子空间

一个子空间是一个向量空间这是完全包含在另一个向量空间．定义一个子空间相对对于它所包含的空间，两者都是充分定义一个的必要条件;例如, $R \ mathbb {} ^ 2$的子空间 $R \ mathbb {} ^ 3$，但也是 $R \ mathbb {} ^ 4$， $C \ mathbb {} ^ 2$等。

子空间的概念贯穿始终抽象代数；例如，许多常见的例子向量空间的子空间 $R \ mathbb {} ^ n$．子空间在分析的性质时也很有用线性变换如在研究中基本的子空间和线性代数基本定理．

让 $V$是一个向量空间． $W$据说是一个子空间的 $V$如果 $W$的子集 $V$并持有以下观点:

• 如果 $w_1, w_2 \在W里$,然后 $w_1 + w_2 \in W$
• 对于任何标量 $c$(如一个实数),如果 $w \in w$然后 $cw \in W$．

可以证明，这两个条件是充分保证的 $W$它本身是一个向量空间，因为它继承了在 $V$这样就满足了向量空间上剩下的条件。

所有向量空间至少有两个子空间:完全由0向量组成的子空间和“子空间”。 $V$本身。这些被称为微不足道的子空间很少有独立的意义。

生成子空间的最简单方法是通过某种规则限制给定的向量空间。例如，考虑集合 $W$复向量 $v \ mathbf {}$这样

$\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix} \cdot \mathbf{v} = 0$

当然，这套 $v \ mathbf {}$的子集 $C \ mathbb {} ^ 3$，由“复向量”的定义。因此，如果可以证明这实际上是一个向量空间，一个子空间 $C \ mathbb {} ^ 3$就会成立。

为了说明这一点，必须验证前一节中的两个条件。但幸运的是，这很简单:

如果 $\mathbf{w_1}， \mathbf{w_2} \in W$,然后 $\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix} \cdot \mathbf{w_1} = 0， \begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix} \cdot \mathbf{w_2} = 0$通过定义。因此 $开始\ {pmatrix} 2 \ \ 3 \ \ 4 \ {pmatrix}结束\ cdot (\ mathbf {w_1 + w_2}) = 0$所以 $w_1 + w_2 \in W$．

类似地,如果 $\mathbf{w} \在w中$而且 $c \in \mathbb{c}$,然后 $\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix} \cdot \mathbf{w} = 0 \表示\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix} \cdot (\mathbf{cw}) = 0$所以 $cw \in W$根据需要。

因此 $W$的子空间 $V$．

然而，并非所有子集都构成子空间。例如，考虑集合 $W$复向量 $\mathbf{v} \在\mathbb{C}^3$令人满意的

$\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix} \mathbf{v} = 12$

这不是子空间因为任何子空间都必须继承父空间的零向量，但是 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \not\in W$．从上述条件也可以看出:

$\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\0\ 0\end{pmatrix} = 12 \表示W中的\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix} \$ $\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix} = 12 \表示W中的\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix} \$但 $\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\ 0\ 3\end{pmatrix} 6\\0\\ 3\end{pmatrix}$不在 $W$．

主要文章:基本的子空间

也有几个给定矩阵的基本子空间 $一个$:列空间(类似地，还有行空间)及零空间．

的列空间定义为向量空间谁的基础的列组成 $一个$．这显然是一个向量空间，因为它的基是明确定义的，但有可能这个基是多余的(包含线性相关的向量)。在这种情况下，可以分配一个较小的基，并且维最小的基被称为排名的 $一个$．一个著名的定理，它是线性代数基本定理——声明列空间的维数与行空间的维数相同(行空间类似地定义为向量空间，其基由的行组成 $一个$）.

的零空间(或内核)定义为向量的集合 $v \ mathbf {}$的 $一个\ mathbf {v} = 0$．与列空间不同的是，这并不能立即表明它形成了一个向量空间，但它可以直接表明:

如果 $\mathbf{v_1}， \mathbf{v_2} \in N$( $N$的零空间是 $一个$),然后 $A\mathbf{v_1} = A\mathbf{v_2} = 0$通过定义。然后 $一个(\ mathbf {v_1} + \ mathbf {v_2}) = A \ mathbf {v_1} + \ mathbf {v_2} = 0$所以 $\mathbf{v_1} + \mathbf{v_2} \in N$．

同样的, $\mathbf{v} \in N \表示A\mathbf{v} = 0 \表示A(c \mathbf{v}) = c \cdot 0 = 0$,所以 $c\mathbf{v} \in N$对于任意标量 $c$．

这就证明了零空间也是向量空间。

实际上，列空间和零空间是由矩阵复杂地连接起来的rank-nullity定理，这又是线性代数基本定理．

• 向量空间
• 基本的子空间
• 基与维数(线性代数)
• 内核(零空间)
• 行和列空间