子序列

一个子序列的一个序列 $\ {an \} _ {n = 0} ^ {\ infty}$是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/terminology-of-sequences-and-series/" class="wiki_link" title="序列" target="_blank">序列的元素删除后形成的 $an$生产一种新的 $an$．这个子序列通常写成 $现代{n_k}$,在那里 $\ {n_k \} _ {k = 0} ^ {\ infty}$是一个递增的正整数序列。

由于子序列的所有项也是原序列的项，子序列的性质与原序列的性质紧密相关，因此，一个子序列的大量信息可以通过研究另一个子序列来确定。序列是分析中最重要的对象，但它们可能很难处理，而它们较简单的子序列为理解它们提供了有用的工具。

序列的收敛性可以用它的子序列的收敛性来表示。

一个数列收敛于极限 $x$当且仅当每个子序列也收敛于极限 $x$．

对于一个方向，假设 $an \ x$，并考虑一些后续 $现代{n_k}$．因为 $an \ x$,每 $\ε> 0$,有 $N > 0$这样 $n > n \意味着| a_n-x | < \ε。$然后,对于 $现代{n_k}$，肯定有一些 $K$这样 $k > k \意味着n_k > N,$因为 $n_k$正在增加。但是,如果 $n_k > N,$然后 $|现代{n_k} - x | < \ε,$所以 $现代{n_k} \ x$也因此，任何子序列也是收敛的。

对于另一个方向，假设每个子序列 $现代{n_k}$收敛，为了矛盾，假设 $an$不收敛。然后,对于每一个 $我> 0$，有任意大的 $an$这样 $| a_n-x | > \ frac1i$(如果这不是真的，那么序列将收敛)。然后,把 $an$满足每一个 $我$，选择它们是递增的，给出一个不收敛的子序列;矛盾。 $_ \广场$

的序列 $an = \压裂{1}{3 n + 1}$收敛吗?

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是的。这是收敛序列的子序列 $an = \压裂{1}{n}$，所以它必须收敛。 $_ \广场$

关于序列子序列收敛的一个非常重要的定理 $R \ mathbb {}$就是波尔扎诺-维尔斯特拉斯定理。

每个有界序列 $R \ mathbb {}$有一个收敛的子序列。

我们说，每个序列 $R \ mathbb {}$有一个单调子序列。因为每个有界单调序列都是收敛的，所以结果如下。

考虑一个序列 $an$，并叫一个术语 $a_k$一个峰值，如果它大于序列中的每一个后续项。现在，如果一个序列有无穷多个峰值，对应于峰值的子序列是单调递减的。如果只有有限的多个峰，则设最后一个峰在 $N$．然后, $N + 1$Term不是峰值，所以后面还有一个大于它的项。这一项也不是峰值，所以后面还有一项比它大。用这种方法可以构造一个单调递增的子序列。

无论哪种方法，序列都有一个单调子序列，并且这个子序列收敛，证明了结果。 $_ \广场$

Bolzano-Weierstrass定理可以用来证明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ascoli-arzela/" class="wiki_link" title="Ascoli-Arzela定理" target="_blank">Ascoli-Arzela定理，并可应用于经济学中的各种问题。