不平等体系

一个<年代trong>不等号系统是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sets/" class="wiki_link" title="集" target="_blank">集两个或更多<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-inequalities/" class="wiki_link" title="不平等" target="_blank">不平等在一个或多个变量中。当一个问题需要一系列的解，并且这些解有不止一个约束时，不等式系统被使用。

里昂是一家纺织厂的经理。他的工人这周总共有400个工时要分配给他。每生产10件衬衫需要2个小时。每10条裤子需要3个小时生产。他被要求本周生产至少30件衬衫和至少20条裤子。Leon如何分配他的工时，这将如何影响他的生产?

用不等式系统来模拟这个问题是理想的。有多个解决方案，这些解决方案也有不止一个约束条件。

让<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ 是生产衬衫的数量，让<年代p一个n class="katex"> $p$ $p$ 是生产的裤子数量。生产衬衫的小时数是<年代p一个n class="katex"> $\压裂{2}{10}s = \压裂{1}{5},$ $\frac{2}{1 0} 年代＝ \frac{1}{5} 年代，$ 生产裤子的小时数是<年代p一个n class="katex"> $p \压裂{3}{10}。$ $\frac{3.}{1 0} p ．$ 莱昂的生产受到以下不等式系统的限制:

${病例}\ \开始开始{数组}{rl} \压裂{1}{5}s + \压裂{3}{10}p & \勒400 \ \ s & 30 \ \ p & \ \通用电气ge 20。\ _\square \end{array} \end{case}$

与上面的例子一样，不等式系统经常被用来定义解的约束条件。当一个问题需要你选择一个最优的解决方案时，那么这就需要<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-programming/" class="wiki_link" title="线性规划" target="_blank">线性规划或其他优化技术(<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/combinatorial-optimization/" class="wiki_link" title="组合优化" target="_blank">组合优化或<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/optimization-problems/" class="wiki_link" title="用微积分优化" target="_blank">用微积分优化）.

定义和符号

不等式系统的符号和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-inequalities/" class="wiki_link" title="线性不等式" target="_blank">线性不等式．

$>$ 是<年代trong>大于的象征。符号左边的量大于右边的量。

$<$ 是<年代trong>不到的象征。符号左边的量小于右边的量。

$通用电气\$ 是<年代trong>大于或等于的象征。符号左边的量要么大于右边的量，要么等于右边的量。

$\勒$ 是<年代trong>小于或等于的象征。符号左边的量要么小于右边的量，要么等于右边的量。

$东北\$ 是<年代trong>不等于的象征。符号左边的量不等于右边的量。

不等式符号从左到右读，如<年代p一个n class="katex"> $2 >$ $2 > 1$ 2比1大。

不等式系统使用一些符号<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/set-theory/" class="wiki_link" title="集" target="_blank">集．

一个<年代trong>十字路口两个不等式中的任意一个都包含满足两个不等式的数。表示为<年代p一个n class="katex"> $\帽$ $\cap$ 两个不等式之间的符号:

$X >-2\ \cap\ X \le$

在交点的情况下，给出的变量值在两个数之间，<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ 可以写在不等式符号之间。下面的例子等价于上面的例子:

$-2 < x \le$

不等式的交集有时也用左花括号表示，<年代p一个n class="katex"> $\ {$ $｛$ ，放在不等式的左边。当不等式系统包含两个或多个变量时，这种情况更常见:

$\begin{cases} y<2x-3 \\ y\ge 3。\{病例}结束$

一个<年代trong>联盟两个不等式中的一个包含满足第一个或第二个不等式的数。表示为<年代p一个n class="katex"> $\杯$ $\cup$ 两个不等式之间的符号:

$X <0\ \cup\ X >$

不等式系统的解集通常写在<年代trong>集合构建器符号：

$\{x \mid x<0\ \cup\ x>6\}，$

上面写着“所有的集合?<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ 这样<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ 小于0还是<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ 大于6 "

不等式系统也可以表示为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/interval-notation/" class="wiki_link" title="间隔符号" target="_blank">间隔符号．

不等式系统-一个变量

求解单变量不等式系统的策略

分别求解每个不等式。求解的区间。

简化系统中区间的交并。数轴图可以用来帮助可视化的间隔。

狂欢节有三个游乐设施。荡秋千要求骑手身高至少90厘米。过山车要求乘客身高至少120厘米。旋转木马要求骑手身高在70厘米至130厘米之间(含)。

找出高度的间隔(厘米)，将允许狂欢节的游客

乘坐所有游乐设施

至少骑一次车。

让<年代p一个n class="katex"> $h$ $h$ 请保持狂欢节游客的身高(单位:厘米)。每次骑行所需的高度可以用一个不相等的系统来描述:

$\begin{cases} \begin{aligned} h &\ge 90 \ h &\ge 120 \ 70 \le h &\le 130。结束\{对齐}\{病例}结束$

如果公园的游客想要乘坐所有的游乐设施，那么他/她的身高就必须满足所有这些不平等。这需要十字路口在高处:

$\begin{array}{lc} \text{不等式:}& 120 \le h \le 130 \\ text{Interval:} &[120,130]。结束\{数组}$ 闭点表示<年代p一个n class="katex"> $h$ $h$ 包括这些点<年代p一个n class="katex"> $120$ $120$ 而且<年代p一个n class="katex"> $130$ $1 3. 0$ ；开放的点(开放的圆)将被用来表示这些点被排除在外，从图上延伸出来的箭头将表示这个数字延伸到无穷远。

如果一个游客想要乘坐至少一种游乐设施，那么他/她的身高就必须满足一种或多种不平等。这需要联盟关于这些不平等:

$\begin{array}{lc} \text{不等式:}& 70 \le h \le 130 \\ text{Interval:} &[70,130]。\ _\square \end{array}$

不等式系常用于描述的解<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/polynomial-inequalities/" class="wiki_link" title="多项式不等式" target="_blank">多项式不等式，<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/absolute-value-inequalities/" class="wiki_link" title="绝对值不等式" target="_blank">绝对值不等式,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-inequalities/" class="wiki_link" title="合理的不平等" target="_blank">合理的不平等．

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/polynomial-inequalities/" class="wiki_link" title="多项式不等式" target="_blank">多项式不等式

解决不平等

$x ^ 2 + 2 > 15。$

不等式两边同时减去15:

$x ^ 2 + 2 x - 15 > 0。$

因式分解二次函数:

$(x + 5)(3) > 0。$

如果两个因子都为正，不等式左边为正，或者两个因子都为负。这种情况发生在<年代p一个n class="katex"> $x > 3$ $x > 3.$ 或者当<年代p一个n class="katex"> $x < 5。$ $x < - 5 ．$ 解决办法是联盟：

${数组}{lc} \ \开始文本{不平等:}& x < 5 \ \杯\ x > 3 \ \ \{间隔:}&文本(\ infty, 5) \ \ \ (3 \ infty)。\ _\square \end{array}$

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/absolute-value-inequalities/" class="wiki_link" title="绝对值不等式" target="_blank">绝对值不等式

解决不平等

$| x + 3 | + | x - 1 | \通用电气4。$

案例1。 $(x + 3)$ 而且<年代p一个n class="katex"> $(x - 1)$ $（ x - 1 ）$ 都是负的。绝对值运算将对以下表达式求反:

$\开始{对齐}- (x + 3)通用电气4 \ \ 2 x (x - 1) \ \通用6 \ \ x \勒3。结束\{对齐}$

例2。 $(x - 1)$ 是负的<年代p一个n class="katex"> $(x + 3)$ $（ x + 3. ）$ 是正的。绝对值运算不会对<年代p一个n class="katex"> $(x + 3)$ $（ x + 3. ）$ 表达和否定<年代p一个n class="katex"> $(x - 1)$ $（ x - 1 ）$ 表达式:

$\begin{aligned} (x+3)-(x-1) &\ ge4 \\ 2 &\ ge4。结束\{对齐}$

这是不可能的，所以这种情况没有解。

例3。 $(x + 3)$ 而且<年代p一个n class="katex"> $(x - 1)$ $（ x - 1 ）$ 都是正的。绝对值运算不会对任何表达式执行任何操作:

$\{对齐}开始(x + 3) + (x - 1) & \通用电气4 \ \ 2 x & \通用电气2 \ \ & \通用电气1。结束\{对齐}$

解决办法是联盟的不平等:

$数组{}{lc} \ \开始文本{不平等:}& x \勒3 \ \杯\ \通用电气1 \ \ \文本{间隔:}& (\ infty, 3] \ \杯\ [1 \ infty)。\ _\square \end{array}$

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-inequalities/" class="wiki_link" title="合理的不平等" target="_blank">合理的不平等

解决不平等

$\压裂{x ^ 2-x-9} {x - 1} \勒1。$

案例1。 $x - 1 > 0。$ 不等式两边同时乘以<年代p一个n class="katex"> $x - 1$ $x - 1$ 不会改变不等号:

$\{对齐}开始x ^ 2-x-9 le x - 1 & \ \ \ x ^ 2-2x-8 le 0 & \ \ \ (* 4) (x + 2) & \ 0。结束\{对齐}$

其中一个因素肯定是积极的，而另一个是消极的。自<年代p一个n class="katex"> $x 4 < x + 2,$ $x - 4 < x + 2 ，$ 的<年代p一个n class="katex"> $(* 4)$ $（ x - 4 ）$ 因子必须为负，而<年代p一个n class="katex"> $(x + 2)$ $（ x + 2 ）$ 是正的。这只会发生在<年代p一个n class="katex"> $-2\le x \le 4。$ $- 2 \leq x \leq 4 ．$ 但是，这是受限于这个案件的条件<年代p一个n class="katex"> $x > 1。$ $x > 1 ．$ 简化了十字路口给了

$\begin{array}{lc} \text{不等式:}& 1$

例2。 $x - 1 < 0。$ 不等式两边同时乘以<年代p一个n class="katex"> $x - 1$ $x - 1$ 将颠倒不等号:

$\{对齐}开始x ^ 2-x-9 & \通用电气x - 1 \ \ x ^ 2-2x-8 & \通用电气0 \ \ (* 4)(x + 2)通用电气& \ 0。结束\{对齐}$

不等式左边会大于等于0当两个因子都是正的，两个因子都是负的，或者其中一个因子为零。这只会发生在<年代p一个n class="katex"> $X \le -2\ \cup\ X \ge$ $x \leq - 2 \cup x \geq 4 ．$ 但是，这是受限于这个案件的条件<年代p一个n class="katex"> $x < 1。$ $x < 1 ．$ 简化了十字路口给了

$数组{}{lc} \ \开始文本{不平等:}& x \ le 2 \ \ \{间隔:}&文本(- \ infty 2]。结束\{数组}$

那么，两种情况的解都是

$数组{}{lc} \ \开始文本{不平等:}& x \ le 2 \ \杯le 4 \ \ \ 1 < x \ \{间隔:}&文本(- \ infty 2] \ \ \杯(1,4]。\ _\square \end{array}$

二元线性不等式系统

双变量不等式方程组的解通常在坐标平面上用阴影图表示。阴影区域表示解中包含点的区域。如果一条直线是实心的，那么直线上的点就包含在解中。如果一条线是虚线，则该线上的点不包含在解中，但任何相邻阴影区域都包含在解中。

$\开始{病例}\ le 2 x + 3 \ \ y >——\压裂{1}{3}x - 1 \{病例}结束$

阴影部分是十字路口不等式。阴影区域和实心射线上的每一点都是解的一部分。虚线和射线不是解的一部分。

下面的过程通过隔离<年代p一个n class="katex"> $y$ $y$ 每个不等式中的变量。因为更大的<年代p一个n class="katex"> $y$ $y$ 值在坐标平面上较高，a<年代p一个n class="katex"> $>$ $>$ 或<年代p一个n class="katex"> $通用电气\$ $\geq$ 符号表示解存在于不等式线的上方。同样,一个<年代p一个n class="katex"> $<$ $<$ 或<年代p一个n class="katex"> $\勒$ $\leq$ 符号表示解存在于不等式线以下。

线性不等式系统的绘图:斜率-截距阴影法

把每个不等式化成斜截式。

画出每个不等式的边界线。如果符号是<年代p一个n class="katex"> $\勒$ $\leq$ 或<年代p一个n class="katex"> $通用电气,$ $\geq ，$ 然后，这条线应该是实心的，以表明这条线上的点都包含在解中。如果符号是<年代p一个n class="katex"> $<,$ $< ，$ $>,$ 或<年代p一个n class="katex"> $不,$ $\neq ＝，$ 然后，这条线应该是虚线，以表明这条线上的点不包括在解决方案中。

