
2
r
1
b
n
,
\左| L-\frac{a}{b}\right}<\frac{1}{b^n+r}=\frac{1}{b^r}\cdot\frac{1}{b^{n}\leq\frac{1}{2^r}\frac{1}{b^{n},
∣ ∣ ∣ l−b 一个 ∣ ∣ ∣ < bn +r 1 = br 1 ⋅ bn 1 ≤ 2r 1 bn 1 ,
所以选择一个足够大的
r
r
r 这样
1
2
r
<
一个
r \压裂{1}{2 ^}<
2r 1 < 一个 ,
∣
l
−
一个
b
∣
<
1
b
n
+
r
=
1
b
r
⋅
1
b
n
≤
1
2
r
1
b
n
<
一个
b
n
左| \ L - \压裂{一}{b} \右| < \压裂{1}{b ^ n + r} = \压裂{1}{b r ^} \ cdot \压裂{1}{b ^ {n}} \ leq \压裂{1}{2 r ^} \压裂{1}{b ^ {n}} < \压裂{一}{b ^ n}
∣ ∣ ∣ l−b 一个 ∣ ∣ ∣ < bn +r 1 = br 1 ⋅ bn 1 ≤ 2r 1 bn 1 < bn 一个
对于任何
n
n
n ,这与最初的断言相矛盾
l
l
l 是代数。因此,
l
l
l 必须超越。
□
_ \广场
□
这是值得注意的目的
ϵ
\ε
ϵ 在前一节中:当指数减少到2时,语句不能保持为真。特别是,
有无限多
p
,
问
p, q
p,问 令人满意的
∣
α
−
p
问
∣
<
1
问
2
左\ displaystyle \ | \α- \压裂{p} {q} \右| < \压裂{1}{问^ {2}}
∣ ∣ ∣ ∣ α−问 p ∣ ∣ ∣ ∣ < 问2 1 对于任何真正的
α
\α
α ,无论是代数的还是超越的。
证明一个更有力的结果是更清楚的:
对于任意整数
n
n
n 存在
p
,
问
p, q
p,问 这样
1
≤
问
≤
n
1\leq\leq n
1≤ 问≤ n 和
∣
α
−
p
问
∣
<
1
n
问
.
\displaystyle\left |\alpha-\frac{p}{q}\right}<\frac{1}{nq}。
∣ ∣ ∣ ∣ α−问 p ∣ ∣ ∣ ∣ < n问 1 .
考虑区间
[
0
,
1
)
=
[
0
,
1
n
)
∪
[
1
n
,
2
n
)
∪
...
∪
[
n
−
1
n
,
n
)
,
[0, 1) = \[0, \压裂{1}{n} \右)左\杯\[\压裂{1}{n} \压裂{2}{n} \右)左\杯\ ldots \杯\[\压裂{n} {n}, n \右),
[0,1)= [ 0,n 1 ) ∪ [ n 1 ,n 2 ) ∪ ...∪ [ n n−1 ,n) ,
哪里有
n
n
n 分段间隔。现在考虑一下
n
+
1
n + 1
n+ 1 部分零件
{
0
⋅
α
}
,
{
1
⋅
α
}
,
...
,
{
n
⋅
α
}
\{0\cdot\alpha\}、\{1\cdot\alpha\}、\{n\cdot\alpha\}
{0⋅ α},{1⋅ α},...,{n⋅ α} .按<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/pigeonhole-principle-definition/" class="wiki_link" title="鸽子洞原理gydF4y2Ba" target="_blank">鸽子洞原理,其中两个部分属于同一区间,所以存在
我
,
j
i、 j
我,j 的
{
我
⋅
α
}
我\ \{αcdot \ \}
{我⋅ α} 和
{
j
⋅
α
}
\{αj \ cdot \ \}
{j⋅ α} 属于同一区间。但后来
∣
(
我
−
j
)
α
−
k
∣
<
1
n
大\ | (i j) \α_k \大| < \压裂{1}{n}
∣ ∣ (我− j)α− k∣ ∣ < n 1 对于一些整数
k
k
k 自从
(
我
−
j
)
α
(i-j)\alpha
(我− j)α 是在
1
n
\压裂{1}{n}
n 1 的一个整数
k
k
k . 因此
∣
α
−
k
我
−
j
∣
<
1
n
(
我
−
j
)
,
左| \ \α- \压裂{k} {i j} \右| < \压裂{1}{n (i j)},
∣ ∣ ∣ ∣ α−我−j k ∣ ∣ ∣ ∣ < n(我−j) 1 ,
根据需要精确。
□
_ \广场
□
令人惊讶的是,对于一般的超越数知之甚少。事实上,对于确定某个特定数是否是超越数,特别是当该数与指数函数无关时,几乎没有可用的一般策略
e
x
e^x
ex 和对数函数
ln
x
\Lnx
lnx .例如,虽然有些数字是已知的超越数:
e
e
e
π
\圆周率
π
Champernowne常数
0.1234567891011
...
