Stone-Weierstrass定理
已经有账户了?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/stone-weierstrass-theorem/" class="ax-click" data-ax-id="clicked_signup_modal_login" data-ax-type="link">日志在这里。一个>
有关……
- 几何年代p一个n><年代p一个nclass="chevron">>年代p一个n>
的<年代trong>Stone-Weierstrass定理年代trong>是闭区间上连续函数的逼近定理。它说的是在这个区间上的每个连续函数<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>可以用a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/polynomials/" class="wiki_link" title="多项式gydF4y2Ba" target="_blank">多项式一个>函数。多项式比连续函数更容易处理,允许数学家和计算机快速得到更复杂函数的精确逼近。
gydF4y2Ba具体地说,让<年代p一个nclass="katex"> C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>表示<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ring-theory/" class="wiki_link" title="环gydF4y2Ba" target="_blank">环一个>的连续函数<年代p一个nclass="katex"> 成品ydF4y2Ba:年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">→年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n>年代p一个n>.的某些子群的stone - weerstrass定理<年代p一个nclass="katex"> C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>这是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/dense-set/" class="wiki_link" title="密集的gydF4y2Ba" target="_blank">密集的一个>在<年代p一个nclass="katex"> C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>.特别地,它意味着任意连续函数<年代p一个nclass="katex"> C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>可以任意地用多项式函数很好地逼近。这个推论被称为<年代trong>维尔斯特拉斯逼近定理。年代trong>
Weierstrass近似的动机与证明
任何无限<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/differentiable-function/" class="wiki_link" title="可微的gydF4y2Ba" target="_blank">可微的一个>(或称
gydF4y2Ba不幸的是,并不是所有的连续函数都是光滑的(甚至是可微的),所以不能总是用泰勒多项式来近似。尽管如此,假设任意连续函数都可以用光滑函数很好地近似是合理的。如果这是真的,那么连续函数可以很好地用多项式逼近,因为平滑函数当然也可以很好地用多项式逼近。
gydF4y2Ba为了理解为什么连续函数应该用平滑函数很好地近似,假设<年代p一个nclass="katex"> g年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">:年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">→年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n>年代p一个n>为任意连续函数。如果<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">:年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n>年代p一个n>→年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n>年代p一个n>是一个平滑的函数吗<年代p一个nclass="katex-display"> T年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">h年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>本身是光滑的,由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分gydF4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分一个>.大家可以这样想<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>赋予无穷小的权值<年代p一个nclass="katex"> g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>在每一个<年代p一个nclass="katex"> t年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>.这个函数<年代p一个nclass="katex"> T年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">h年代p一个n>年代p一个n>被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/convolution/?wiki_title=convolution" class="wiki_link new" title="卷积gydF4y2Ba" target="_blank" rel="nofollow">卷积一个>的<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个nclass="katex"> g年代p一个n>年代p一个n>,通常表示为<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∗年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n>年代p一个n>.卷积的一个特别有用的性质是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/u-substitution/" class="wiki_link" title="变化的变量gydF4y2Ba" target="_blank">变化的变量一个>,这是显而易见的<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∗年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∗年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">h年代p一个n>年代p一个n>.
gydF4y2Ba自<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∗年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n>年代p一个n>本质上是一个加权的版本<年代p一个nclass="katex"> g年代p一个n>年代p一个n>,人们可以希望找到平滑的函数<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">:年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n>年代p一个n>→年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n>年代p一个n>使<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∗年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n>年代p一个n>非常接近<年代p一个nclass="katex"> g年代p一个n>年代p一个n>通过分散重量<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>在这段时间内越来越均匀<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>.这个想法在下面的证明中得到了严格的证明:
假设<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">:年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n>年代p一个n>→年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n>年代p一个n>是一个正的平滑函数吗<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>其他地方为零,也满足<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>这是一个“总权重”为1的函数,它的权重完全集中在区间上<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>.集<年代p一个nclass="katex-display"> h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">(年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>;年代p一个n>年代p一个n>每一个<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>也有<年代p一个nclass="katex"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>,但权重在这段时间内会更均匀地分布<年代p一个nclass="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">→年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∞年代p一个n>年代p一个n> (年代p一个n>年代p一个n>也就是图<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>成为平<年代p一个nclass="katex"> )年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
选择<年代p一个nclass="katex"> ϵ年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>.自<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>是闭区间,<年代p一个nclass="katex"> g年代p一个n>年代p一个n>是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/uniformly-continuous/" class="wiki_link" title="一致连续gydF4y2Ba" target="_blank">一致连续一个>在<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>,所以存在<年代p一个nclass="katex"> δ年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">>年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个nclass="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">成品ydF4y2Ba(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">成品ydF4y2Ba(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ϵ年代p一个n>年代p一个n>每当<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个nclass="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">δ年代p一个n>年代p一个n>.
gydF4y2Ba因此,我们有<年代p一个nclass="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>含蓄地使用事实<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∗年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">∗年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">h年代p一个n>年代p一个n>,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/triangle-inequality/" class="wiki_link" title="三角不等式gydF4y2Ba" target="_blank">三角不等式一个><年代p一个nclass="katex"> )年代p一个n>年代p一个n> ∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>∗年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>≤年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>自<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>外面是零<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>]年代p一个n>年代p一个n>,这实际上是在区间上的积分<年代p一个nclass="katex"> [年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>]年代p一个n>年代p一个n>,即<年代p一个nclass="katex-display"> ∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">年代年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">年代年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>如果我们把<年代p一个nclass="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>大到足以<年代p一个nclass="katex"> 0年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n><年代p一个nclass="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">一个年代p一个n>年代p一个n><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">δ年代p一个n>年代p一个n>,然后<年代p一个nclass="katex"> ∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ϵ年代p一个n>年代p一个n>对所有<年代p一个nclass="katex"> t年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n>年代p一个n>年代年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">年代年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>]年代p一个n>年代p一个n>.我们得出这样的结论<年代p一个nclass="katex-display"> ∣年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>∗年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">年代年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">年代年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord">h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">g年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ϵ年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">年代年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">年代年代p一个n>年代p一个n>∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord">h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n>年代p一个n>对所有<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>.
gydF4y2Ba还有待建设<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>.定义<年代p一个nclass="katex-display"> j年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">{年代p一个n>年代p一个n>e年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mopen mtight">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">x年代p一个n><年代p一个nclass="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose mtight">)年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">e年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mopen mtight">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">x年代p一个n><年代p一个nclass="mbin mtight">+年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose mtight">)年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>如果年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n>年代p一个n>否则年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>你可以检查<年代p一个nclass="katex"> j年代p一个n>年代p一个n>是顺利的,正面的吗<年代p一个nclass="katex"> (年代p一个n><年代p一个nclass="mord">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>其他地方为零。通过缩放和平移<年代p一个nclass="katex"> j年代p一个n>年代p一个n>,我们已经构造了所需的<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>.<年代p一个nclass="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
斯通-维尔斯特拉斯定理的陈述
Weierstrass逼近定理表明多项式是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/dense-set/" class="wiki_link" title="密集的gydF4y2Ba" target="_blank">密集的一个>在<年代p一个nclass="katex"> C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>.更一般地,stone - weerstrass定理给出了所有子环的分类<年代p一个nclass="katex"> C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>密集的<年代p一个nclass="katex"> C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>.
一子环<年代p一个nclass="katex">
R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">⊂年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>被称为
一子环<年代p一个nclass="katex"> R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">⊂年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>据说
单独的点 对于任意不同的<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>,有一些<年代p一个nclass="katex"> 成品ydF4y2Ba∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个nclass="katex"> 成品ydF4y2Ba(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n>年代p一个n>成品ydF4y2Ba(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>.
(<年代trong>Stone-Weierstrass年代trong>)假设<年代p一个nclass="katex"> R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">⊂年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>是包含某个非零常数函数的子代数。然后,<年代p一个nclass="katex"> R年代p一个n>年代p一个n>是密集的<年代p一个nclass="katex"> C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>当且仅当<年代p一个nclass="katex"> R年代p一个n>年代p一个n>分离点。
下面的例子说明了stone - weerstrass的力量,展示了如何从它恢复Weierstrass近似定理。
从斯通-威尔斯特拉斯定理恢复威尔斯特拉斯逼近定理。
让<年代p一个nclass="katex">
P年代p一个n>年代p一个n>⊂年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>表示多项式的子代数。当然<年代p一个nclass="katex">
P年代p一个n>年代p一个n>包含一个非零常数函数,因为所有常数函数都是
gydF4y2Ba看到<年代p一个nclass="katex"> P年代p一个n>年代p一个n>分离点,选择<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>,<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>.然后<年代p一个nclass="katex"> p年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">t年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n>年代p一个n>是一个多项式<年代p一个nclass="katex-display"> p年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n>年代p一个n>y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">p年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>因此,我们得出结论<年代p一个nclass="katex"> P年代p一个n>年代p一个n>是密集的<年代p一个nclass="katex"> C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>.<年代p一个nclass="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
一个
gydF4y2Ba如果<年代p一个nclass="katex">
我年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">⊂年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>理想是这样的吗<年代p一个nclass="katex">
我年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n>年代p一个n>C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>,然后<年代p一个nclass="katex">
我年代p一个n>年代p一个n>被称为
gydF4y2Ba一个
为<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">[年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>,定义<年代p一个nclass="katex-display"> 米年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">x年代p一个n>年代p一个n>:年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">{年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">成品ydF4y2Ba∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">成品ydF4y2Ba(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">}年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>请注意,<年代p一个nclass="katex"> 米年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">x年代p一个n>年代p一个n>是一种理想<年代p一个nclass="katex"> C年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>.
gydF4y2Ba请回答以下是-否问题:
现有的用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/stone-weierstrass-theorem/" id="problem-login-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/stone-weierstrass-theorem/">登录一个>
问题加载…