伸缩系列-产品gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba伸缩系列产品gydF4y2Ba是一个级数，其中每一项都可以用特定的形式表示，这样所有项的乘法就会导致分子和分母的大量消去。这个过程类似于gydF4y2Ba可伸缩的总和gydF4y2Ba，我们可以大量消去一项的加法和下一项的减法。gydF4y2Ba

伸缩产品的最简单形式发生在gydF4y2Ba $A_k = \dfrac{t_k} {t_{k+1}}gydF4y2Ba$在这种情况下，它们的乘积gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$Terms等于gydF4y2Ba

$现代1 \乘以a₂\ \ cdots \ * an = \压裂{t_1} {t_2} \ * \压裂{t_2} {t_3} \乘以\ cdots \ \压裂{t_n} {t_ {n + 1}识别}= \压裂{t_1} {t_ {n + 1}}识别。gydF4y2Ba$

注意，每个分母与后面一项的分子消去，就可以立即得到最终结果。gydF4y2Ba

乘积符号的解释gydF4y2Ba $\刺激gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

在我们开始计算之前，最好将表达式简化成一个简单的形式，这样读者更容易理解信息，而不是用冗长的形式写出来gydF4y2Ba $A_1 \乘以a_2 \乘以cdots \乘以a_ngydF4y2Ba$．这是因为要传达同样的信息会变得很不方便，尤其是当人们总是倾向于使用更简短的描述时。我们将介绍一个符号gydF4y2Ba $\刺激gydF4y2Ba$描述:用这些术语的乘积gydF4y2Ba

回忆一下求和符号gydF4y2Ba $\总和gydF4y2Ba$为我们提供了一种用总和表示模式的简洁方法。乘积符号gydF4y2Ba $\刺激gydF4y2Ba$没有那么不同，唯一的不同是我们用它来表示product的模式而不是sum。例如，使用gydF4y2Ba阶乘gydF4y2Ba符号，我们可以写出来gydF4y2Ba $n !gydF4y2Ba$作为gydF4y2Ba

$n !=1 \times2\times 3 \times \cdots \times (n-1) \times n = \prod_{k=1}^n k。gydF4y2Ba$

同样地，我们也可以把前10个正奇数的乘积写成gydF4y2Ba $\ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ {10} (2 k - 1)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

现在我们已经建立了所有的基础，让我们开始有趣的部分:伸缩产品!gydF4y2Ba

$$简单的例子gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

在进入计算的大量消去部分之前，让我们先看一个介绍性的例子，说明如何激励可伸缩产品。考虑到产品gydF4y2Ba

$\prod_{k=1}^{9} \dfrac k{k+1} = \dfrac 12 \times \dfrac23 \times \cdots \times \dfrac9{10}。gydF4y2Ba$

一开始可能会让人望而生畏要找出这么多分数的乘法的值，对吧?不要害怕!我们试着一次求出前几项的乘积gydF4y2Ba

$\begin{array}{l c l} \dfrac{1}2 &=& \dfrac12 \\\\ \dfrac12 \times \dfrac23 &=& \dfrac13 \\\\ \dfrac12 \times \dfrac23 \times \dfrac34 &=& \dfrac14 \\\\ \dfrac12 \times \dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 &=& \dfrac15。结束\{数组}gydF4y2Ba$

这4个方程都是第一个方程的乘积gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$乘积中的分数gydF4y2Ba $\ prod_ {k = 1} ^{9} \压裂k {k + 1}gydF4y2Ba$．你注意到这些方程的最终值都是的形式吗gydF4y2Ba $1 \压裂{n + 1}gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $n = 1, 2, 3, 4 ?gydF4y2Ba$这对gydF4y2Ba $n = 9gydF4y2Ba$吗?让我们来看看!gydF4y2Ba

回想一下我们本质上是gydF4y2Ba乘以分数gydF4y2Ba，因此，如果一个分数的分子等于另一个分数的分母(这两个分数都是非零的)，我们可以成对地约掉它们，从而得到gydF4y2Ba

$\dfrac1{\cancel2} \times \dfrac{\cancel 2}3 = \dfrac13。gydF4y2Ba$

类似地，将2和3成对消去表明gydF4y2Ba $\dfrac{\cancel2} \times \dfrac{\cancel2}{\cancel3}\times \dfrac{\cancel3}4 = \ dfra14gydF4y2Ba$．类似地，我们可以通过消去几乎所有成对的数字来计算这个乘积:gydF4y2Ba

$\prod_{k=1}^{9} \dfrac k{k+1} =\dfrac1{\cancel2} \times \dfrac {\cancel3}{\cancel4}\times \dfrac {\cancel4}{\cancel5} \times \dfrac {\cancel5}{\cancel6} \times \dfrac {\cancel6}{\cancel7} \times \dfrac {\cancel8}{\cancel9}\times \dfrac {\cancel8}{\cancel9}\times \dfrac {\ cancel1 {10} =\ dfra1 {10}gydF4y2Ba$

让我们再看一个应用相同概念的例子。gydF4y2Ba

我们终于通过伸缩计算出了这么多分数的乘法!现在，让我们阅读下面的部分，我们将讨论更多关于如何形成伸缩产品的例子。gydF4y2Ba

$$解释如何gydF4y2Ba $下午\压裂{T (n \ k)} {T (n)}gydF4y2Ba$作品gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