0.1234567891011 \ ldots
0.123.4567891011...
格尔丰德常数
e
π
e^{\pi}
eπ
Gelfond-Schneider常数
(
2
)
2
左\ \√{2}\右)^ {\ sqrt {2}}
( 2
) 2
ln
2
\ ln 2
ln2
罪
1
\罪1
罪1
(
\大(
( 这和
罪
1
∘
)
,
\罪1 ^ \保监会\大),
罪1∘ ) ,
大多数不是。例如,是否
π
e
\皮埃
πe
π
+
e
\pi+e
π+ e (尽管已知至少有一个
π
e
\皮埃
πe 和
π
+
e
\pi+e
π+ e 先验)
π
π
π\ ^{\π}
ππ
e
e
e^e
ee
π
e
\π^ e
πe
欧拉-马斯切洛尼常数
γ
\γ
γ
阿佩里常数
ζ
(
3.
)
=
1.20205
...
\ \ ldots泽塔(3)= 1.20205
ζ(3.)= 1.20205... (Apéry在1978年指出这是不合理的)
是先验的。更具体地说,当Gelfond-Schneider定理显示,
一个
b
a^b
一个b 对于任何代数系统都是超越的
一个
,
b
a、b
一个,b (一般情况除外
一个
=
0
,
1
= 0, 1
一个= 0,1 和
b
b
b 是有理的),这仍然是一组可数的数字。事实上,不知道上面列表中的许多常数是否是有理的。
关于这些类型的数字,人们做了一些猜测,例如Schanuel的猜想即
问
(
z
1
,
z
2
,
...
,
z
n
,
e
z
1
,
e
z
2
,
...
,
e
z
n
)
\mathbb{Q}(z_1,z_2,ldots,z_n,e^{z_1},e^{z_2},ldots,e^{z_n})
问 (z1 ,z2 ,...,zn ,ez1 ,ez2 ,...,ezn ) 至少有超越度吗
n
n
n ,推广了上面的林德曼-维尔施特劳斯定理。如果被证明,它将确立数字的性质,例如
π
+
e
\pi+e
π+ e 和
e
e
e^e
ee .在某种意义上,这也意味着欧拉定理
e
π
我
+
1
=
0
e^{\pi i}+1=0
eπ我 + 1= 0 两者之间的唯一关系是什么
e
,
π
,
e \π,
e,π, 和
我
我
我 .
此外,作为对罗斯定理的改进,朗推测
∣
α
−
p
问
∣
<
1
问
2
日志
(
问
)
1
+
ϵ
,
左| \ \α- \压裂{p} {q} \右| < \压裂{1}{问^ {2}\ log (q) ^{1 + \ε}},
∣ ∣ ∣ ∣ α−问 p ∣ ∣ ∣ ∣ < 问2 日志ydF4y2Bag (问)1+ϵ 1 ,
这一点尚未得到证实。
罪
1
\罪1
罪1
罪
9
0
∘
\sin 90^\circ
罪90∘
罪
π
罪\ \π
罪π
csc
1
∘
\csc 1^\circ
csc1∘
0.1234567891011...
1729
2
e
π
大\ \颜色{天蓝色}{\盒装{0.1234567891011……}}\quad \color{#BA33D6}{\boxed{\sqrt{1729}}} \quad \color{#20A900}{\boxed{\sqrt{2}}} \quad \color{#3D99F6}{\boxed{e} } \quad \color{#D61F06}{\boxed{\pi} }
0.123.4567891011... 1729
2
e π
以上数中有多少是超越数?
加入英才班,享受卓越。另外,请查看JEE的Foundation Assignment #2。