考虑下面的图表:三角形
A.BC内接在有中心的圆上
O.
A.D和
A.M分别是三角形的对称和中值
(点
D在圆圈上
).
A.D交叉
BC在
N.让
BC=A.,CA.=B,A.B=C.
目标是计算
NB,NC,A.D,和
A.N.
算计
NB和
NC,我们可以使用这个结果:
让
A.BC是一个三角形。
M,N要点在哪里
BC以致
∠BA.N=∠CA.M. 然后
NCNB×MCMB=(A.C)2.(A.B)2..
从
C,画一条与…平行的线
A.B,与之相交
A.M,A.N在
E,F分别地然后
∠CA.M=∠BA.N=∠CFA.,这给了我们一个三角形
CEA.和三角形
CA.F⟹CE×CF=(CA.)2..
根据截距定理,
NCNB=CFA.B和
MCMB=CEA.B. 将它们相乘,我们得到
NCNB×MCMB=CE×CFA.B2.=A.C2.A.B2..□
如果
A.N,A.M是三角形的对称线和中线吗
A.BC然后分别
∠BA.N=∠CA.M. 利用上述结果,我们得到
NCNB×MCMB=B2.C2..但是
MCMB=1.,因此等式变为
NCNB=B2.C2..
我们把方程写成
C2.NB=B2.NC=B2.+C2.A.. 因此,,
NB=B2.+C2.A.C2.,NC=B2.+C2.A.B2..
现在,来计算一下
A.D,三角形
A.BD和三角形
A.MC他们都很相似,所以
A.MC=BA.D,这给了
A.D=A.MBC.
但是,
A.M=2.2.(B2.+C2.)−A.2.
(见质心),方程式变为
A.D=2.(B2.+C2.)−A.2.
2.BC.
最后一件事是计算
A.N.让
A.N=x,然后
DN=A.D−x. 所以
NA.×ND=NB×NC(点的力量N)⟹x(A.D−x)=NB×NC.
解这个二次方程,我们有
A.N=x=2.A.D+A.D2.−4.NB×NC
.