对于每一个不等式，如果符号为<年代p一个n class="katex"> $通用电气\$ $\geq$ 或<年代p一个n class="katex"> $>,$ $> ，$ 然后用阴影遮住线条。如果符号是<年代p一个n class="katex"> $\勒$ $\leq$ 或<年代p一个n class="katex"> $<,$ $< ，$ 然后阴影线以下。如果符号是<年代p一个n class="katex"> $不,$ $\neq ＝，$ 然后在线的两边画阴影。

如果系统是a联盟，那么你的图就完整了。如果系统是十字路口，那么，只有构成所有不平等的部分的地区才能得到解决。必须删除解决方案中没有的所有底纹、线条和光线。

画出不等式的并集

$\begin{array}{ccc} y>3x & \cup & y<2x。结束\{数组}$

首先画出每个不等式的直线。这些符号是<年代p一个n class="katex"> $>$ $>$ 而且<年代p一个n class="katex"> $<,$ $< ，$ 所以这些线应该是虚线。

第一个不平等<年代p一个n class="katex"> $x y > 3,$ $y > 3. x ，$ 所以阴影应该在直线上方。

第二个不平等<年代p一个n class="katex"> $< 2 x, y$ $y < 2 x ，$ 所以阴影应该在这条线下面。

因为这个系统是一个并集，所有阴影部分都是不等式的一部分。为了清晰起见，每个阴影区域应该是相同的颜色，阴影区域中的虚线应该是实线，以表明它们是解决方案的一部分。

阴影区域的每一点都有<年代p一个n class="katex"> $y > 3 x$ $y > 3. x$ 或<年代p一个n class="katex"> $y < 2 x。$ $y < 2 x ．$ $_ \广场$

拉托亚管理着一家生产即装家具的工厂。她正在计划如何把资源分配到生产办公桌的设备上。机<年代p一个n class="katex"> ${一}\文本$ $一个$ 每小时可以生产6张桌子，每小时的成本为100美元。机<年代p一个n class="katex"> $文本\ {B}$ $B$ 每小时可以生产10张桌子，每小时的成本为200美元。拉托娅这周有工人可以操作机器50个小时，她已经从预算中拨出8000美元来运行这些机器。做一个图表，展示她如何分配资源来生产桌子。

让<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ 是机器工作的小时数<年代p一个n class="katex"> ${一}\文本$ $一个$ 运行，然后让<年代p一个n class="katex"> $文本\ {B}$ $B$ 是机器工作的小时数<年代p一个n class="katex"> $文本\ {B}$ $B$ 运行。一个不等式系统可以用来描述如何使用这些机器的约束条件。

首先，描述机器如何受到时间的限制:

$A +b \le 50。$

然后，描述机器如何受到成本的限制:

$\begin{aligned} 100a+200b &\le 8000 \\ a+2b &\le 80。结束\{对齐}$

此外，机器运行时间不可能小于0小时:

$\begin{aligned} a &\ge 0 \\ b &\ge 0。结束\{对齐}$

让<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ 被画在<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ -轴和let<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ 被画在<年代p一个n class="katex"> $y$ $y$ 设在。解<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ 在每个不等式中除了<年代p一个n class="katex"> $通用电气\ 0$ $一个 \geq 0$ 给出了系统

$\ b开始{病例}\ le - + 50 \ \ b \ le - \压裂{1}{2}+ 40 \ \ \通用电气ge 0 \ \ b \ 0。\{病例}结束$

画出每条直线。

因为第一个不等式有<年代p一个n class="katex"> $<$ $<$ 符号，线条以下的阴影。

用同样的原则来掩盖所有其他的不等式。的<年代p一个n class="katex"> $A \ge 0$ $一个 \geq 0$ 不等式在右边有阴影，因为的值更大<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ 在图的更右边。

这将使整个图形处于阴影状态。然而，这个系统是一个十字路口，因为所有的不等式都必须满足。因此，所有的底纹都不在所有不平等现象必须消除。

剩下的阴影区域是不等式系统的解。在这个解决方案中，任何有序的配对都将给拉托娅一个可行的方法来计划她的设备的使用。您可能已经注意到，在这个分析中不包括所生产的办公桌数量。如果目标是发展一种最优产生办公桌的方法，那么一个人必须使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-programming/" class="wiki_link" title="线性规划" target="_blank">线性规划．<年代p一个n class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