在前面的章节中，我们通过成对消去这些项来计算分数的乘积，每一对都由一个分数的分子项和另一个分数的分母项组成。一个自然产生的问题是:我们如何系统地确定哪些项与哪些项相抵消?例如，通过写出下面这个乘积的前几项，我们仍然不能消去任何项，对吧?gydF4y2Ba

$\prod_{m=1}^{10} \dfrac m{m+5} = \dfrac1{6} \times \dfrac2{7} \times \dfrac{3}{8} \times \cdots \times \cdots \times \dfrac{10}{15}gydF4y2Ba$

嗯，实际上技术是一样的，但我们需要稍微调整一下，以显示存在这样的项被消去，如下所示:gydF4y2Ba

$\begin{aligned} \prod_{m=1}^{10} \dfrac m{m+5} &=& \\ dfra1 {\cancel6} \times \dfrac{3}{\cancel8} \times \ dfra5 {\ \cancel{10}} \times \dfrac \\ \cancel6}{11} \times \dfrac \\ dfrac{\cancel8}{13} \times \\ dfrac \\ cancel8}{14} \times \dfrac \\ \cancel9}{15} \\ &=& & \dfrac{1\times2\times3\times4\times5}{11\times12\times13\times14\times15} = \ dfra1{3003}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

然而，这是相当繁琐和乏味的，不是吗?我们是不是应该写出所有的分数来确定哪些项应该消去?不，我们不是。gydF4y2Ba

注意对于乘积中的每一个分数gydF4y2Ba $\ prod_ {m = 1} ^{10} \压裂m {m + 5}gydF4y2Ba$，分子总是比分母小5，所以只有在gydF4y2Ba $5 ^ \文本{th}gydF4y2Ba$我们能看到这些项开始消去了。我们可以把它写成gydF4y2Ba $\ prod_ {m = 1} ^{10} \压裂{T (m-5)} {T (m)}gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $T (m) = m + 5gydF4y2Ba$．把分数(在乘积中)写成函数gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$这样，就更容易确定一个产品是如何伸缩的。gydF4y2Ba

为了推广所有这样的可伸缩产品(能够伸缩的产品，即能够成对消去1个或多个项)，我们定义gydF4y2Ba $\ displaystyle \ prod_ {m}年代(m)gydF4y2Ba$若能以望远镜的形式表达出来gydF4y2Ba $\prod \frac{T(m\pm k)}{T(m)}gydF4y2Ba$对于一些整数gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$．为了说明这一点，让我们定义两个术语:向后消去和向前消去。gydF4y2Ba

落后的取消gydF4y2Ba如果一个分数的分母上的项与后面分数的分子上的项相消，那么乘积可以表示为，这种情况下的对消项是对的吗gydF4y2Ba $\prod \frac{T(m- k)}{T(m)}gydF4y2Ba$对于某个正整数gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

提出取消gydF4y2Ba当一个分数的分母上的项被先前分数的分子上的项抵消时，乘积可以表示为，这是成对消去项吗gydF4y2Ba $\刺激\压裂{T (m + k)} {T (m)}gydF4y2Ba$对于某个正整数gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

举个例子，下图左边的可伸缩乘积表示向后对消，而下图右边的可伸缩乘积表示正向对消:gydF4y2Ba

$\dfrac1{\cancel2} \times \dfrac{\cancel2}{\cancel3}\times \dfrac{\cancel3}4 = \dfrac14， \qquad \dfrac{\bcancel2}1 \times \dfrac{\bcancel3}{\bcancel2}\times \dfrac4{\bcancel3} = 4。gydF4y2Ba$

因为我们总是只从一个方向(从左到右，或从右到左)消去项，而从不从两个方向消去项，我们称这些积形式为gydF4y2Ba单向形式gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

让我们尝试几个例子，以确保我们理解了这些概念。gydF4y2Ba

评估产品gydF4y2Ba $\ prod_ {m = 1} ^{9} \压裂{3 m - 1} {3 m + 11}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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作为第一步，让我们看看这个产品是向后消去还是向前消去。这让我们可以找出或验证哪些项先消掉，它是在分子上还是在分母上。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $T(m) =3m - 1gydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $T (m + 4) = 3 (m + 4) 1 = 3 m + 11gydF4y2Ba$，所以我们可以把乘积表示为gydF4y2Ba $\ prod_ {m = 1} ^ 9 \压裂{T (m)} {T (m + 4)}gydF4y2Ba$．因为乘积可以表示为gydF4y2Ba $\prod \frac{T(m- 4)}{T(m)}gydF4y2Ba$时，乘积伸缩消去是向后消去。gydF4y2Ba

现在，我们来看看我们应该从哪些项开始消去这些项，有了这些信息，我们来看看消去之后还剩下多少项。gydF4y2Ba

既然它是的形式gydF4y2Ba $\prod \frac{T(m- 4)}{T(m)}gydF4y2Ba$，只有在gydF4y2Ba $4 ^ \文本{th}gydF4y2Ba$我们开始消去这些项。所以我们要消掉gydF4y2Ba $5 ^ {th} \文本,文本6 ^ \ {th}, {th} 7 ^ \文本,文本8 ^ \ {th}gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $9 ^ \文本{th}gydF4y2Ba$分子与gydF4y2Ba $1 ^ \文本圣}{2 ^ \文本{和},{rd} 3 ^ \文本,文本4 ^ \ {th}gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $5 ^ \文本{th}gydF4y2Ba$分母，总共有5对项消去了。gydF4y2Ba

最后，我们消去了尽可能多的项，剩下要做的就是求这个表达式的值。由上可知，其余未消去项的积为gydF4y2Ba

$3 \ \ dfrac {(cdot 1 - 1) (3 \ cdot 2 - 1) (3 \ cdot 3 - 1) (3 \ cdot 4 - 1)} {(3 \ cdot 6 + 11) (3 \ cdot 7 + 11) (3 \ cdot 8 + 11) (3 \ cdot 9 + 11)} = \ dfrac{11}{15428} \ _ \广场gydF4y2Ba$

对于上面提供的每个示例，我们只使用了向后和向前消去中的一种，因此它们严格地是单向形式的。但是是否有可能有一个伸缩的产品同时利用这两种抵消呢?让我们在下一节中找出答案。gydF4y2Ba

在上一节中，我们学习了伸缩产品中两种类似的单向约去:向后约去和向前约去。接下来我们应该问自己的是，“如果有这些单向抵消的组合呢?这两项是否还有可能成对消去?”是的!我们只需要将表达式识别并划分为严格向后和严格向前约去的乘积。我们称这种表达为gydF4y2Ba双向形式gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

$$两种单向形式的组合gydF4y2Ba

我们将从两种单向形式的组合开始，直接进入一个例子:gydF4y2Ba

$\ prod_ {r = 3} ^ {100} \ dfrac {r ^ 2 - 1} {r ^ 2 - 4}。gydF4y2Ba$

产品中的分数看起来很可怕，不是吗?不要害怕!这个分数可以因式分解。注意这两个表达式都是分子gydF4y2Ba $左(r ^ 2 - 1 \ \右)gydF4y2Ba$和分母gydF4y2Ba $\左(r ^ 2 - 4 \右)gydF4y2Ba$是a的形式gydF4y2Ba两个平方的差恒等式gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $一个^ 2 b ^ 2 = (a + b) (a - b)。gydF4y2Ba$因此,我们有gydF4y2Ba

$\ prod_ {r = 3} ^ {100} \ dfrac {r ^ 2 - 1} {r ^ 2 - 4} = \ prod_ {r = 3} ^ {100} \ dfrac{\颜色{# 20 a900} {(r1)} \颜色# 69047 e {} {(r + 1)}} {{# 20 a900} \颜色{(r2)} \颜色{# 69047 e} {(r + 2)}}。gydF4y2Ba$

因为gydF4y2Ba $f \刺激gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\刺激ggydF4y2Ba$每个都有一个有限的非零值，我们可以利用这个性质gydF4y2Ba $\prod (f \cdot g) = \prod f \cdot \prod ggydF4y2Ba$得到gydF4y2Ba

$\ prod_ {r = 3} ^ {100} \ dfrac {r ^ 2 - 1} {r ^ 2 - 4} = \ prod_ {r = 3} ^ {100} \ dfrac {r 1} {r2} \ * \ prod_ {r = 3} ^ {100} \ dfrac {r + 1} {r + 2}。gydF4y2Ba$

剩下的就是计算这两个产品的值并将它们相乘!对于第一种产品，gydF4y2Ba

$\prod_{r=3}^{100} \dfrac{r-1}{r-2} = \dfrac21 \times \dfrac32 \times \dfrac43 \times \dfrac54 \times \cdots \times \dfrac{98}{97} \times \dfrac{99}{98}。gydF4y2Ba$

这看起来很眼熟，不是吗?是的它!这是提前取消，因为gydF4y2Ba $\压裂{r 1} {r2}gydF4y2Ba$的形式是gydF4y2Ba $\压裂{年代(r)}{年代(实际)}gydF4y2Ba$对于正整数gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$．现在可以成对约掉了:gydF4y2Ba

$\begin{aligned} \prod_{r=3}}{{100} \dfrac{r-1}{r-2} &= \dfrac21 \times \dfrac32 \times \dfrac43 \times \dfrac54 \times \dfrac{98}{97} \times \dfrac{\cancel3}{\cancel2} \times \dfrac{\cancel4}{\ cancel4} \times \dfrac{\cancel5}{\cancel4} \times \dfrac{\cancel{98}} \\ &= \dfrac{99}{\cancel{98}} \\ &= \dfrac{99}{\结束\{对齐}gydF4y2Ba$

类似地，我们可以看到第二个乘积是逆向对消:gydF4y2Ba

$\begin{aligned} \prod_{r=3}^{100} \dfrac{r+1}{r+2} & = \dfrac{4}{\bcancel5} \times \dfrac{\bcancel5}{\bcancel6} \times \dfrac{\bcancel6}{\bcancel7} \times \dfrac{\bcancel{100}}{\bcancel{101}} \times \dfrac{\bcancel{101} \\ & = \ dfra4 {102} = \ dfra2{51}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

