泰勒定理(含拉格朗日余数)

我们从微积分（FTC）的基本定理开始，应该是其最自然的形式：

$f (x) = f (a) + \ int_a x ^ {{# D61F06} \颜色f ' (x_1)} \ dx_1。$

表达式自然要求这样 $f$是可微的 $（$即。 $f '$存在 $）$和 $f '$之间是连续的 $一个$和 $x$- 我们会说 $f$是不断差异化简而言之 $（$或 $在C ^ 1 f \)。$你可以允许 $f '$有一些跳跃不连续，但我们很快就会看到更多的可微性，而不是更少。为了明确起见，想象一下 $x$比较大于 $一个$和 $x_1$变量是否在运行 $一个$来 $x$．

如果，此外， $f '$是连续可微的 $（$我们说 $f$是两次连续可微的,或 $f \ C ^ 2),$我们可以申请联邦贸易委员会 $f '$在inverval $(x_1]$：

${{# D61F06} \颜色f ' (x_1)} = {{# D61F06} \颜色f ' (a) + \ int_a ^ {x_1} {{# 20 a900} \颜色f”(x_2)} \ dx_2}。$

把这个放到for的表达式中 $f (x)$,我们有

$\（a）左（a）或（颜色{{D611F06）f（a）及（a）及（a）及（int）开始开始对香港进行对齐的）f（x）及（x）及=f（x）及（x）及（x）及（x）及（x）及（a）及（a）及（a）及（x）及（x）开始开始开始对）f（x）f（x）f（x）及（x）及（x）及（x）1）及（x）1）及（x）及（x）1）及（x）1）及（x）1）及（x）及（x）1）及（a）及（a）及（a）及（a）及（a）及（a）及（a）及（a）加）对）及（a）及（a）及（a）的）两两两名）及（a）及（1）及（a）及（a）及（1）的）的1.\end{aligned}$

如果再次玩这个游戏，如果 $f“$是连续可微的 $（$即。 $f \ C ^ 3),$我们可以写

${{# 20 a900} \颜色f”(x_2)} = {{# 20 a900} \颜色f”(a) + \ int_a ^ {x_2} {{# EC7300} \颜色f”(x_3)} \ dx_3},$

所以现在

$\{对齐}开始f (x) & = f (a) + f (a) (x) + \ int_a x \ int_a ^ ^ {x_1} \离开({{# 20 a900} \颜色f”(a) + \ int_a ^ {x_2} {{# EC7300} \颜色f””(x_3)} \ dx_3} \) \, dx_2 \, dx_1 \ \ & = f (a) + f (a) (x) + f”(a) \压裂{(x) ^ 2} {2} + \ int_a x \ int_a ^ ^ {x_1} \ int_a ^ {x_2} {{# EC7300} \颜色f”(x_3)} \ dx_3 \, dx_2 \, dx_1。结束\{对齐}$

这显然概括如下:

如果 $f (x)$是 $n + 1$时代不断微不足道 $(f \ C ^ {n + 1})$在包含 $一个$,然后

$F (x) = \sum_{k=0}^n \frac{F ^{(k)}(a)}{k!^k + R_{n+1}(x)，$

在哪里

$R_ {n + 1} (x) = \ int_a x \ int_a ^ ^ {x_1} \ ldots \ int_a ^ {x_n} f ^ {(n + 1)}(间{n + 1}) \, dx_ {n + 1} \ ldots dx_2 \, dx_1,$

被称为剩余部分．

在某种意义上，我们推动了关于价值的信息 $f (x)$重要的是 $一个$如果可能的话，剩下的就是一个“看起来复杂”的术语。

验证它 $f (x) = \ sin (x)$， $a = 0.$, $n = 3$．

---

我们有

$\ begin {对齐} r_4（x）＆= \ int_0 ^ x \ int_0 ^ {x_1} \ int_0 ^ {x_2} \ int_0 ^ {x_2} f ^ {（4）}（x_4）\，dx_4 \，dx_3 \，dx_2\, dx_1 \\ &= \int_0^x \int_0^{x_1}\int_0^{x_2}\int_0^{x_3} \sin x_4\,dx_4\, dx_3\, dx_2\, dx_1 \\ &= \int_0^x \int_0^{x_1}\int_0^{x_2} (1-\cos x_3) \, dx_3\, dx_2\, dx_1 \\ &= \int_0^x \int_0^{x_1} \left(x_2 - \sin x_2\right)\, dx_2\, dx_1 \\ &= \int_0^x \left(\frac{x_1^2}{2} - (1-\cos x_1) \right)\, dx_1 \\ &= \frac{x^3}{3!} - x + \sin x.\ _\square \end{aligned}$

注意，如果有一个范围 $f ^ {(n + 1)}$间隔时间 $(a, x)$，我们可以很容易地推断出所谓的拉格朗日错误绑定对于大多数应用(如泰勒级数的收敛性;见下文)。实际的拉格朗日(或其他)余数似乎是一个“更深层”的结果，可以省去。

(拉格朗日错误绑定)

此外,如果 $f ^ {(n + 1)}$是有界的 $米$间隔时间 $(a, x)$,即 $\ big | f ^ {（n + 1）}（\ xi）\ big | \ leq m$对所有 $\ xi \ in（a，x）$,然后

$\大| R_ {n + 1} (x)大| \ \ leq \压裂{M} {(n + 1) !x} | | ^ {n + 1}。$

其余的 $R_ {n + 1} (x)$如上所述是一个累次积分,或者一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="多个积分" target="_blank">多个积分，这是在多变量微积分中会遇到的。这可能是泰勒定理很少以这种方式教授的原因。

为 $n = 1$,其余

$R_2 (x) = \ int_a x \ int_a ^ ^ {x_1} f”(x_2) \ dx_2 \, dx_1$

是一个“二重积分”，其中被积函数一般可以依赖于两个变量 $x_1$和 $x_2$．在这种情况下，被积函数只依赖于 $x_2$所以如果我们对这个积分就简单多了 $x_1$变量首先。事实上，我们可以这样做（有一点帮助<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fubinis-theorem/" class="wiki_link" title="Fubini定理" target="_blank">Fubini定理）：

$\ begin {对齐} r_2（x）＆= \ int_a ^ x {\ color {＃d61f06} \ int_ {x_2} ^ x} f''（x_2）\，{\ color {＃d61f06} dx_1} \，dx_2\\＆= \ int_a ^ x f''（x_2）{\ color {＃d61f06}（x-x_2）} \，dx_2。结束\{对齐}$

注意，积分限被改变，以保持两个变量的相对位置，即 $A \ leqx_2 \ leqx_1 \ leqx$．实际上，积分应该被看作是在一个直角三角形上 $x_1 x_2$-plane，它计算表面下的（签名）的体积 $f（x_1，x_2）= f''（x_2）$．这使得它直观地清楚地互换整合顺序不应影响最终结果。

一般情况下 $R_ {n + 1} (x)$，一体化区域是一个 $(n + 1)$-维度“单形”的定义 $A \leq x_{n+1}\leq x_n\leq \cdots \leq x_1\leq x$，并执行整合 $x_1，\ ldots，x_n$ $（$与 $间{n + 1}$固定 $）$产生直角的音量 $n$-simplex“。智慧，

$\{对齐}开始R_ {n + 1} (x) & = \ int_a x ^ \ int_a ^ {x_1} \ cdots \ int_a ^ {x_n} f ^ {(n + 1)}(间{n + 1}) \, dx_ {n + 1} \ ldots dx_2 \, dx_1 \ \ & = \ int_a x ^ {{# D61F06} \ \颜色int_{间{n + 1}} ^ {x} \ cdots \ int_ {x_2} ^ {x}} f ^ {(n + 1)}(间{n + 1}) \, {{# D61F06} dx_1 \颜色\ ldots dx_n} \, dx_ {n + 1} \ \ & = \ int_a f x ^ ^ {(n + 1)}(间{n + 1}) {{# D61F06} \ \颜色压裂{(x-x_ {n + 1}) ^ n} {n !}} \, dx_ {n + 1},结束\{对齐}$

这被称为整体形式的余数。

在同样的条件下，

$R_ {n + 1} (x) = \ int_a f x ^ ^ {(n + 1)} (\ xi) \压裂{(x - \ xi) ^ n}, {n !} \ d \习。$

通过“真实”的平均值定理，这一积分可以被“均值”更换在某些时候 $\ xi \ in（a，x）$，乘以长度 $入$．这样我们就得到形式的柯西：

(柯西)

$r_ {n + 1}（x）= \ frac {f ^ {（n + 1）}（{\ color {＃d61f06} \ xi}）} {n！}（x - {\ color {＃d61f06} \xi})^n (x-a) \quad \text{for some }\ {\color{#D61F06}\xi}\in(a, x).$

最后，获得了拉格朗日形式，我们只需要看一下原文 $(n + 1)$- 折叠积分，并应用“真实”均值定理的多变量版本：在界限上的多个积分，连接区域等于它的“平均值”，通过被积函数的连续性在定义域的某一点上获得，乘以被积函数区域的“体积”。(可以用一个简单的应用来证明这一点<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/extreme-value-theorem/" class="wiki_link" title="极值定理" target="_blank">极值定理和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/intermediate-value-theorem/" class="wiki_link" title="中间价值定理" target="_blank">中间价值定理）。因此我们有

（拉格朗日）

$R_ {n + 1} (x) = \压裂{f ^ {(n + 1)} ({{# D61F06} \ \颜色xi})} {(n + 1) !｝（x-a)^{n+1} \quad \text{for some }\ {\color{#D61F06}\xi}\in(a, x).$

请注意，它几乎肯定是不同的 $习\$从柯西余数中的一个，在这两种情况下，我们都不知道确切的位置 $习\$没有关于函数的更多信息 $f (x)$．拉格朗日余数很容易记因为它和泰勒级数的下一项是同一个表达式，除了 $f ^ {(n + 1)}$是被评估的点吗 $习\$而不是在 $一个$．

我们也可以通过积分部分而不是全部得到余数的其他形式 $x_1，\ ldots，x_n$变量，并将中值定理应用于其余变量。仔细分析一下，你就会发现

为 $P = 0,1， \ldots, n$，

$R_ {n + 1} (x) = \压裂{f ^ {(n + 1)} ({{# D61F06} \ \颜色xi})} {p (n + 1 - p) !｝（x-{\color{#D61F06}\xi})^{p} (x-a)^{n+1-p} \quad \text{for some } {\color{#D61F06}\xi}\in (a, x).$

这非常接近，但不完全相同，Roche-Schlömilch形式的余数。

还应该提到的是，整体形式通常通过连续应用来源<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-by-parts/" class="wiki_link" title="分部积分法" target="_blank">分部积分法，这避免提到多个积分。然而，它可能被认为是相同的证据（在某种意义上达到同谐同型），因为零件的整合本质上讲，可以通过整合来计算某个区域 $x$变量或 $y$变量。

除了通过泰勒系列的前几个方面给出近似函数的错误估计，泰勒的定理（带拉格朗日余数）提供了重要的成分，以证明完整的泰勒序列收敛完全它应该代表它。一些例子是有序的。

$f (x) = \ sin (x)$是无限可微的 $(f \ C ^ \ infty),$以及所有的导数 $f ^ {(n)} (x)$是四种可能性之一，即 $\ \因为下午x$和 $下午\ \ sin (x)$．因此，任何形式的 $r_ {n + 1}$在上面，我们可以简单地定界 $f \大| ^ {(n + 1)} (\ xi) \大|$通过 $1$，因此(例如，使用拉格朗日形式)

$\ big | r_ {n + 1}（x）\ big |\ leq \ frac {| x-a | ^ {n + 1}} {（n + 1）！} \到0 \ quad \ text {as} \ n \ to \ idty$

对于任何固定 $一个$和 $x\in\R$．因此，泰勒系列 $\sinx$，以任意点为中心 $一个\ \ mathbb R$，确实融合到 $\sinx$对所有 $x\in\R$．

现在，将这种参数应用于尽可能多的功能是自然的，并且优选地具有一些常规定理，描述了哪些功能，具有简单的标准或测试，享受其泰勒系列始终收敛到右侧功能的特性它会收敛。这将是一个最值得泰勒的定理名称的定理（在意义上的关于Taylor系列的定理，不要将其归因于布鲁克泰勒）。不幸的是，存在的自然标准 $C ^ \ infty$在间隔是不够的。著名的反例是

$φ(x) = \ \{病例}开始e ^ {1 / x} & x > 0 \ \ 0 & \ leq 0 \{病例}结束$

所有的导数 $x = 0$存在与平等 $0$，所以它的泰勒级数的中心是 $a = 0.$或者任何一个 $<0，$不收敛于 $\ phi（x）$为 $x > 0$．这个看似无害的功能的存在是非常重要的，因为它产生了一个丰富的储光滑的作用于 $\ mathbb R ^ n$可以得到任何想要的支持（通常称为凹凸函数在光滑流形的研究中测试功能在理论中<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/distributions/" class="wiki_link" title="分布" target="_blank">分布）．

但是，对于泰勒级数来说，这些平滑函数是不好的。所谓“好”函数，其特征是其泰勒级数总是收敛于自身(真正的)分析,有时表示 $f在C ^ \ \ω$表明它比存在强大 $C ^ \ infty$．最好的“解释”方式是 $\ phi（x）$上面不是分析的是进入复杂的领域：即使双方“针脚”在一起沿着真实轴平滑（在原点）一起，也无法将其延伸到复杂的平面中作为（单个）<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/holomorphic-function/" class="wiki_link" title="全纯函数" target="_blank">全纯函数，甚至不适合0的小社区。实际上，行为 $e ^ {1 / x}$对于小型复杂 $x$是极其疯狂的(参见关于本质奇点的皮卡德定理)。下面的定理，在微积分中很少提到，因为它被认为是在实变量课程的范围之外，提供了的绕过泰勒定理的解析性的自然准则和估计余数的困难。

如果 $f (x)$一个(实值还是复值)函数在开区间上 $我\ subseteq \ mathbb R$，它扩展到(即同意)一个全纯函数 $f（z）$在一个复杂的域 $U$ $（$的开连通子集 $\ mathbb C)$包含 $我$的泰勒级数 $f (x)$在任何时候 $我的\$收敛于 $f (x)$无论它是收敛的 $（$也就是说, $f$是分析 $）．$并且收敛半径最大 $r> 0.$这样 $f (x)$承认包含打开磁盘的域上的全象扩展 $z \中\ \ {mathbb C: | z-a | < r \}$．

我们遇到的绝大多数函数——包括所有初等函数及其不定积分，以及(合理的)常微分方程的更一般的解——都满足这个准则，因此是解析函数。有关复域解析函数的更多信息，请参阅wiki<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/analytical-continuation/" class="wiki_link" title="解析延拓" target="_blank">解析延拓．

泰勒定理(带拉格朗日余数)的条件可以稍微放宽，这样 $f ^ {(n + 1)}$不再假定为连续的（并且上面的推导被分解），而是仅存在于开放区间上 $(a, x)$．中值定理也是如此，它最初指的是

$\ int_a ^ b f (x) \, dx = f (c) (b) \四\文本{一些}\ c \ (a, b)$

在条件下 $f '$是连续的，但(稍微)是一般化的 $f '$不再是连续的，而仅仅是存在的，左边的积分被 $f (b) - f (a)$．人们可能会有理由怀疑，是否存在这样的功能。唉,他们所做的。经典的例子是

$f (x) =罪\{病例}开始x ^ 2 \ \ dfrac {1} {x} & x \ neq 0 \ \ 0 & x = 0 \{病例}结束$

的 $f '$存在 $x = 0$但不是在那里连续。不连续性是如此糟糕，它不是（riemann）可集成的。

更强的中值定理找到了一个完全不同的证明——最终依赖于实数的性质——实际上是证明微积分基本定理本身的一个基本成分。更强的版本的泰勒定理(拉格朗日余数)，如在大多数书中发现的，直接从中值定理证明。托马斯·塔克在书中充分论证了这不是最好的教学法<一个target="_blank" rel="nofollow" href="https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/AMM/00029890.di991820.99p0715d.pdf">对微积分重新思考的严谨：平均值定理的作用．欲知更有启发性的阐述，请参阅<一个target="_blank" rel="nofollow" href="https://gowers.wordpress.com/2014/02/11/taylors-theorem-with-the-lagrange-form-of-the-remainder/">Timothy Gowers的博客文章．

还应注意的是，余数的积分形式的条件同样可以放宽，以便 $f ^ {(n + 1)}$不再被认为是连续的，但是 $f ^ {(n)}$是绝对连续，这意味着 $f ^ {(n + 1)}$几乎处处存在，并且(勒贝格)可积 $大(f \ ^ {(n + 1)} \ L ^ 1 \大)$．在某种意义上，这是微积分基本定理和分部积分的最一般的设置。