拓扑结构

拓扑结构是研究几何空间的性质，由连续变形保存(直观地说，拉伸、旋转或弯曲是连续变形;撕裂或粘合则不是)。该理论起源于对形状进行分类和研究的一种方法 ${} \ mathbb R ^ n,$但是现在被称为点集拓扑的公理已经被证明足够丰富和广泛，可以将抽象拓扑的思想应用到许多其他数学领域。例如，拓扑思想自然地出现在微积分和分析中，但它们在现代也相当重要<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/number-theory/" class="wiki_link" title="数论＂target="_blank">数论．拓扑学的基本结构是一种解释集合中两点何时“接近”的公理方法。在实际的情况下，比如欧几里得空间， ${} \ mathbb R ^ n,$有一个标准的欧氏距离函数，用来测量两点之间的距离。这 ${} \ mathbb R ^ n$成一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="度量空间＂target="_blank">度量空间，这是拓扑空间最自然的例子。等概念<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="连续性＂target="_blank">连续性而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/two-sided-limits/" class="wiki_link" title="限制＂target="_blank">限制可以用这个距离函数(或度规）.

更一般地说，即使没有度规，拓扑的主要概念也可以通过用的概念替换度规来定义<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="开集＂target="_blank">开集．在度量空间中，如果集合中的每个点都有一个社区完全包含在集合中。一个点的邻域 $p$在度规空间中是在一定距离内的所有点的集合 $p。$

当没有定义良好的距离函数时，更抽象的定义则直接指定哪些子集是开放的。在某些必要的假设下，这个开集集合(称为a拓扑结构)，就有可能有意义地扩展一些重要概念的定义，如连续性、<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/connected-space/" class="wiki_link" title="连通性＂target="_blank">连通性,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/compact-space/" class="wiki_link" title="密实度＂target="_blank">密实度这些更抽象的拓扑空间。

正如导言中提到的，集合上拓扑的一般概念是该理论的基础。

让 $X$是一个集。一个拓扑结构在 $X$是一家集 $\ mathcal T$的子集 $X,$满足下列性质:

1. $\ varnothing$而且 $X$都是在 $\ mathcal T。$

2. 集合集合的并集 $\ mathcal T$是在 $\ mathcal T。$

3. 有限多个的交集 $\ mathcal T$是在 $\ mathcal T。$

的子集 $\ mathcal T$被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="打开设置＂target="_blank">打开设置．

每个集合都有两个基本的(但很重要的)拓扑。的离散拓扑在 $X$的拓扑结构 $\ mathcal T$的每一个子集的 $X$(“每个子集都是开放的”)。的不分开的拓扑在 $X$的拓扑结构 $\ mathcal T$这样只有两个子集 $\ mathcal T$是 $\ varnothing$而且 $X$(“没有打开的非空固有子集”)。这两者显然都是拓扑(它们满足定义中的条件)。

离散拓扑是唯一的拓扑，其中每一个点的子集 $X$是开放的:如果每个点子集都是开放的，那么每个子集都可以表示为一个点子集的并集，因此根据公理2，它是开放的。

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="度量空间＂target="_blank">度量空间

拓扑空间最自然的例子来自于度规，是一个函数 $d (x, y)$它赋予任意两点一个非负实数距离 $x, y$在空间。定义度量的条件是

1. $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y。$
2. $d (x, y) = d (y、x)。$
3. $d (x, y) + d (y, z)通用电气\ d (x, z)$(<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/triangle-inequality/" class="wiki_link" title="三角不等式＂target="_blank">三角不等式两点之间最短的距离是直线)。

拓扑 $\ mathcal T$由度规诱发 $d$包含<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="打开设置＂target="_blank">打开设置 $U$对于任意一点 $x \ U,$有一些 $\ε> 0$这样所有的点 $y$与 $d (x, y) < \ε$也在 $U。$也就是说，在 $U$有一个“半径球? $\ε$“围绕着它，它完全包含在里面 $U。$

度量空间引起的拓扑具有许多任意拓扑所不具有的特殊性质。一个有用的例子是豪斯多夫性质:任意两个不同的点 $x$而且 $y$可以用开集分开。也就是说，有开放集 $U, V$与 $x\in U,y\in V, U\cap V = \varnothing。$为了看到这一点，假设 $d (x, y) = d$；然后让 $U$而且 $V$是半径的球 $\压裂d2$周围 $x$而且 $y,$分别。这一事实 $U$而且 $V$是三角形不等式中不相交的。

如果拓扑的开集与由某个度规诱发的开集相同，则称为拓扑可度量．非hausdorff拓扑(像上的有限拓扑 $R \ mathbb$)是non-metrizable。

让 $X$是一个集。一个基础为 $X$是一家集 $B \ mathcal$的子集 $X$这样

1. $\forall x \in x， \exists B \in \mathcal B: x \in B$
2. 对于任意两个集合 $B_1,B_2 \in \数学B$和点 $x \in B_1 \帽B_2，$还有第三组 $B \in \mathcal$这样 $x \ B_3$而且 $B_3\子集B_1 \帽B_2$

让 $(X, d)$是度量空间。收集球 $B (x, r)$在哪里 $x \in x, r > 0$是一个基础。

底的两个性质给出了以下定理，其证明留作练习:

集合 $\ mathcal T$集合的集合，集合是基元素的并集 $B \ mathcal$为 $X$在上形成拓扑 $X。$ $（$这句话常被写成" $B \ mathcal$是一个基础 $\ mathcal T$＂ $．）$

收集球 $B (x, r)$在度量空间中是来自度量的标准拓扑的基础。

让 $\ mathcal T$是点集的集合 $X。$然后 $\ mathcal T$离散拓扑的基是在上面吗 $X。$

有几种方法可以从旧的拓扑空间中生成新的拓扑空间。这里有两个常见的。

让 $X$是一个拓扑空间 $Y$的一个子集 $X。$的子空间拓扑结构在 $Y$的拓扑结构 $\ mathcal T '$谁的开放式集合是集合 $U \帽Y,$在哪里 $U$有开放式的布景吗 $X。$

很容易检查这种结构总是给出一个有效的拓扑 $Y。$注意，这引入了关于开集和闭集的一些歧义。假设有一个子集， $R \ mathbb$Is open在没有上下文的情况下是模糊的:它可能在某些子空间拓扑结构中是开放的，但在内部不是开放的 $\ mathbb R。$

找到子集 $Z \ subseteq Y$的 $R \ mathbb$这样 $Z$是开放的 $Y$子空间拓扑，但是 $Z$不是开放的 $\ mathbb R。$

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一个简单的例子是 $Z = Y =[0, 1]。$ $Z$不是开放的 $\ mathbb R,$但自 $Z = {\mathbb R} \cap Y$而且 $R \ mathbb$是开放的 $\ mathbb R,$ $Z$是开放的 $Y。$

的时间间隔 $\ [0, \ frac12 \左右)$也在 $Y,$因为这是交点 $\左(右——\ frac12 \ \ frac12) \帽Y。$ $_ \广场$

第二个结构涉及到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cartesian-product/" class="wiki_link" title="笛卡儿积＂target="_blank">笛卡儿积两个拓扑空间的。回想一下两个集合的乘积 $X、Y$由有序对组成 $(x, y)$与 $x \ x, y、y。$

让 $X, Y$拓扑空间。然后积拓扑在 $X、Y$由开放集组成工会集 $U、V、$在哪里 $U$是开放的 $X$而且 $V$是开放的 $Y。$

所以乘积拓扑就是它的基由子集组成的拓扑 $U、V、$与 $U$打开 $X$而且 $V$打开 $Y。$

注意，开放集并不是表单的全部 $U、V。$有必要拿工会，既然工会的 $U_1 \ * V_1$而且 $U_2 \ * V_2$是不是一定的形式 $U、V。$

显示产品拓扑为on ${\mathbb R} \times {\mathbb R}$和标准欧氏拓扑图是一样的 ${} \ mathbb R ^ 2。$

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其思想是，乘积拓扑的开放集的基是开放区间的乘积，它是一个开放矩形。标准欧氏拓扑的开集的基是一个开盘。这两种拓扑给出相同的开放集，因为在任何围绕点的开放磁盘内 $x$有一个开放的矩形，在任何一个开放的矩形周围 $x$有一个打开的磁盘。所以一个在一种拓扑中是开放的集合在另一种拓扑中也是开放的。 $_ \广场$

无穷笛卡尔积上的乘积拓扑更微妙:乘积上的乘积拓扑 $\刺激间的{α\}$有一个由产品组成的基地吗 $\刺激U_ \α$在哪里除了有限的许多 $U_ \α$等于 $间的{α\}。$

其基础由产品组成的拓扑 $\ prod U_{\α}$被称为盒拓扑，但对于许多应用程序来说，这并不是“正确的”拓扑——有太多的开放集。特别是，的乘积<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/compact-space/" class="wiki_link" title="紧凑的空间＂target="_blank">紧凑的空间在盒子拓扑下可能不是紧凑的，但在产品拓扑下是紧凑的。

定义了数学对象之后，下一步是指定对象之间的映射是什么样子的。拓扑空间之间需要考虑的合适函数是连续函数，连续函数的定义非常简洁:

一个函数 $f \冒号X \到Y，$在哪里 $X, Y$拓扑空间是吗连续对于每个开集合 $V \ subseteq Y,$ $f ^ {1} (V)$是开放的 $X。$

这是对定义的正确概括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-functions/" class="wiki_link" title="连续性＂target="_blank">连续性在微积分中，它来自于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/epsilon-delta-definition-of-a-limit/" class="wiki_link" title="极限的ε - δ定义＂target="_blank">极限的ε - δ定义．

主页:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/homeomorphism/" class="wiki_link" title="同胚＂target="_blank">同胚

根据上面给出的连续性的定义，我们可以定义两个拓扑空间相同的含义。本质上，它意味着它们之间应该有一个双射映射，它也是开集上的双射。这样的地图叫做<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/homeomorphism/" class="wiki_link" title="同胚＂target="_blank">同胚，则认为两个同胚拓扑空间是相同的。正式定义如下:

一个函数 $f \冒号X \到Y$拓扑空间之间称为同胚如果 $f$是连续的，a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="双射＂target="_blank">双射, $f ^ {1}$也是连续的。

有关非明显同胚性的一个重要例子，请参见<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/homeomorphism/" class="wiki_link" title="极射赤面投影＂target="_blank">极射赤面投影:一个(二维)球面减去一个点与该平面同胚。

有许多重要的性质可以用来表征拓扑空间。其中最重要的两个是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/connected-space/" class="wiki_link" title="连通性＂target="_blank">连通性而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/compact-space/" class="wiki_link" title="密实度＂target="_blank">密实度．因为它们都是由连续函数保存的。连通空间的连续像是连通的，紧空间的连续像是紧的——这些性质在同胚下保持不变。在同胚下不变的性质称为拓扑性质，它们是拓扑空间分类的有用工具。

拓扑性质的其他例子包括

• 单连通
• 正常的;豪斯多夫;常规的, $T_0,$等等。(<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/separation-axioms/" class="wiki_link" title="分离公理＂target="_blank">分离公理）
• 可度量
• 可分的，第一可数的，第二可数的，等等<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/countability-conditions-topology/" class="wiki_link" title="可数性条件＂target="_blank">可数性条件）.