对称
对称描述当物体的几个部分是相同的时,使得可以翻转,旋转和/或移动物体而不最终改变它的样子。对称性是极其强大而美丽的解决问题的工具,它似乎到处都是:在艺术,建筑,性质和数学的所有领域!三种基本类型的二维对称性是反射,旋转,翻译. 在愉快地阅读本页之后,您将能够识别所有形式的二维对称。
事实上,很快你就不能停止看到对称!它无处不在,甚至在这一页的信件中。
以上是英语字母表中的几个字母,它们有不同的对称风格(一个旋转和两个不同的反射)。
我们将在下面详细探讨所有美丽的对称类型。
旋转
在自然,艺术,数学和实用,人造物体的一些最美丽的方面,可以看到旋转对称。这里,我们将定义旋转对称性,描述旋转对称可以具有的“订单”,并讨论旋转对称的几个有趣示例。
旋转对称:一个物体具有旋转对称,如果它在被旋转(旋转)某一特定的量后看起来没有变化,小于360度的旋转。自旋的中心点叫做对称点旋转的方向。
让我们来看看具有旋转对称的字母表中的一些字母。
把你正在阅读的任何一本书翻过来(180度旋转)——像S和Z这样的许多字母都会“不受影响”
我们的下一步将是检查秩序一个物体的旋转对称。让我们从旋转对称顺序的正式定义开始。
旋转对称阶
当对象具有旋转对称性时秩序这种对称性的一个重要特征是,经过一定的精确旋转后,物体在不同的位置上看起来与原来完全一样。
例如,请看下面的图表:
所以物体的旋转对称性可以是2,3,4,5,6,…,或任何其他整数 除了我们忘了提到一阶旋转对称的例子了吗?不,我们没有,这是故意的。1阶的旋转对称性并不存在,因为如果一个形状在我们旋转时只匹配自身一次(即,它在一次完全旋转后匹配自身),那么实际上根本就没有对称性。
世界上最高的摩天轮,也被称为伦敦眼,其旋转对称的顺序是什么?
世界上最高的摩天轮伦敦眼具有32阶旋转对称性。
下图所示平行四边形的旋转对称顺序是什么?
在平行四边形中,相对侧是平行的,并且其对角线彼此分开。
我们将把平行四边形旋转 在每一个连续的旋转中,直到一个完整的旋转,然后看看有多少次它达到了与原始旋转相同的外观。
平行四边形在一次完整旋转中两次获得相同的外观,即一次又一次 旋转和之后的 轮换。所以平行四边形的旋转对称度也是2。
你能找到下图中美丽花朵的旋转对称顺序吗?
在完整的周期旋转时,它看起来相同的五次。因此,花的旋转对称顺序为5。
Brilliant的logo是否具有旋转对称?如果是,那么它的顺序是什么?
以曲线三角形为焦点。因为三角形的曲线是不均匀的,所以每一边看起来都不一样。因此,Brilliant的标志不具有旋转对称。
我们已经讲了几个旋转对称的例子,下面是基于相同概念的一些问题:
反射
我们已经讨论了几个有趣的关于旋转对称的场景。为了继续我们的旅程,现在我们将继续讨论反射对称和它出现的许多地方。我们将从定义反射对称开始。
反射对称性:如果存在对象可以翻转(反射)的线,则对象具有反射对称性,使得它在翻盖之前和之后完全相同。对象翻转跨越的行被称为对称轴(多个:对称轴).
一个物体可以有0,1或多个对称轴。对称轴有时也叫a线的对称。
例如,字母A和M各有一个垂直对称轴,
字母E和K都有水平对称轴,
字母H和X有水平和垂直的对称轴。
我们如何知道某条线是否是物体的对称轴呢?这很简单:对称轴本质上就像一面镜子。在轴的位置,如果我们放置一个镜子,我们应该得到相同的形状。让我们来看一个例子。
讨论等腰三角形的对称性。
我们看到,如果我们在中心画一条垂直线,那么三角形将被分成两部分,这两部分是彼此的反射。因此等腰三角形具有反射对称性。
注意:我们如何识别给定对象中的对称轴?好吧,这是一项技能,它只通过练习变得更好!
许多几何图形都有一个或多个对称轴:正方形、矩形、抛物线、双曲线、圆、椭圆等(列表无限!)但是很容易被诱惑去看到额外的对称轴。例如,这里有一个问题,大多数人如果不仔细考虑就会出错!
矩形的对角线是对称轴吗?
一个常见的误解是,所有将一个图形分成两个相等部分的线都是对称线。事实并非总是如此!例如,(非正方形)矩形的对角线为不对称的线条
注意:如果你在对角线上反射一个矩形的左下角,你形成的图形就叫做风筝。
这个规则的五角星有多少条对称线?
五角星有5条对称线。我们可以在下图中清楚地看到它们。有一条对称线穿过这颗星的5个点。
令人惊讶的事实是,反射对称在自然界也是丰富的,这迫使我们热爱对称,我们可以享受它的乐趣。这里有一个有趣的事实:世界上99%以上的动物都有反射对称,包括我们熟悉的智人物种!
表明人体具有反射对称性。
从外侧,首先瞄准前方角度的人体似乎是对称的。我们可以在中心绘制一个垂直的对称轴。
你在上面看到的兰花的图像也具有反射对称。
许多人造建筑也表现出反射对称。对称看起来很漂亮,也很吸引人的眼睛。难怪那么多著名的建筑都是对称的。让我们通过以下例子来环游世界:
世界七大奇迹之一:泰姬陵
美丽的阿德莱德工作室
这里有几个问题供你自己尝试,可以检验你对对称轴的理解。
现在我们可以很容易地计算出物体或图形中的对称性。让我们通过一个例子和一个问题来理解对称线的数量。
梅赛德斯-奔驰的标志有多少条对称的线条?
尝试计算对称线的数量不看圆.如果圆不在这里,我们有三条线从一点延伸,我们可以很容易地算出来 对称线。
考虑一个正则 百分度, 为偶数。这个形状有多少对称线?
将有几个不同的行要计数:
已经有了 对称的线条,每一条都穿过一边,从另一边离开。为了不重复计算,我们用边数除以 .
我们将还有另一个 线,每个人都经过其中一个 -gon的角和从相反的离开。
因此 -偶数 有 反射对称的线条。
惊人的事实是雪花太具了对称性。让我们通过例子和问题更熟悉雪花。
讨论雪花的对称性。
所有雪花都具有6级旋转对称。雪花是对称的,因为它们反映了水分子在固态(结晶过程)中排列的内部顺序。固态的水分子,比如冰和雪中的水分子,彼此之间会形成弱键(称为氢键)。这些有序的排列形成了基本对称的六角形雪花。
翻译
哇!通过上面的部分,我们发现我们被对称的物体包围着,甚至是许多活的!我们还需要进一步讨论一种对称性:平移对称.让我们从平动对称的定义开始,然后我们将继续把对称形象化并对其进行处理。
平移对称性:平移对称是指图案在某一特定方向移动(“平移”)某一特定距离之前和之后看起来相同。具有平移对称的图案看起来就像是由一个有印记的人创造的,在表面上沿着直线移动,并在移动时以一定的间隔进行印记。一个例子如下:
如果一个物体或图案可以向某个方向滑动,并最终在运动结束时保持不变,那么这个物体或图案就具有平移对称。例如,无限连续的椭圆序列(.........)具有平移对称。
让我们用翻译对称锻炼一些有趣的例子,并享受探索它们的乐趣。
的图像 在PPM(百万分之一)中具有平移对称,如上图所示。原因如下:
二氧化碳 是一个重要的热捕集(温室)气体,其通过人类活动释放,例如森林砍伐和燃烧化石燃料,以及呼吸和火山爆发等自然过程。
季节性循环是由于北半球广阔的陆地,其中包含了大部分陆地植被。其结果是,在北方春季和夏季,当植物吸收二氧化碳时,大气中的二氧化碳会减少 作为光合作用的一部分。随着北半球秋冬季节大气中二氧化碳的增加,这种模式发生了逆转。在寒冷的月份里,每年的碳峰值出现在每年的植被死亡和树叶掉落和分解时,这将把它们的碳释放回空气中。
有几种人造物体具有平移对称。这里我们列出了其中的一些,但你可以自由地探索具有平移对称的物体,并从中获得乐趣。
路灯
火车轨道
设计壁纸
这里有一个跨国对称的特殊情况:在平移和反射之间的组合称为滑移反射.
滑动反射:滑动反射是两个变换的组合:在一条线上的反射后跟与线相同的平移。
只有无限条才能具有平移对称或滑动反射对称。对于平移对称,你可以将整条带子滑动一段距离,图案就会落在自己身上。对于滑动反射对称,你可以在某条线上反射图案,然后沿着这条线的方向滑动,它看起来没有变化。而且模式必须在两个方向上永远持续下去。
例如,请参见以下内容:
主要文章:弗里兹模式
结合对称
我们已经逐一讨论了所有的对称类型,现在让我们在同一个问题中应用不同类型的对称!
让我们首先通过一些使用反射和旋转对称的一些有趣的例子,但没有翻译对称。
m·c·埃舍尔
在本页的结尾,我们将提到一位了不起的艺术家,他花了一生的大部分时间探索对称性,并创造了惊人的设计,将对数学的高级理解与令人敬畏的创造力结合起来!
M. C. eScher是一位荷兰数学家,他们致力于研究数学的大部分时间镶嵌.他创作的绘画通过几何和图案展示了数学之美。
非周期彭罗斯拼图
彭罗斯瓷砖是由一组非周期原始瓷砖产生的非周期瓷砖,以数学家和物理学家罗杰·彭罗斯的名字命名,他在20世纪70年代研究了这些瓷砖。彭罗斯瓷砖的非周期性意味着没有平移对称,即一个移动的副本将永远不会匹配原始。一个彭罗斯瓷砖可以用两个都5阶反射对称和旋转对称,如下例所示。
讨论圆的不同对称性。
反射对称性:在一个圆中有无数条反射对称线。
旋转对称:旋转对称的数量级也是无限的,因为你可以将一个圆旋转任意大小,它将保持不变。
只要一个问题,我们将完成我们所有的目标,通过这一页。我们开始吧:
一个人在图的上半部分画3个小三角形 .然后他在每一半上画了5个三角形 ,每一半留8 .当上半部分折叠在中线上,2对 三角形和三对三角形一样重合 三角形。还有两个 - 对。
有多少 对一致?
每一半有16个小三角形,每一半有3个小三角形 三角形,5 三角形和8 三角形。还有两个pairs of 三角形,所以2 每边使用三角形,剩下1 三角形,5 三角形和8 一半剩下的三角形。此外,有3对 三角形,使用3 每边都有三角形,所以有1个 三角形,2 三角形和8 每一半上剩余的三角形。还有,我们有两个 - 对。这显然不能使用2 一边是三角形,因为每一边只有1,所以我们必须用1 三角形和1 每边是三角形,剩下2 三角形和7 三角形。剩下的 三角形不能与其他三角形相匹配 三角形表示多于3个 所以剩下的 三角形必须与 三角形,产生4 - 对,每个剩余的对 三角形。这个使用2 三角形和2 两边各有一个三角形,剩下5个 每个三角形必须成对,因此有5个 - 对。
让我们通过解决以下问题来完成这个页面的目标: