球面的表面积
球体是一个完美的圆形几何三维物体。它可以被描述为位于距离上的所有点的集合 (半径)离某点(中心)的距离。它是完全对称的,没有边和顶点。
有半径的球 有一个体积 和一个表面积的 .
球体有几个有趣的特性,其中之一就是在所有表面积相同的形状中,球体的体积最大。
证明
证明半径为的球面的表面积 是 ,我们可以使用的一个简单的方法是微积分。我们首先要意识到对于一个参数化的曲线 而且 ),弧长是
由此我们可以推导出固体的表面积的公式 设在。结果是
我们绕椭圆旋转半个圆就可以得到一个球体 设在。这个圆可以参数化为 而且 为 .由此,我们得到
将表面积代入方程,得到
阿基米德帽盒定理
阿基米德帽盒定理
阿基米德帽盒定理指出,对于任何一个球截面,它的横面将等于与该截面高度和球半径相同的圆柱体的横面。
让我们回忆一下上次的证明部分。旋转后的半圆 -轴,我们将得到一个球体的表面积,如果我们只切割一个部分的平行基,新的表面积将显示在下图中:
从图像上看,截面的侧表面积为浅蓝色,有两个不同半径的圆形底座。为了更好地可视化section的高度,这个section将被旋转90度,如下图所示:
在这个截面内,有两个可变角, 而且 ,它们作为切割截面的整体边界出现。
从证明的结论,截面的表面积 可计算为
考虑有半径的直角三角形 (粗红色)在图像中,很明显 是两边的斜边。因此,垂直边可计算为 而且 分别对左三角形和右三角形。
因此,截面的高度为 .
把这一项代入上一方程,得到
显然,这是圆柱体带半径的侧面的公式 和高度 !
这意味着球截面的外侧表面积等于有半径的圆柱体的外侧表面积 和高度 如图所示,这适用于球体的任何层面。
实践问题
半径为3的球的表面积是多少?
表面积是 .
如果球体的体积是 球面的表面积是多少?
观察球体的体积可以改写为 那么,由于有半径的球的体积 是 由此可知,本题中球的半径为 因此,它的表面积是
球体的体积增长了8倍。那么在这段时间内,表面积增长了多少倍?
观察球体的体积是 这意味着它与 这是 .那么8倍球体体积的增长意味着2倍球体半径的增长。那么,由于球面的表面积是 球体的表面积增加了 次了。
你有一个西瓜的体积是 如果你把西瓜切成两半,一半西瓜的表面积是多少?(假设西瓜是一个完美的球体。)
从这个公式 对于有半径的球的体积 你知道西瓜的半径是 既然你把西瓜切成两半,你可能会认为半个西瓜的表面积正好是整个西瓜表面积的一半。然而,这种想法是错误的。
如上图所示,按横截面的面积计算,半个西瓜的表面积比半个西瓜的表面积大 因此,半个西瓜的表面积是 自 一个圆的半径是否等于西瓜的半径,我们的答案是