对称

对称描述对象的几个部分是相同的情况，因此可以翻转、旋转和/或移动对象，而不会最终改变对象的外观。对称是非常强大和美丽的解决问题的工具，它出现在任何地方:在艺术、建筑、自然和所有的数学领域!二维对称的三种基本形式是反射，旋转,翻译．在读完这一页之后，你将能够识别所有形式的二维对称。

事实上，很快你就不能这么做了停止看到对称!它无处不在，甚至在这一页的字母中。

以上是英语字母表中的几个字母，它们有不同的对称风格(旋转和两种不同的反射)。

我们将在下面详细探讨所有美丽的对称性。

旋转对称可以在自然、艺术、数学和实用的人造物体的一些最美丽的方面看到。在这里，我们将定义旋转对称，描述旋转对称的“顺序”，并讨论几个有趣的旋转对称例子。

旋转对称:如果一个物体在旋转了小于360度的特定旋转量后看起来没有变化，那么它就是旋转对称的。旋转的中心点叫做对称点的旋转。

让我们来看看字母表中的一些具有旋转对称的字母。

把你正在阅读的任何一本书倒过来(180度旋转)——许多字母，如S和Z将“不受影响”。

我们的下一步将是检查订单旋转对称的。让我们从旋转对称顺序的正式定义开始。

旋转对称的顺序

当一个物体具有旋转对称时订单这种对称性是指物体经过一定的旋转后，在不同的位置上看起来与原来完全相同的数量。

例如，看看下面的图表:

所以物体的旋转对称可以是2,3,4,5,6。，或任何其他整数 $n。$除了……我们是不是忘了提1阶旋转对称的例子了?不，我们没有，这是故意的。1阶的旋转对称是不存在的，因为如果一个形状在我们旋转的过程中只匹配自己一次(即它在一个完整的旋转之后才匹配自己)，那么就根本不存在对称。

世界上最高的摩天轮，也被称为伦敦眼，其旋转对称的顺序是多少?

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世界上最高的摩天轮伦敦眼旋转对称性为32阶。 $_ \广场$

下面所示的平行四边形所具有的旋转对称的阶数是多少?

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在平行四边形中，对边平行，对角线平分。

我们将平行四边形旋转 $90 ^ \保监会$每转一圈，直到转完一圈，然后看看有多少次它达到了原来的样子。

平行四边形在一次完整的旋转中得到了两次相同的效果，即一次后一次 $180 ^ \保监会$旋转和另一个 $360 ^ \保监会$旋转。所以平行四边形的旋转对称的阶也是2。 $_ \广场$

你能找出下面这朵美丽的花的旋转对称顺序吗?

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当整个循环旋转五次时，它看起来是一样的。因此，花的旋转对称顺序为5。 $_ \广场$

辉煌的标志拥有旋转对称吗?如果是，那么它的顺序是什么?

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让我们以曲线三角形为焦点。因为三角形的曲线不均匀，所以每边看起来都不一样。因此，Brilliant的标志不具有旋转对称。 $_ \广场$

我们已经讲了几个旋转对称的例子，下面是基于相同概念的一些问题:

我们已经讲了几个关于旋转对称的有趣场景。为了继续我们的旅程，现在我们将继续讨论反射对称和它出现的许多地方。我们将从定义反射对称开始。

反射对称:一个物体具有反射对称，如果存在一条线，物体可以被翻转(反射)，这样它在翻转前后看起来完全相同。物体翻转的这条线叫做对称轴(复数:对称轴)．

一个物体可以有0、1或多个对称轴。对称轴有时也被称为线的对称。

例如，字母A和M，每个都有一个垂直的对称轴，

字母E和K都有水平对称轴，

字母H和X有水平和垂直的对称轴。

我们如何知道某条线是否是物体的对称轴?这很简单:对称轴本质上就像一面镜子。如果我们放置一面镜子来代替轴，那么我们应该得到相同的形状。让我们看一个例子。

讨论等腰三角形的对称性。

等腰三角形

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我们可以看到，如果我们在中心画一条垂直线，那么三角形将被分成两个部分，这两个部分是彼此的反射。因此等腰三角形具有反射对称性。 $_ \广场$

注意:我们如何识别给定物体的对称轴?嗯，这是一种技能，它只会随着练习而变得更好!