下面的过程是可行的，因为每个不等式的线将坐标平面划分为区域。如果坐标平面上的一点满足系统，那么与该点在同一区域内的所有点也满足系统。

求解线性不等式系统:测试点法

画出每个不等式的直线。遵循与前面相同的虚线和实线约定。

对于这些线划分的每个区域，在该区域中选择一个点。通过代入来检验这一点<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ 而且<年代p一个n class="katex"> $y$ $y$ 每个不等式的值。

如果系统是a联盟，则测试点必须满足其中一个不等式。如果系统是十字路口，则它必须满足所有不等式。如果测试点满足系统，则用阴影表示测试点所在的区域。

擦掉所有不在解中的线和射线。

画出下列不等式方程组的解

$\begin{case}\begin{aligned} 2x+3y &\le 4 \\ x-4y &> 2。结束\{对齐}\{病例}结束$

注意，这个系统是一个十字路口．首先，画出每个不等式的直线。第一个不等式应该是实线，第二个不等式应该是虚线。这些线条将图形划分为4个区域。

从每个区域中选择一个点，并对其进行不等式测试:

$ccl \开始{数组}{}\盒装{1}:&(0,0)& \开始{病例}\开始{数组}{rlc} 2 (0) + 3 (0) le 4 & & \ \选择目录\ \ 0 - 4(0)& > 2 & \文本{x} \端数组{}\端{病例}\ \ \盒装{2}:&(2,1)& \开始{病例}\开始{数组}{rlc} 2(2) + 3(1)文本le 4 & & \ \ {x} \ \ 2 - 4(1) & > 2 & \文本{x} \端数组{}\端{病例}\ \ \盒装{3}:&(3 0)& \开始{病例}\开始{数组}{rlc} 2(3) + 3(0)文本le 4 & & \ \ {x} \ \ 3 - 4(0) & > 2 & \选中标记\端数组{}\端{病例}\ \ \盒装{4}:&(2, 1) & \开始{病例}\开始{数组}{rlc} 2 (2) + 3 (1) le 4 & & \ \选择目录\ \ 2 - 4(1)& > 2 & \选中标记\结束数组{}\{病例}\{数组}结束结束$

唯一一个同时满足两个不等式的点是区域4中的点。遮蔽此区域，并删除所有不在此区域的固体射线。

$_ \广场$

二元非线性不等式系统

许多适用于线性系统的相同原理也适用于非线性系统。如果<年代p一个n class="katex"> $y$ $y$ 变量可以孤立在不等式的一边，那么可以使用阴影上下法。否则，可以使用测试点方法。

一只狗被拴在篱笆上的柱子上。链条长度为20米。狗可以在链子允许的范围内漫步到院子里，但围栏在柱子两侧延伸超过20米。

让围栏位于<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ -轴，设杆位于原点上，设码位于<年代p一个n class="katex"> $1 ^ \文本{圣}$ $1^{圣}$ 而且<年代p一个n class="katex"> $2 ^ \文本{和}$ $2^{nd}$ 象限。写出并画出一个不等式系统，描述狗可能访问的位置。

由于围栏位于<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ -轴，狗只能向上移动<年代p一个n class="katex"> $y$ $y$ 它的方向，给出了不等式

$y > 0。$

的<年代p一个n class="katex"> $>$ $>$ 使用这个符号是因为狗被栅栏挡住了。

狗被铁链束缚着，铁链可以延伸成一个半径为20的圆。的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/conics-circle-standard-equation/" class="wiki_link" title="圆的方程" target="_blank">圆的方程是<年代p一个n class="katex"> $x ^ 2 + y ^ 2 = 400。$ $x^{2} + y^{2} ＝ 400 ．$ 为了证明狗可以移动到任何地方到这个圆的半径，这个方程转化为一个不等式:

$X ^2+y^2 \le 400。$

的<年代p一个n class="katex"> $\勒$ $\leq$ 使用符号是因为它给出了圆内或圆上的点的集合。

系统将被画成十字路口：

$\begin{cases}\begin{aligned} y &> 0 \\ x^2+y^2 &\le 400。结束\{对齐}\{病例}结束$

$_ \广场$

有关……

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