三角图的对称性gydF4y2Ba

三角函数cos, sin和tan满足的几个性质gydF4y2Ba对称gydF4y2Ba这对理解和计算这些函数很有用。gydF4y2Ba

余弦函数和正弦函数满足以下对称性:gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始cos(- \θ)& = \ cosθ)(\ \ \ \罪(- \θ)& = - \ sinθ(\)。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

根据单位圆上cos和sin的定义，gydF4y2Ba

$X = \cos \theta \quad \text{and} \quad y= \sin \theta。gydF4y2Ba$

两者都是如此gydF4y2Ba $\θgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $- - - - - - \θgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$保持不变。因此,gydF4y2Ba $\cos \theta=\cos (-\theta)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

类似地，我们可以看到gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$在两种情况下互为加逆。因此,gydF4y2Ba $\罪罪(- \θ)= - \ \θ。\ _ \广场gydF4y2Ba$

现在我们有了上面的恒等式，我们可以证明其他几个恒等式，如下面的例子所示。gydF4y2Ba

证明同一性gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ tan(- \θ)& = - \ tan(θ)\ \ \ \床(- \θ)& = - \床(θ)\ \ \ \ csc(- \θ)& = - csc(θ)\ \ \ \ \秒(- \θ)& = \秒θ(\)。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

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我们有gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ tan(- \θ)& = \压裂{\罪(- \θ)}{\ cos(- \θ)}= \压裂{- \ sinθ(\)}{\ cosθ(\)}= - \ tan(θ)\ \ \ \床(- \θ)& = \压裂{1}{\ tan(- \θ)}= \压裂{1}{- \ tan(\θ)}= - \床(θ)\ \ \ \ csc(- \θ)& = \压裂{1}{\罪(- \θ)}= \压裂{1}{- \ sinθ(\)}= - cscθ)(\ \ \ \ \秒(- \θ)& = \压裂{1}{\ cos(- \θ)}= \压裂{1}{\ cosθ(\)}= \交会θ(\)。\ _\方形\端{对齐}gydF4y2Ba$

利用上面的对称性，我们可以证明正弦和余弦是特殊类型的函数。gydF4y2Ba

一个函数gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba偶函数gydF4y2Ba当且仅当对于所有的实值gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $f (- x) = f (x)gydF4y2Ba$．换句话说，这个图是对称的gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$设在。gydF4y2Ba

一个函数gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba奇函数gydF4y2Ba当且仅当对于所有的实值gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $f (- x) = - f (x)gydF4y2Ba$．换句话说，这个图关于原点是对称的。gydF4y2Ba
同时,gydF4y2Ba $f (0) = - f(0) \意味着f (0) = 0gydF4y2Ba$．也就是说，奇函数必须经过原点。gydF4y2Ba

根据这个定义，余弦函数是gydF4y2Ba偶函数gydF4y2Basin函数是angydF4y2Ba奇函数gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

这两个角之间多么对称啊gydF4y2Ba $\θgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $(\theta + \pi)?gydF4y2Ba$如果我们代入一些值gydF4y2Ba $\θgydF4y2Ba$，基本三角函数是如何变化的?gydF4y2Ba

根据对称的性质，我们可以写gydF4y2Ba $\sin (\theta + \pi)gydF4y2Ba$在这方面gydF4y2Ba $\ sinθ(\)gydF4y2Ba$如下:gydF4y2Ba

$\ sinθ+(\ \π)= - \ sinθ(\)。gydF4y2Ba$

类似地，我们可以写gydF4y2Ba $\cos (\theta + \pi)gydF4y2Ba$在这方面gydF4y2Ba $\ cosθ(\)gydF4y2Ba$如下:gydF4y2Ba

$\ cosθ+(\ \π)= - \ cosθ(\)。gydF4y2Ba$

确定函数是否gydF4y2Ba

$F (x) = \tan²(x) + \cos(x)gydF4y2Ba$

是奇函数，偶函数，或者都不是。gydF4y2Ba

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函数满足gydF4y2Ba

$f (- x) = \ tan ^ 2 (- x) + \ cos (- x) = \ tan ^ 2 (x) + \ cos (x) = f (x)gydF4y2Ba$

自gydF4y2Ba $\ cos (x)gydF4y2Ba$是偶函数。因此,gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$是偶函数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

找到两者之间的关系gydF4y2Ba $\tan (\theta + \pi)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\tan (\theta)。gydF4y2Ba$

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解决方案1:gydF4y2Ba我们有gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ tan(\θ+ \π)& = \压裂{\罪(\θ+ \π)}{\ cosθ+(\ \π ) } \\ &= \ 压裂{- \ sinθ(\)}{- \ cosθ)(\}\ \ & = \压裂{\ sinθ(\)}{\ cosθ)(\}\ \ & = \ tan(\θ)。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

因此,gydF4y2Ba $\tan (\theta + \pi) = \tan (\theta)。gydF4y2Ba$

解决方案2:gydF4y2Ba我们有gydF4y2Ba

$\ tan (x + \π)= \压裂{\ tan (x) + \ tan(\π)}{1 - \ tan (x) \ tan(\π)}= \压裂{\ tan (x) + 0} {1 - \ tan (x) \ cdot 0} = \ tan (x)。gydF4y2Ba$

这表明正切函数的周期是最大的gydF4y2Ba $\πgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

因为余弦函数满足gydF4y2Ba $\cos(-\theta) = \cos(\theta)gydF4y2Ba$，函数的图形gydF4y2Ba $\ cos (x)gydF4y2Ba$是对称的gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$设在。图的对称性满足于什么gydF4y2Ba $\ sin (x) ?gydF4y2Ba$

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因为函数gydF4y2Ba $\ sin (x)gydF4y2Ba$满足gydF4y2Ba $\sin(-x) = \sin(x)gydF4y2Ba$，的图形gydF4y2Ba $\ sin (x)gydF4y2Ba$是关于原点对称的。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

一般来说，对于任何偶函数gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$的图像gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$是对称的gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$设在;对于任何奇函数gydF4y2Ba $g (x)gydF4y2Ba$，的图形gydF4y2Ba $g (x)gydF4y2Ba$是关于原点对称的。gydF4y2Ba

看到gydF4y2Ba正弦和余弦图gydF4y2Ba关于正弦和余弦图的更多性质。gydF4y2Ba