子序列
一个子序列序列的 是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/terminology-of-sequences-and-series/" class="wiki_link" title="序列" target="_blank">序列元素的元素删除而形成的 生产一种新的 .这个子序列通常写成 ,在那里 是递增的正整数序列。
因为子序列的所有项也是原始序列的项,子序列的属性与序列的属性紧密相关,因此可以通过研究另一个来确定关于其中一个的大量信息。序列是分析中最重要的对象,但它们很难处理,而它们更简单的子序列为理解它们提供了有用的工具。
子序列的收敛
序列的收敛性可以用其子序列的收敛性来描述。
一个数列收敛到一个极限 当且仅当每个子序列也收敛于极限 .
这个事实在描述序列的收敛或发散时非常有用。对于一个方向,假设 ,并考虑一些子序列 .因为 ,对于每一个 ,有 这样 然后,对于 ,一定有一些 这样 因为 正在增加。但是,如果 然后 所以 也因此,任何子序列也是收敛的。
对于另一个方向,假设的每个子序列 收敛,为了证明矛盾,假设 不收敛。然后,对于每一个 ,有一个任意大的 这样 (如果这不是真的,那么序列将收敛)。然后,取 满足这个条件 ,选择它们是递增的,给出一个不收敛的子序列;矛盾。
这个序列是 收敛吗?
是的。这是收敛序列的子序列 ,所以它必须收敛。
Bolzano-Weierstrass
中序列子序列收敛性的一个重要定理 是Bolzano-Weierstrass定理。
每一个有界序列 具有收敛的子序列。
我们认为每一个序列 具有单调子序列。因为每个有界单调序列都是收敛的,所以结果如下。
考虑一个序列 ,并称之为一个术语 一个峰值,如果它大于序列中的每个后续项。现在,如果一个序列有无穷多个峰,对应于这些峰的子序列是单调递减的。如果只有有限个峰,假设最后一个峰在 .然后, 项不是峰值,所以有一个项在它之后比它大。这一项也不是峰值,所以后面还有一项比它更大。这样,就可以构造一个单调递增的子序列。
无论哪种方式,序列都有一个单调子序列,并且这个子序列将收敛,证明了结果。
Bolzano-Weierstrass定理可以用来证明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ascoli-arzela/" class="wiki_link" title="Ascoli-Arzela定理" target="_blank">Ascoli-Arzela定理,也可以应用于经济学中的各种问题。