线性微分方程系统GydF4y2Ba

一种GydF4y2Ba线性微分方程系统GydF4y2Ba是一组GydF4y2Ba线性方程组GydF4y2Ba涉及一组功能，以它们的衍生物。因为它们涉及的功能和它们的衍生物，这些线性方程的本身就是一个GydF4y2Ba微分方程GydF4y2Ba。例如，GydF4y2Ba $F'（X）= F（X）+ G（X）GydF4y2Ba$是与线性方程GydF4y2Ba $F'GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $FG.ydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$， 但GydF4y2Ba $F'= FGGydF4y2Ba$不是，因为GydF4y2Ba $FG.GydF4y2Ba$术语不是线性的。这些方程可以通过书面形式来解决问题GydF4y2Ba矩阵GydF4y2Ba形成，然后与他们合作几乎就好像它们是标准微分方程。GydF4y2Ba

微分方程系统可用于各种物理系统，如捕食相互作用的模型，但是线性系统是可以明确地被一致地解决的唯一系统。GydF4y2Ba

给出的形式的线性差分方程的系统GydF4y2Ba

$\开始{对齐} F_1 '（X）=＆A_ {11} F_1（X）+ \ cdots + A_ {1N} F_N（x）中，\\ F_2'（X）=＆A_ {21} F_1（x）的+ \ cdots + A_ {2N} F_N（x）中，\\＆\ vdots \\ F_N'（X）=＆A_ {N1} F_1（X）+ \ cdots + A_ {NN} F_N（x）的\\？\END {对齐}GydF4y2Ba$

这个系统是最简单的工作，如果它被改写为GydF4y2Ba $V'=平均GydF4y2Ba$， 在哪里GydF4y2Ba $V = \左[\ {开始阵列} {C} F_1 \\？\ vdots \\ F_N \ {端阵列} \右] \四\文本{和} \四A = \左[\ {开始阵列} {CCC} A_ {11}＆\ cdots＆A_ {1N} \\ \ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ A_ {N1}＆\ cdots＆A_ {NN} \ {端阵列} \权利]。GydF4y2Ba$现在GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$方程式已经降低到一个方程是更易于使用。GydF4y2Ba

由于矩阵GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$是恒定的，公式GydF4y2Ba $V'=平均GydF4y2Ba$类似于方程GydF4y2Ba $F'= CFGydF4y2Ba$。后者方程有溶液GydF4y2Ba $F =铈^ {} CXGydF4y2Ba$，所以人们很容易猜测，这个方程涉及指数，以及解决方案。这个猜测被证明是正确的：解决这个方程GydF4y2Ba $V（X）=​​ E ^ {}斧V（0）GydF4y2Ba$，我们定义GydF4y2Ba $E 1 A = \ sum_ {N = 0} ^ {\ infty} \压裂{A ^ N} {N！} = I + A + \压裂{A ^ 2} {2} + \压裂{A ^ 3} {6} + \ cdots，GydF4y2Ba$使用GydF4y2Ba幂级数GydF4y2Ba为了GydF4y2Ba指数函数GydF4y2Ba。这个事实可以通过区分幂级数来验证。GydF4y2Ba

解微分方程的系统GydF4y2Ba $F'（X）= G（X）GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $G'（X）= F（x）的GydF4y2Ba$， 在哪里GydF4y2Ba $F（0）= 0GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $克（0）= 1GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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在矩阵形式中，该系统是GydF4y2Ba $\左[\开始{阵列} {C} F到\\克\端{阵列} \右'= \ underbrace {\左[\开始{阵列} {CC} 0＆1 \\ 1＆0 \端{阵列} \右]} _ {A} \ underbrace {\左[\ {开始阵列} {C} F到\\克\ {端阵列} \右]} _ {v}。GydF4y2Ba$它仍然是计算GydF4y2Ba $E 1 {}斧GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

如果我们计算的一些小国GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$我们发现，GydF4y2Ba $甲^ {2N} = IGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $甲^ {2N + 1} = AGydF4y2Ba$即，即使权力是身份和奇次幂只是GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$。然后，GydF4y2Ba $E 1 {斧} = \ sum_ {N = 0} ^ {\ infty} \压裂{（AX）^ N} {N！} = \ sum_ {N = 0} ^ {\ infty} \压裂{（AX）^ {2N}} {（2N）！} + \ sum_ {N = 0} ^ {\ infty} \压裂{（AX）^ {2N + 1}} {（2N + 1）！} = A \ sum_ {N=0.}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}+I\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$现在，我们可以承认这两个数额为GydF4y2Ba泰勒系列GydF4y2Ba为了GydF4y2Ba双曲正弦GydF4y2Ba和GydF4y2Ba双曲余弦GydF4y2Ba，所以我们有GydF4y2Ba $E 1 {斧} = A \的sinh X + I \ COSH X = \左[\开始{阵列} {CC} \ COSH X＆\的sinh X \\？\的sinh X＆\ COSH X \端{阵列} \权利]。GydF4y2Ba$最后，我们发现GydF4y2Ba $V（X）=​​ E ^ {斧} V（0）= \左[\开始{阵列} {CC} \ COSH X＆\的sinh X \\？\的sinh X＆\ COSH X \端{阵列} \右] \左[\begin{array}{c} 0\\1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \sinh x\\ \cosh x\end{array}\right],$所以解决的办法是GydF4y2Ba $F（X）= \的sinh XGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $G（X）= \ COSH XGydF4y2Ba$。GydF4y2Ba