把它们放在一起就会产生结果gydF4y2Ba

$\ prod_ {r = 3} ^ {100} \ dfrac {r ^ 2 - 1} {r ^ 2 - 4} = \ prod_ {r = 3} ^ {100} \ dfrac {r 1} {r2} \ * \ prod_ {r = 3} ^ {100} \ dfrac {r + 1} {r + 2} = 99 \ \ dfrac2 {51} = \ dfrac {66} {17},gydF4y2Ba$

和你做的!gydF4y2Ba

精神食粮:如果我们把产品分开，我们还能评价上面的同一款产品吗gydF4y2Ba $\ prod_ {r = 3} ^{100} \压裂{r ^ 2 - 1} {r ^ 2 - 4}gydF4y2Ba$乘以gydF4y2Ba $\ prod_ {r = 3} ^{100} \压裂{r 1} {r + 2}gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\ prod_ {r = 3} ^{100} \压裂{r + 1} {r2}gydF4y2Ba$而不是?gydF4y2Ba

正如您在上面的插图中所看到的，乘积表示多个单向形式的乘积，因此我们将这种乘积称为双向形式。gydF4y2Ba

用我们刚刚学过的概念，你能解决下面的问题吗?gydF4y2Ba

$$2种以上单向形式的组合gydF4y2Ba

既然您已经能够处理两种单向形式的组合，那么是否可以进一步推进呢?也就是说，有没有可能找到两种以上单向形式的组合?答案仍然是肯定的!让我们使用本节前面使用的第一个产品的修改版本，gydF4y2Ba $\ prod_ {n = 3} ^{20} \压裂{(n ^ 2 - 1) (n ^ 2 - 4)} {n ^ 4}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

应用两个平方的差恒等式，我们有gydF4y2Ba $N²-1 = (N -1)(N +1)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $N²- 4 = (N -2)(N +2)gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba

$\ dfrac {(n ^ 2 - 1) (n ^ 2 - 4)} {n ^ 4} = \ dfrac {(n - 1) (n + 1) (2) (n + 2)} {n ^ 4} = \ dfrac {n} n \ * \ dfrac {n + 1} n \ * \ dfrac {n + 2} \ * \ dfrac {n + 2} n。gydF4y2Ba$

现在，我们又回到了前后消去的组合:gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ prod_ {n = 3} ^ {20} \ dfrac {(n ^ 2 - 1) (n ^ 2 - 4)} {n ^ 4} & = \ prod_ {n = 3} ^ {20} \ dfrac {(n - 1) (n + 1) (2) (n + 2)} {n ^ 4} \ \ & = \ prod_ {n = 3} ^ {20} \ dfrac {n} n \ * \ prod_ {n = 3} ^ {20} \ dfrac {n + 1} n \ * \ prod_ {n = 3} ^ {20} \ dfrac {2} n \ * \ prod_ {n = 3} ^ {20} \ dfrac {n + 2} n。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

然后我们只需要计算2个向后约去和2个正向约去。利用我们在单向形式中学到的概念，我们有gydF4y2Ba

$\ prod_ {n = 3} ^ {20} \ dfrac {n} n = \ dfrac{2},{20} \四\ prod_ {n = 3} ^ {20} \ dfrac {n + 1} n = \ dfrac{21},{3} \四\ prod_ {n = 3} ^ {20} \ dfrac {2} n = \ dfrac {1 \ times2} {19 \ times20} \四\ prod_ {n = 3} ^ {20} \ dfrac {n + 2} n = \ dfrac {21 \ * 22} {3 \ times4}。gydF4y2Ba$

计算这四个值的乘积可以得到所需的答案gydF4y2Ba $\压裂{539}{3800}gydF4y2Ba$，我们又做完了。gydF4y2Ba

正如你在上面的插图中所看到的，从技术上来说，无论是2种还是2种以上的单向形式的组合，在技术上并没有区别。gydF4y2Ba

现在让我们试试下面这个例子，它使用了同样的思想:gydF4y2Ba

我们已经了解了可伸缩产品的不同形式。如上图所示，如果每件事都表述清楚，就很容易确定。但是，由于这种情况很少发生，因此本节讨论确定给定的乘积是否允许伸缩形式。gydF4y2Ba

要开始，测试小用例。如果最终结果看起来很简单，或者似乎有一个通用的形式，那么它就提供了一些证据，证明通过伸缩乘积方法可以抵消。还需要找到合适的序列gydF4y2Ba $\压裂{T (n + k)} {T (n)}gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $\压裂{年代(n - k)}{年代(n)}gydF4y2Ba$．我们提出了两种计算这些项的方法。gydF4y2Ba

$$方法1:术语的分解gydF4y2Ba

• 尽可能地分解通式假设gydF4y2Ba $A_k = \frac{b_k \times c_k}{d_k \times e_k}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
• 列出表格的条款gydF4y2Ba $B_ {k-2}， B_ {k-1}， B_ {k}， B_ {k+1}， B_ {k+2}gydF4y2Ba$，并与术语进行比较gydF4y2Ba $D_ {k-2}， D_ {k-1}， D_ {k}， D_ {k+1}， D_ {k+2}gydF4y2Ba$和同样gydF4y2Ba $c_kgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $e_kgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
• 如果其中两项相等，那么这些序列将配对并抵消。gydF4y2Ba

评估gydF4y2Ba

$M_k = \prod_{k=2}^{n} \frac{k^3-1}{k^3+1}。gydF4y2Ba$

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从测试小案例开始:gydF4y2Ba

• $n = 2: M_2 = \frac{7}{9}gydF4y2Ba$
• $n = 3: M_3 = \压裂{7}{9}\ * \压裂{26}{28}= \压裂{13}{18}gydF4y2Ba$
• $n = 4: M_4 = \压裂{13}{18}\ * \压裂{63}{65}= \压裂{7}{10}。gydF4y2Ba$

现在，尽管分母是9 28 65，我们看到最后一项非常小，这意味着我们可以消去这些项。既然有了代数表达式，我们把通式分解一下:gydF4y2Ba

$a_k = \压裂{(k - 1) (k ^ 2 + k + 1)} {(k + 1) (k ^ 2 - k + 1)}。gydF4y2Ba$

我们的标签gydF4y2Ba $b_k = k - 1, c_k = k ^ 2 + k + 1, d_k = k + 1, e_k = k ^ 2 - k + 1gydF4y2Ba$．然后就应该清楚该怎么做了gydF4y2Ba $b_k, d_kgydF4y2Ba$抵消掉，但让我们遵循上面列出的程序:gydF4y2Ba

$\{数组}{l | l l}开始n & b_n & d_n \ \ \线k-2 & k3 & k - 1 \ \ k - 1 & k-2 & k \ \ k和k - 1和k + 1 \ \ k + 1 & k和k + 2 \ \ k + 2 k和k + 1和+ 3 \ \ \{数组}结束gydF4y2Ba$

现在，很明显gydF4y2Ba $b_k = d_ {k-2},gydF4y2Ba$它允许消去。gydF4y2Ba

让我们以同样的方式进行gydF4y2Ba $c_k, e_kgydF4y2Ba$．现在还不清楚它们是否会抵消，或者如何抵消，因为它们看起来如此不同。我们再一次列出了这些术语:gydF4y2Ba

$\{数组}{l | l l}开始n & c_n & e_n \ \ \线k-2 & k ^ 2 - 3 k + 1 & k ^ 2 - 5 k + 3 \ \ k - 1 & k ^ 2 - k + 1 & k ^ 2 - 3 k + 1 \ \ k和k ^ 2 + k + 1 & k ^ 2 - k + 1 \ \ k + 1 & k ^ 2 + 3 k + 3 & k ^ 2 + k + 1 \ \ k + 2 & k ^ 2 + 5 k + 7 & k ^ 2 + 3 k + 3 \ \ \{数组}结束gydF4y2Ba$

现在，很明显gydF4y2Ba $c_k = e_ {k + 1}gydF4y2Ba$，允许取消。gydF4y2Ba

我们现在写gydF4y2Ba $a_k = \压裂{b_k} {b_ {k + 2}} \ * \压裂{c_k} {c_ {k - 1}},gydF4y2Ba$这让我们可以通过望远镜得到gydF4y2Ba

$\ prod_ {k = 2} ^ {n} a_k = \ prod_ {k = 2} ^ n \压裂{b_k} {b_ {k + 2}} \ * \ prod_ {k = 2} ^ n \压裂{c_k} {c_ {k - 1}} = \压裂{b_2 b_3} {b_ {k + 1} b_ {k + 2}} \ * \压裂{c_n} {c₁}= \压裂{2 (n ^ 2 + n + 1)} {3 n (n + 1)}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

$$方法2:非明显因子分解gydF4y2Ba

• 一般项是一个单独的项，因为gydF4y2Ba $\frac{T(n)} {T(n +1)}gydF4y2Ba$简化了。gydF4y2Ba
• 它最常被解释为“乘以和除以相同的项”。gydF4y2Ba
• 我们得猜一下是什么gydF4y2Ba $T (n)gydF4y2Ba$是由我们熟悉的各种恒等式引导的。gydF4y2Ba

评估gydF4y2Ba $(1 + x) \大(1 + x ^ 2 \大)、大(1 + x ^ 4大)\ \大(1 + x ^ 8大)\ \大(1 + x ^{16} \大)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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当然，可以展开gydF4y2Ba $2 ^ 5gydF4y2Ba$看看我们得到了什么。本着本节的精神，让我们考虑如何将其写成一个可伸缩的乘积。gydF4y2Ba

用这个等式gydF4y2Ba $\frac{a^2 -b ^2}{a-b} = a+bgydF4y2Ba$,我们得到gydF4y2Ba

$\开始{对齐}1 + x & = \压裂{1 - x ^ 2} {1 - x} \ \ \ \ 1 + x ^ 2 & = \压裂{1 - x ^ 4} {1 - x ^ 2} \ \ \ \ 1 + x ^ 4 & = \压裂{1 - x ^ 8} {1 - x ^ 4} \ \ \ \ 1 + x ^ 8 & = \压裂{1 - x ^ {16}} {1 - x ^ 8} \ \ \ \ 1 + x ^{16} & = \压裂{1 - x ^ {32}} {1 - x ^{16}}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