许多几何图形都有一个或多个对称轴:正方形、矩形、抛物线、双曲线、圆、椭圆，等等(这样的例子不胜枚举!)但是很容易被诱惑去看到额外的对称轴。例如，这里有一个问题，如果不仔细考虑的话，大多数人都会犯错误!

矩形的对角线是对称轴吗?

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一个常见的误解是，把一个图形分成两个完全相等的部分的所有线都是对称的线。但情况并非总是如此!例如，一个(非正方形)矩形的对角线为不一条对称的线。 $_ \广场$

注意:如果你真的把一个矩形的左下半部分反射到对角线上，你形成的图形被称为风筝。

$\四\四$

这颗普通的五角星有多少条对称线?

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五角正星有五条对称线。我们可以在下面的图中清楚地看到它们。有一条对称线穿过恒星的5个点。 $_ \广场$

反射对称在自然界中非常普遍，这一令人惊讶的事实也促使我们热爱对称，我们可以从中获得乐趣。这里有一个有趣的事实:世界上99%以上的动物都具有反射对称，包括我们所熟悉的智人物种!

说明人体具有反射对称性。

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从外部看，人体朝前的角度乍一看似乎是对称的。我们可以在中心画一个垂直的对称轴。 $_ \广场$

你在上面看到的兰花的图像也具有反射对称性。

许多人造建筑也表现出反射对称。对称看起来很美，吸引眼球。难怪这么多著名的建筑都是对称的。让我们通过以下例子来环游世界:

世界七大奇迹之一:泰姬陵

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美丽的阿德莱德工作室

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马来西亚国家石油公司双塔

这里有几个问题让你自己尝试，这将检验你对对称轴的理解。

我们现在可以很容易地找出一个物体或图形的对称性。让我们做一个例子和一个问题来抓住我们对对称线数量的理解。

梅赛德斯-奔驰的标志有多少条对称线?

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试着数一下对称线的数量不看圆．如果圆不在那里，我们只是从一个点延伸出三条线，我们很容易就能算出来 $3.$线的对称。 $_ \广场$

考虑一个正则 $n$百分度, $n$是偶数。这个形状有多少条对称线?

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将有几个不同的行来计数:

• 已经有 $\压裂{n} {2}$对称的线条，每一条都从一边穿过，从另一边离开。为了不重复计算，我们把边数除以 $2$．

• 我们将也有另一个 $\压裂{n} {2}$每条线都穿过一个 $n$-gon的角和从对面离开。

因此,一个 $n$-gon加一个偶 $n$有 $n$反射对称的线条。 $_ \广场$

令人惊奇的事实是，雪花也具有对称性。让我们通过例子和问题来进一步熟悉雪花。

讨论雪花的对称性。

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所有的雪花都有6阶的旋转对称。雪花是对称的，因为它们反映了水分子在固态(结晶过程)中排列自己的内部顺序。固态的水分子，如冰和雪中的水分子，彼此之间形成弱键(称为氢键)。这些有序的排列形成了雪花基本对称的六角形。 $_ \广场$

哇!通过上面的章节，我们发现我们被对称的物体包围着，甚至还有很多活的物体!我们还有另一种对称性要讨论:平移对称．让我们从平动对称的定义开始，然后我们将继续将对称可视化，并玩它。

平移对称:平移对称是指一个图案在按特定方向移动(“平移”)特定距离之前和之后看起来相同。具有平移对称的图案看起来就像有人用戳戳创造出来的，在平面上直线移动，并在移动时按规则间隔戳戳。举例如下:

$\large \color{#20A900}{\text{这个wiki页面真是太棒了!}}$

$\large \quad \quad \quad \color{#20A900}{\text{这个wiki页面真是太棒了!}}$

$\大\四\四\四\四\四\四\四\颜色{#20A900}{\文本{这个wiki页面真是太棒了!}}$

如果一个物体或图案可以向某个方向滑动，并在运动结束时最终保持不变，那么它就具有平移对称。例如，一个无限连续的椭圆系列(.........)具有平移对称。

让我们来做一些关于平移对称的有趣的例子，并享受探索的乐趣。

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的图像 ${有限公司}_2 \文本$PPM(百万分率)具有平移对称性，正如你在上图中所看到的。其原因如下:

二氧化碳 $(\文本{有限公司}_2)$是一种重要的吸热(温室)气体，通过砍伐森林和燃烧化石燃料等人类活动以及呼吸和火山喷发等自然过程释放。

季节循环是由于北半球的广大陆地，其中包含了大多数陆基植被。其结果是，在北方春夏植物吸收二氧化碳的时候，大气中的二氧化碳含量会下降 ${有限公司}_2 \文本$这是光合作用的一部分。相反，在北方的秋冬季节，大气中的二氧化碳含量会增加。每年在寒冷月份的峰值发生在一年生植物死亡、树叶掉落和分解，从而将碳释放回空气中。

有几种人造物体具有平移对称。这里我们列出了其中的一些，但你可以自由地探索具有平移对称的物体，并与它们一起享受乐趣。

路灯

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火车轨道

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设计壁纸

这是跨界对称的一个特例:平移和反射之间的组合称为滑移反射．

滑动反射:滑翔反射是两种转换的组合:一条直线上的反射，然后是与直线相同方向上的平移。

只有无限条才能具有平移对称或滑动反射对称。对于平移对称，你可以将整个条带滑动一段距离，然后图案就会落回到自己身上。对于滑动反射对称，你可以在一些线上反射图案，然后沿着那条线的方向滑动，它看起来没有变化。而且这种模式必须在两个方向上永远持续下去。

示例如下:

主要文章:弗里兹模式

我们已经逐一介绍了所有的对称类型，现在让我们在同一个问题中应用不同类型的对称!

让我们从一些有趣的例子开始，这些例子使用了反射对称和旋转对称，但没有平移对称。

m·c·埃舍尔

在结束这一页时，我们将提到一位惊人的艺术家，他花了大量的时间探索对称性，创造了令人惊叹的设计，结合了对数学的高级理解与令人敬畏的创造力!

m·c·埃舍尔是一位荷兰数学家，他把一生的大部分时间都奉献给了数学研究镶嵌．他创作了通过几何和图案展示数学之美的图画。

非周期彭罗斯拼图

彭罗斯瓷砖是由一组非周期的原始瓷砖生成的非周期瓷砖，以数学家和物理学家罗杰·彭罗斯的名字命名，他在20世纪70年代研究了这些瓷砖。彭罗斯瓷砖的非周期性意味着没有平移对称，也就是说，一个移位的复制品永远不会与原件匹配。彭罗斯瓷砖可以用这两个反射对称和5阶旋转对称，如下例所示。

讨论圆的不同对称性。

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反射对称:在一个圆中有无数条反射对称线。
旋转对称:旋转对称也有无限的阶数，因为你可以任意转动一个圆，它不会改变。 $_ \广场$

再做一个问题，我们就完成了这一页的所有目标。我们开始吧:

一个人在图的上半部分画了3个小三角形 $颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本$．然后他在每一半画了5个三角形 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$，每一半剩下8个 $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$．当上半部分折叠到中线以上，2对 $颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本$三角形重合，三对 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$三角形。还有2种 $颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本$- $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$对。

有多少 $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$对一致吗?

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每一半有16个小三角形，每一半有3个 $颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本$三角形,5 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$三角形,和8 $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$三角形。还有2双 $颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本$三角形,所以2 $颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本$每边都用了三角形，剩下1 $颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本$三角形,5 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$三角形,和8 $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$三角形保留在每一半上。还有，有3对 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$三角形,使用3 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$每边都是三角形，所以是1 $颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本$三角形,2 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$三角形,和8 $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$三角形保留在每一半上。还有2 $颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本$- $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$对。这显然不能用2 $颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本$一边是三角形，因为每边只有1个三角形，所以我们必须用1个 $颜色\ {# 3 d99f6}{蓝}}{\文本$三角形和1 $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$每边都是三角形，剩下2 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$三角形和7 $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$三角形。剩下的 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$三角形不能与其他三角形匹配 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$三角形，因为这意味着有超过3个 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$对，剩下的 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$三角形必须与 $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$三角形,收益率为4 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$- $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$两人一组，剩下的一人一组 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$三角形。这个使用2 $颜色\ {# 20 a900}{绿}}{\文本$三角形和2 $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$每边都是三角形，剩下5个 $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$每个三角形，必须相互配对，所以有5个 $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$- $颜色\ {darkorange}{\文本{橙色}}$对。 $_ \广场$

让我们通过解决以下问题来完成这一页的目标: