曲线的切线

的曲线的切线在给定的一点上，直线与曲线相交于这一点，并且与曲线在这一点上有相同的瞬时斜率。求曲线上某一点的切线是很有挑战性的，需要使用微积分；具体来说，我们会用导数来求曲线的斜率。

对于我们感兴趣的曲线上的任何一点，都很容易找到一个通过这个点的直线，但是为了求切线，我们需要求出曲线在我们感兴趣的点处的斜率。让我们考虑一个函数 $f (x)$和函数上的点 $\ \大(c、f (c)大)。$

我们需要求出经过这条直线的斜率 $\ \大(c、f (c)大)$它与 $f (x)$．一般来说，我们知道我们可以找到坡， $米$，通过计算的变化，通过任意两点 $y \,δy) (\$除以变化量 $x \ \δx),$这个公式描述了什么

$m = \压裂{\δy}{\δx} = \压裂{y_2 - y_1} {x_2 - x_1}。$

但是，在这个例子中，我们要求的是单点处的斜率 $\ \大(c、f (c)大)$，这意味着，如果我们使用上面的公式，我们会发现 $m = \ frac00,$这是未定义的．为了求切线的斜率，我们需要用差商。

一个差商是描述直线在单点处的斜率的表达式。让我们再次考虑斜率公式:

$m = \压裂{\δy}{\δx} = \压裂{y_2 - y_1} {x_2 - x_1}。$

我们想求出变化量 $y$除以变化量 $x$．让我们考虑一下如果我们用这个点会发生什么 $\ \大(c、f (c)大)$另一个接近它的点， $(c+ x,f(c+ x))$．我们可以画一条与函数相交两次的割线(下面用虚线表示):

注意，这条割线的斜率和切线的斜率不同，但它的斜率是关闭切线的斜率。我们可以很容易地计算出割线的斜率:

$m = \压裂{\δy}{\δx} = \压裂{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \压裂{f (c + \δx) - f (c)} {c + \δx - c} = \压裂{f (c + \δx) - f (c)}{\δx}。$

这里关于差商的主要观点是 $\δx$越小，割线的斜率就越接近我们要求的切线的斜率。事实上,使用限制，我们可以求出与曲线相切的直线的确切斜率 $f (x)$在 $x = c$使用差商:

斜率 $米$曲线的 $f (x)$在 $x = c$定义为

$m = \ lim_{\δx \ 0} \压裂{f (c + \δx) - f (c)}{\δx}。$

注:以上假设函数 $f (x)$是连续和可微的在 $c$．

斜率是多少 $f (x) = x ^ 2$在点 $(9) ?$

---

利用上面的定义，我们可以看到斜率是

${对齐}m & = \ \开始lim_{\δx \ 0} \压裂{(3 + \δx) - f(3)}{\δx } \\\\ &= \ lim_{\δx \ 0} \压裂{(3 + \δx) ^ 2 - 3 ^ 2}{\δx } \\\\ &= \ lim_{\δx \ 0} \压裂{6δx + \ \δx ^ 2}{\δx } \\\\ &= \ lim_{\δx \ 0} 6 + \δx \ \ \ \ & = 6。结束\{对齐}$

因此，直线的切线的斜率 $f (x) = x ^ 2$在点 $(9)$将边坡 $m = 6$． $_ \广场$

这种求斜率的方法被称为导数，你可以在这里阅读更多信息:第一原理导数．

一旦我们求出了斜率(使用上图的导数)，我们就可以很容易地求出通过该点的斜率的直线的方程，使用线性方程和点斜式．

直线切线的方程是什么 $y = x ^ 3$在点 $(1,1) ?$

---

回答

首先，我们要求斜率。在这里 $f (x) = x ^ 3$和 $c = 1$．用差商，我们可以写

${对齐}m & = \ \开始lim_ h \{0} \压裂{(1 + h) - f (1)} {h} \ \ & = \ lim_ h \{0} \压裂{(1 + h) ^ 3 - (1) ^ 2} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{1 + 3 h + 3 h ^ 2 + h ^ 3 - 1} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{3 h + 3 h ^ 2 + h ^ 3} {h } \\ & = \ lim_ h \ {0} (3 + 3 h + h ^ 2) \ \ & = 3。结束\{对齐}$

因此切线的斜率是3。使用点 $(1,1)$和斜率 $m3$,我们有 $3 y = x - 2$． $_ \广场$

• 求直线的斜率
• 线性方程和点斜式
• 第一原理导数
• 为了更彻底地了解这些材料，可以考虑开始学习这门课程微积分做对．