泰勒系列

本文使用求和符号。

一种泰勒系列是A.多项式无限程度可用于代表许多不同的功能，特别是不是多项式的功能。泰勒系列具有从古典和现代物理到计算当时评估三角表达式的计算的应用。

泰勒级数是既实用...

$\ int_ {0} ^ {X} \压裂{\罪吨} {吨} DT = X - \压裂{X ^ {3}} {3 \ cdot3！} + \压裂{X ^ {5}} {5\ cdot5}！ - \压裂{X ^ {7}} {7 \ cdot7} + \ cdots = \ sum_ {N = 0} ^ {\ infty}（ - 1）^ {N} \压裂{X ^ {2N + 1}} {{（2N + 1）} \ {CDOT（2N + 1）}！}$

这里，泰勒级数是被用来评估不能使用已知的方法来计算的积分。

...美观：

$\ sum_ {n = 0} ^ {\ idty}（-1）^ {n} \ frac {4} {2n + 1} {2n + 1} = 4 - \ frac {4} {3} + \ frac {4} {5}- \ frac {4} {7} + cdots = \ pi$

在这里，优雅使用泰勒系列给了我们所需的价值 $\ PI.$。

让 $f（x）$是实值函数，它是无限可微 $x = x_0.$。当泰勒系列扩张功能 $f（x）$以重点为中心 $x = x_0.$是给出的

$\ sum_ {n = 0} ^ {\ idty} f ^ {（n）}（x_0）\ frac {（x - x_0）^ {n}} {n！}。$

注意 $f ^ {（n）}（x_0）$代表 $n ^ \ text {th}$衍生物 $f（x）$在 $x = x_0.$。

$\ sum_ {n = 0} ^ {\ idty} f ^ {（n）}（x_0）\ frac {（x - x_0）^ {n}} {n！}$

这是不是很明显这个定义如何构造同等学力无限的多项式原有的功能， $f（x）$。也许我们可以通过写出泰勒系列的前几个条款来获得理解 $F（X）= \ COS X$以其为中心 $x = 0.$。请注意，有什么特别的地方使用 $x = 0.$除了简化的计算之外，还允许任何其他中心选择，并将根据需要而变化。

我们现在将使用上面的定义来构建优雅的多项式等效等量 $\ cos x.$。

因为在上面的定义中提供的泰勒系列的公式包含 $f ^ {（n）}（x_0）$，我们应该构建包含值的列表 $f（x）$和它的前四个衍生品 $x = 0：$

$\ begin {array} {rll} f（0）＆= cos 0＆= \ color {＃ec7300} 1 \\ f'（0）＆= - \ sin 0＆= \ color {＃3d99f6} 0 \\f''（0）＆= - \ cos 0＆= \ color {＃ec7300} { - 1} \\ f''''''（0）＆= sin 0＆= \ color {＃3d99f6} 0 \\ f^ {（4）}（0）＆= \ cos 0＆= {\ color {＃ec7300} {1}}。\结束{array}$

我们开始组装泰勒系列的写作 $F（X）=$[在我们列表中的第一个号码] $\ CDOT \压裂{（X - X_0）^ 0} {！0}$喜欢：

$f（x）= {\ color {＃ec7300} 1 \ cdot \ displaystyle \ frac {（x-0）^ 0} {0！} = 1}。$

到目前为止，我们的构造函数 $F（X）= 1$看起来没什么看法 $F（X）= \ COS X$。他们只是有 $F（0）= 1$在常见的，但我们会增加更多的方面。我们从上面的列表中添加下一个学期，这个时候再乘以 $\ frac {（x - x_0）^ {1}} {1！}：$

$F（X）= {\颜色{＃EC7300} 1 \ CDOT \的DisplayStyle \压裂{！（X - 0）^ 0} {0} + \盒装{\颜色{＃3D99F6} 0 \ CDOT \的DisplayStyle \压裂{（X - 0）^ 1} {1}} = 1}！。$

注意指数 $（x - 0）$阶乘内的参数既是1这个时间，而不是它们在上一个术语中。这是因为求和指示我们增量 $N.$从0到1这个过程将继续增加从我们的列表中的下学期以上，但同样增加电源 $（x - 0）$和阶乘内的值：

$F（X）= {\颜色{＃EC7300} 1 \ CDOT \的DisplayStyle \压裂{！（X - 0）^ 0} {0} + \颜色{＃3D99F6} 0 \ CDOT \的DisplayStyle \压裂{（X -0）^ 1} {1！} + \ x盒装{\ color {＃ec7300}（{ - 1}）\ cdot \ displaystyle \ frac {（x-0）^ 2} {2！}} = 1 - \ displaystyle\ frac {x ^ 2} {2！}}。$

让我们停下来看看我们到目前为止的目标。三个术语后，我们的Taylor系列给了我们 $f（x）= 1 - \ frac {x ^ 2} {2}$。

有趣的是，如果我们继续从我们的名单采取数量而追加的递增权力 $（x - 0）$和递增阶乘，那么我们的泰勒级数缓慢而稳步地符合余弦曲线：

$F（X）= {\颜色{＃EC7300} 1 \ CDOT \的DisplayStyle \压裂{！（X - 0）^ 0} {0} + \颜色{＃3D99F6} 0 \ CDOT \的DisplayStyle \压裂{（X -0）^ 1} {1} + \颜色{＃EC7300}（{ - 1}）\ CDOT \的DisplayStyle \压裂{（X - 0）^ 2} {2} + \颜色{＃3D99F6} 0 \CDOT \的DisplayStyle \压裂{（X - 0）^ 3} {！3} + \颜色{＃EC7300} 1 \ CDOT \的DisplayStyle \压裂{（X - 0）^ 4} {4！} = 1 - \的DisplayStyle\压裂{X ^ 2} {2！} + \的DisplayStyle \压裂{X ^ 4} {4！}}。$

在这一点上，我们可以在新兴的模式猜。上的权力 $X$甚至，在分母中阶乘甚至，并且术语备用迹象。请注意，可能需要在原有功能的更多衍生工具来发现一个模式，但需要在这个例子中只有四个衍生物。我们这个模式编码成求和，最终得到我们的泰勒系列 $\ COS X：$

$\ COS X = \ sum_ {N = 0} ^ {\ infty}（ - 1）^ {N} \压裂{X ^ {2N}} {（2N）！}。$

在下面的动画中，每个帧代表附加到前一帧泰勒系列的附加术语。随着我们添加更多条件，泰勒系列往往适合余弦功能，它试图近似：

重要说明：因为这个系列的扩展是以中心为中心的 $x = 0.$，这也被称为a麦克劳林系列。Maclaurin系列只是一个以泰勒系列为中心的 $x = 0.$。

那么这是如何工作的？这个公式的直觉是什么？让我们巩固我们对泰勒系列的理解，略有抽象演示。出于下一个例子的目的，让 $T（x）的$代表泰勒系列扩建 $f（x）$。

$\ BEGIN {对齐} T（X）= \ sum_ {N = 0} ^ {\ infty} F到^ {（N）}（X_0）\压裂{（X - X_0）^ {N}} {！N}\\＆= F（X_0）+ F '（X_0）（X - X_0）+ F' '（X_0）\压裂{（X-X_0）^ 2} {2} + F' ''（X_0）\压裂{（X-X_0）^ 3} {6} + \ cdots \ {端对齐}$

要注意的是，这个总和的价值 $x = x_0.$简直 $F（X_0）$，因为第一个之后的所有术语都将包含0个产品中的0。这意味着Power系列的价值同意功能的值 $X_0.$ $\大（$或那个 $T（X_0）= F（X_0）\大）。$当然这是我们会从一系列的旨趣与功能一致希望！毕竟，如果我们的要求是，泰勒级数 $T（x）的$等于函数 $f（x）$，那么它应该在价值在同意 $x = x_0.$。授予的，存在一个不可数的其他函数，这些函数共享相同的价值 $X_0.$，所以这等价没什么特别为止。让我们通过采取衍生条款中我们列出了电源系列调查：

$T '（X）= 0 + F'（X_0）+ F ''（X_0）（X-X_0）+ F '''（X_0）\压裂{（X-X_0）^ 2} {2} + F ^{（4）}（X_0）\压裂{（X-X_0）^ 3} {3！} + \ cdots。$

如果我们评估差异化的求和 $x = x_0.$，然后是所有条款 $f'（x_0）$消失（由于他们的产品中包含0），只留下我们 $f'（x_0）$。因此，除了 $t（x_0）= f（x_0）$，我们还有有那个 $T '（X_0）= F'（X_0）$，意思是Taylor系列和它代表的功能在他们的衍生品的价值中同意 $X_0.$。一个人可以反复区分 $T（x）的$和 $f（x）$在 $x = x_0.$并且发现，这种模式继续。事实上，接下来的衍生 $t''（x）$承担价值 $F ''（X_0）$，衍生物之后 $t''（x）$承担价值 $f''（x_0），$等等，都在 $x = x_0.$。

这是一个有希望的结果！如果我们能保证 $n ^ \ text {th}$衍生物 $T（x）的$同意 $n ^ \ text {th}$衍生物 $f（x）$在 $x = x_0.$对于所有值 $N.$，然后我们可以期待泰勒系列的行为和 $f（x）$是相同的。

现在，对此结论有罕见的，病理的例子，但要确保那些没有裁剪，我们将这个定理条件在无限不同的功能上。

已经有数十名已知的泰勒系列。他们中的一些人很容易派生（你应该！），而其他人则对这个Wiki的范围太复杂：

$\ begin {对齐} \ cos x＆= \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty}（ - 1）^ {n} \ frac {x ^ {2n}} {（2n）！}＆\ sin x＆= \ sum_ {n = 0} ^ {\ idty}（ - 1）^ {n} \ frac {x ^ {2n + 1}} {（2n + 1）！}＆\ tan ^ { - 1} x＆=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)} \\ e^{x} &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} & \ln(1 + x) &= \sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} & \frac{1}{1 - x} &= \sum_{n = 0}^{\infty}x^n. \end{aligned}$

主要文章：区间与收敛半径

当收敛间隔对于泰勒系列 $\的DisplayStyle \ sum_ {N = 0} ^ {\ infty} A_ {N}（X - X_ {0}）^ {N}$是一组值的 $X$为此级数收敛。

检查几何幂级数 $\压裂{1} {1 - X} = 1 + X + X ^ 2 + X ^ 3 + X ^ 4 + \ cdots = \的DisplayStyle \ sum_ {N = 0} ^ {\ infty}的x ^ {N}$。回想一下，无限术语的几何进展是

$S_N = A + A \ CDOT R + A \ CDOT R ^ 2 + A \ CDOT R 1 {3} + \ cdots，$

其等于

$s_n = \ frac {a} {1-r}。$

假设我们希望使用连续和可微差的函数在笛卡尔平面上插入无限数量的点 $F$。如何才能做到这一点？

给予 $N.$笛卡尔平面上的点，可以使用至少学位的多项式内插的一组点 $N-1$。鉴于无限数量的点进行插值，我们需要一个无限的多项式

$F（X）= {A} _ {0} + {A} _ {1}（x轴{X} _ {0}）+ {A} _ {2} {（X-{X} _ {0}）} ^ {2} + \ cdots，$

在哪里 $\左| X- {X} _ {0} \右|$收敛半径内。

观察：

$\ begin {对齐} f（{x} _ {0}）＆= {a} _ {0} \\ f'（{x} _ {0}）＆= {a} _ {1} \\ f''（{x} _ {0}）＆= 2 {a} _ {2} \\ f''（{x} _ {0}）＆= 6 {a} _ {3} \\ {f}^ {（4）}（{x} _ {0}）＆= 24 {a} _ {4} \\ {f} ^ {（n）}（{x} _ {0}）＆= n！{a} _ {n}。\结束{对齐}$

求解每个常数项扩展原有的功能注入了无限多项式

$f（x）= \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n！{f} ^ {（n）}（{x} _ {0}}）{（x-{x} _ {0}）} ^ {n}。$

主要文章：泰勒级数逼近

想象一下，你被俘虏并放在黑暗的细胞中。你的绑定说，你可以赢得自由，但只有你可以产生近似值 $\ SQRT [3] {8.1}$。比这更糟糕，你的近似必须是正确的五个小数点！即使没有您的单元格中的计算器，您也可以使用泰勒系列的前几个条款 $\ SQRT [3] {X}$关于这一点 $x = 8.$作为进行快速和体面逼近的工具。

我们当然无法在泰勒级扩展中计算无限数量的函数。然而，随着在函数的泰勒级膨胀中计算更多术语，提高了该功能的近似值。

使用泰勒系列扩建的前三个条款 $F（X）= \ SQRT [3] {X}$以其为中心 $x = 8.$，近似 $\ SQRT [3] {8.1}。$

---

我们有

$F（X）= \ SQRT [3] {X} \大约2 + \压裂{（X - 8）} {12} - \压裂{（X - 8）^ 2} {288}。$

所示的前三个术语足以提供良好的近似 $\ SQRT [3] {X}$。评估这笔款项在 $X = 8.1$给出近似 $\ SQRT [3] {8.1}：$

$\ begin {对齐} f（8.1）= \ sqrt [3] {8.1}＆\约2 + \ frac {（8.1-8）} {12} - \ frac {（8.1 - 8）^ 2} {288}\\＆= \ color {＃3d99f6} {2.008298} {2.008298} \ color {＃d61f06} {61111} \ ldots \\ \\ \ sqrt [3] {8.1}＆= \ color {＃3d99f6} {2.008298} {\ color{＃d61f06} {85025} \ dots}。\结束{对齐}$

只有三个术语，上面的公式就能近似 $\ SQRT [3] {8.1}$到六位小数的准确性。 $_ \平方$

• Maclaurin系列
• 泰勒系列操纵