因此我们得到一个正向消去，乘积等于gydF4y2Ba $\dfrac{1 - x^{32}} {1 - x}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

评估gydF4y2Ba $\cos \theta \乘以\cos 2 \theta \乘以\cos 4 \theta \乘以\cos 8 \theta \乘以\cos 16 \thetagydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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在这种情况下，很难猜测如何进行。如果我们试着表达gydF4y2Ba $\ n \因为θgydF4y2Ba$而言,gydF4y2Ba $\ \因为θgydF4y2Ba$，我们会以一团乱麻结束，我们不清楚为什么会得到一个好的答案。gydF4y2Ba

我们使用恒等式gydF4y2Ba $\frac{\sin 2 \theta} {\sin \theta} = 2 \cos \thetagydF4y2Ba$．然后我们得到gydF4y2Ba

$\开始{对齐}2 \ cosθ& = \ \压裂{\罪2 \θ}{θ罪\ \}\ \ \ \ \因为2 \θ& = \压裂{\罪4 \θ}{\罪2θ\}\ \ \ \ 2 \ cosθ& = 4 \ \压裂{\罪8 \θ}{\罪4 \θ}2 \ \ \ \ \因为8 \θ& = \压裂{\罪16 \θ}{\罪8 \θ}2 \ \ \ \ \ cosθ& = 16 \ \压裂{\罪32 \θ}{\罪16 \θ}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

因此，乘积可以写成gydF4y2Ba $\dfrac{\sin 32 \theta} {32 \sin \theta}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

现在，让我们做以下问题来练习识别这些形式:gydF4y2Ba

在本节中，我们将讨论学生在求解可伸缩产品时常犯的错误，因为学生很容易犯这样的错误，特别是在处理无穷时。gydF4y2Ba

$$
(1)不记得最后一项是什么，特别是对于无穷乘积gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

通常，当我们消去一项时，我们会忘记剩下的项是什么。例如，以下对无穷乘积的计算是错误的:gydF4y2Ba

$\begin{aligned} \displaystyle \prod_{r=1}^\infty \dfrac r{r+1} &=& \\ dfrac12 \times \dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 \times \cdots \\ &=& & \\ dfra1 {\cancel2} \times \dfrac{\cancel2}{\cancel3}\times \dfrac{\cancel3}{\cancel4}\times \dfrac{\cancel4}{\cancel5} \times \cdots \\ \ &=& 1。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

奇怪,不是吗?所有小于1的分数的乘积得到一个等于1的数?这怎么可能?你能发现错误吗?gydF4y2Ba

这里的错误是我们没有考虑它的偏积这就是为什么我们认为除了第一个数1之外的每一项都成对约掉了，而实际上应该不止一项。通过计算无限积，我们实际上是取其偏积的极限:gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ displaystyle \ prod_ {r = 1} ^ \ infty \ dfrac r {r + 1} & = & \ displaystyle \ lim_ {r \ \ infty} \ prod_ {r = 1} ^ \ dfrac r {r + 1} \ \ & = & \ lim_ {r \ \ infty} \左(\ dfrac12 \ \ dfrac23 \ \ dfrac34 \乘以\ dfrac45 \乘以\ cdots \ \ dfrac {r 1} \ * \ dfrac r r + {1} \ ) \\ &=& \ lim_ {R \ \ infty}左(\ \ dfrac1 {\ cancel2} \ * \ dfrac {\ cancel2} {\ cancel3} \ * \ dfrac {\ cancel3} {\ cancel4} \ * \ dfrac {\ cancel4} {\ cancel5} \乘以\ cdots \ \ dfrac{\取消{R 1}}{\取消R} \ \ dfrac{\取消R}{R+1} \right) \\ &=& \lim_{R\to\infty} \left( 1 \times \dfrac1{R+1} \right) = 1\times0 = 0. \end{aligned}$

让我们在上面的产品上做一个小小的改变。gydF4y2Ba

在以下工作中找到错误:gydF4y2Ba

$\begin{aligned} \prod_{r=1}^\infty \dfrac r{r+3}& =&\ \dfrac14 \times\dfrac25 \times\ dfrac36 \times\ dfrac7{10}\times \cdots \\ &=& &\ \dfrac1{\cancel4} \times\ dfrac3{\ cancel5} \times\ dfrac4{\cancel7} \times\dfrac{\ cancel5}{\cancel8} \times\dfrac{\cancel6}{\cancel9} \times\dfrac{\ cancel7}{\cancel{10}}\times \cdots \\结束\{对齐}gydF4y2Ba$

---

和前面一样，我们似乎已经发现小于1的分数的乘积得到的数字等于1。这里犯的错误(大多数学生犯的)是他们gydF4y2Ba消去他们能看到的项gydF4y2Ba．也就是说，他们知道，每写一个分数，所有的分子和分母都会成对消去。但他们没有考虑到的是他们没有把它当作部分积;也就是说，剩下的项并不一定是未消掉的前几项。gydF4y2Ba

下面是正确的工作原理(由偏积):gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始prod_ {r = 1} ^ \ infty \ dfrac r {r + 3} & = & \ lim_ {r \ \ infty} \ prod_ {r = 1} ^ \ dfrac r {r + 3 } \\ & =& \ lim_ {R \ \ infty} \左(\ dfrac14 \乘以\ dfrac25 \ \ dfrac36 \乘以\ dfrac47 \ \ dfrac5{8} \乘以\ dfrac69 \ \ dfrac7{10} \乘以\ cdots \ \ dfrac {r2} {R + 1} \ * \ dfrac {R 1} {R + 2} \ * \ dfrac {R} {R + 3} \ ) \\ & =& \ lim_ {R \ \ infty}左(\ \ dfrac1 {\ cancel4} \ * \ dfrac2 {\ cancel5} \ * \ dfrac3 {\ cancel6} \ * \ dfrac {\ cancel4} {\ cancel7} \ * \ dfrac {\ cancel5} {\ cancel8}\ \倍dfrac {\ cancel6} {\ cancel9} \ * \ dfrac {\ cancel7}{\取消{10}}\乘以\ cdots \ \ dfrac{\取消{r2}} {R + 1} \ * \ dfrac {R 1} {R + 2} \ * \ dfrac {R} {R + 3} \ ) \\ & =& \ lim_ {R \ \ infty} \ dfrac {1 \ times2 \ times3} {(R + 1) (R + 2) (R + 3)} = 0。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

现在，我们是否也可以求出下面例子中乘积的偏积呢?为什么或者为什么不呢?gydF4y2Ba

$$
(2)试图取消遥远的条款gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

注意，对于所有发生的向后约去和向前约去，每对项之间的距离总是固定的。学生在评估可伸缩产品时常犯的一个错误是，他们消去了任意距离的成对项。例如，他们可以消去分数的分母gydF4y2Ba $n ^ \文本{th}gydF4y2Ba$和分数分子的项gydF4y2Ba $(2 n) ^ \文本{th}gydF4y2Ba$术语。所以当gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$消去项之间的距离变得越来越大。为了说明这一点，让我们考虑gydF4y2Ba沃利斯产品gydF4y2Ba

$\displaystyle \prod_{n=1}^\infty \dfrac{2n\cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac21 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac43\cdot \dfrac45\cdot \dfrac65\cdot \dfrac67\cdot \dfrac87\cdot \dfrac89 \cdot \dfrac{10}9 \cdot \dfrac{10}{11} \cdots = \dfrac\pi2。gydF4y2Ba$

假设我们开始消去分母上的3和分子上的gydF4y2Ba $3\乘以2 = 6gydF4y2Ba$，那么我们得到gydF4y2Ba

$\dfrac21 \cdot \dfrac2{\cancel3} \cdot \dfrac4{\cancel3}\cdot \dfrac45\cdot \dfrac{\cancel{6}\ 2}5\cdot \dfrac{\cancel{6}\ 2}7\cdot \dfrac87\cdot \dfrac89 \cdot \dfrac{10}9 \cdot \dfrac{10}{11} \cdots。gydF4y2Ba$

同样地，假设我们也消去了分母的值为5和分子的值为gydF4y2Ba $5\乘以2 = 10gydF4y2Ba$，那么我们得到gydF4y2Ba

$\dfrac21 \cdot \dfrac2{\cancel3} \cdot \dfrac4{\cancel3}\cdot \dfrac4{\cancel5}\cdot \dfrac{\取消{6}\ 2}{\cancel5}\cdot \dfrac{\取消{6}\ 2}7\cdot \dfrac87\cdot \dfrac89 \cdot \dfrac{\取消{10}\ 2}9 \cdot \dfrac{\取消{10}\ 2}{11}\cdots。gydF4y2Ba$

无限重复这个过程，我们将消去带有值的分母gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$相对于分子的值gydF4y2Ba $2 ngydF4y2Ba$，其结果为gydF4y2Ba

$\dfrac21 \cdot \dfrac2{\cancel3} \cdot \dfrac4{\cancel3}\cdot \ dfra4 {\cancel5}\cdot \dfrac{\取消{6}\ 2}{\cancel5}\cdot \dfrac{\取消{6}\ 2}{\cancel7}\cdot \ dfra8 {\cancel7}\cdot \ dfra8 {\cancel7}\cdot \dfrac{\取消{10}\ 2}{\cancel9} \cdot \dfrac{\取消{10}\ 2}{\取消{11}}\cdots = \infty，gydF4y2Ba$

因为当分数化简后，分子是2的无穷次幂的乘积，而分母只等于1。我们会得出一个荒谬的结论gydF4y2Ba $\压裂\皮= 1gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

我们之所以犯了一个错误是因为我们做了错误的假设我们认为可以消去没有固定距离的项。另一种说法是我们假设这个可伸缩乘积的对数(agydF4y2Ba可伸缩的总和gydF4y2Ba)是gydF4y2Ba绝对收敛gydF4y2Ba但实际上不是这样的。gydF4y2Ba

$$
(3)将一个无限伸缩积分解为多个无限伸缩积gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

另一个学生在尝试简化一个可伸缩乘积时常犯的错误是，他们假设乘积可以表示为多个乘积的乘积，试图在划分中计算每个简化表达式，希望使他们的工作更容易。为了说明这一点，考虑伸缩产品gydF4y2Ba $\ prod_ {n = 3} ^ \ infty \压裂{n ^ 2 - 1} {n ^ 2}gydF4y2Ba$，其值为gydF4y2Ba $\ frac23gydF4y2Ba$(我们将把它作为练习留给读者)。但是，假设我们把乘积分解成这样:gydF4y2Ba

$\begin{aligned} \prod_{n=3}^\infty \dfrac{n^2-1}{n^2} &=& \左(\prod_{n=3}^\infty \dfrac{n+1}{n}\右)\times \left(\prod_{n=3}^\infty \dfrac{n+1}{n}\左)\\ &=& \lim_{R\to\infty}\左(\ dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 \times \cdots \右)\左(\ dfrac43 \times \dfrac54 \times \dfrac65 \times \cdots \右)\\ & & 0 \times \infty \;, \{对齐}gydF4y2Ba$

这是一个不定式，是一个错误的值，因为乘积是有限值。gydF4y2Ba

评估该产品的正确方法是使用gydF4y2Ba2种以上单向形式的组合gydF4y2Ba在上面的部分中，或者通过在合并两个产物之前先找到它的每个部分产物，如下所示:gydF4y2Ba

$\begin{aligned} \prod_{n=3}^\ prod_{n ^2} {n^2} &=& \\ lim_{n=3}^R\dfrac{n+1}{n}\ left(\prod_{n=3}^R\dfrac{n+1}{n}\ times \left(\ dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 \times \cdots\times \dfrac{R+1}R \right) \left(\ dfrac43 \times \dfrac54 \times \dfrac65 \times \cdots\times \dfrac{R+1}R \right) \\ & & & \\ lim_{R +1} \dfrac2R \times \dfrac{R+1} {3} = \ dfra23。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

总而言之，计算涉及无穷的可伸缩积是很棘手的，我们应该首先小心它们的部分积。gydF4y2Ba

现在你知道在处理无穷时是多么容易犯错误，让我们尝试一个简单的问题，以确保我们不会犯相同的错误两次!gydF4y2Ba

$$
(4)忘记条件已经改变gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

学生们常犯的另一个错误是假设所有的术语都可以重新排列。例如，在前面的例子中，我们已经证明了这一点gydF4y2Ba $\prod_{r=1}^\infty \frac r{r+3} = 0gydF4y2Ba$．同样的，我们会知道gydF4y2Ba $\frac16 \prod_{r=1}^\infty \frac r{r+3} = 0 \times\frac16 = 0，gydF4y2Ba$对吧?那么下面这些有什么问题呢:gydF4y2Ba

$\begin{aligned} \dfrac16\prod_{r=1}^\infty \dfrac r{r+3} &=& \\ dfrac1{1\times2\times3} \左(\dfrac14 \times\ dfrac25 \times\ dfrac36 \times\ dfrac47 \times\ dfrac58 \times3} \左(\dfrac{\cancel1}4 \times\ dfrac25 \times\ dfrac36 \times\ dfrac47 \times\ cdots \右)\\ &=& \\ dfrac1 \times\ dfrac58 \times\ cdots \右)\\ &=& \\ dfrac1{\cancel1\times\cancel2\times\cancel3} \左(\dfrac{\cancel1 \times\ dfrac{\cancel1}4 \times\ dfrac{\cancel2 \times\cancel2}5 \times\ dfrac36 \times\ dfrac47 \times\ dfrac58 \times\cancel2} \\\cdots \右)\\&=& \dfrac1{\cancel1\times\cancel2\times\cancel3} \左(\dfrac{\cancel1}4 \times\ dfrac{\cancel2}5 \times\ dfrac{\cancel3}6 \times\ dfrac{\cancel1}{\ cancel2\times\cancel3} \left(\dfrac{\cancel1}{\cancel4} \times\ dfrac{\cancel3}{\cancel6} \times\ dfrac{\cancel4}{\cancel7} \times\ dfrac{\cancel5}{\ cancel7} \times\ dfrac{\cancel5}{\ cancel7} \times\ cdots \右)\\&=& 1?结束\{对齐}gydF4y2Ba$

括号中被消去的项是向后消去的所有消去的距离都是固定的。那么为什么乘积(其值为0)等于1呢?这背后的缺陷是我们忘记把它写成它的偏积的形式了!这是所有!事实上，正确的工作应该包括最后几行gydF4y2Ba

$\cdots = \lim_{R\to\infty} \dfrac1{\cancel1\times\cancel2\times\cancel3} \left(\dfrac{\cancel1}{\cancel4} \times\ dfrac{\cancel3}{\cancel6} \times\ dfrac{\cancel4}{\cancel7} \times\ dfrac{\cancel5}{\cancel8} \times\ cdots \times\ dfrac{\cancel {R-2} {R+1}\times \dfrac{\cancel {R+1} {R+2}\times \dfrac{\cancel1}{R+3}\ left) = 0。gydF4y2Ba$

• 伸缩级数-和gydF4y2Ba

• 绝对收敛gydF4y2Ba