斯托克斯的定理

斯托克斯公式是对格林公式到更高的维度。虽然格林公式等同于相应的线积分二维面积积分，斯托克斯定理接管的一个组成 $N$并将其简化为an上的积分 $(n - 1)$-维边界，包括一维情况，它被称为微积分基本定理。这允许一个用归纳法证明。

在许多应用中，“斯托克斯定理”被专门用来指古典Stokes定理，即Stokes定理的例子 $n = 3的$，它相当于一个二维表面上的积分(嵌入 $\ mathbb R 2 3$）超过一维边界曲线的积分。本文遵循公约，并侧重于经典的斯托克斯定理。广义定理的讨论在本文的结尾留给引用。

经典物理学的许多地方依靠斯托克斯定理做出的物理规律，执政电磁最值得注意的是麦克斯韦方程组不同的等价配方。

假设一些表面 $S.$由封闭路径为界 $C$。通过矢量场考虑一个线积分 $\ mathbf {F}$拍摄约 $C$

$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}，$

这将被称为循环。

如果将曲面分成两条闭合路径，很容易看出每条路径的循环和与未分割路径的循环和是相同的 $C$。在计算每一个循环时，无论“切割”在哪里划分表面，在划分区域之间的边界上的线积分是在相反的方向上穿过的。同时，原路径上的总线积分 $C$保持不变。

根据同样的推理，人们可以推测，无论表面划分多少个区域，总环流永远不会改变。对于很多闭合路径 $为C_i$，一个可以写

$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \sum_i \int_{C_i} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$

显然，每个补丁的循环依赖于一定程度上它的大小。人们可以继续表面无限制地分裂，使得区域 $A_I$各贴剂变得任意小。由于每个贴片的区域消失的点，可以得到在表面上的每个点处的局部矢量值的属性称为卷曲，表示 $F \微分算符\ * \ mathbf {}$：

$（\ nabla \倍\ mathbf {F}）\ CDOT \帽子{\ mathbf {N}} = \ lim_ {A_I \ RIGHTARROW 0} \左（\压裂{1} {A_I} \ int_ {C_I} \ mathbf {F} \ CDOT d \ mathbf {S} \右）。$

与法单位向量的点积 ${\ \帽子mathbf {n}}$取使得一个仅具有与卷曲的法向分量有关。

如果旋度的积分是在整个曲面上，那么就会得到

$\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a}。$

但是所有循环的总和就是整个表面的循环 $mathbf{s}。$

斯托克斯定理断言两者是相等的:

${displaystyle\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \displaystyle\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a}.}$

因此，代替计算表面的边界上的线积分，可以代替计算接管整个表面上，或反之亦然矢量场的卷曲。

为了计算在某些选择的坐标下的旋度，我们要考虑在期望的坐标下，循环相对于一个小块的面积是如何消失的。考虑笛卡尔坐标的简单情况，对于这种情况，小曲面的自然选择是一个矩形的小块。

假设有这样一个补丁，它的左下角是点 $（x，y）$。对于一阶，向量场的线积分 $F \ mathbf {} = F_x \帽子{\ mathbf {x}} + F_y \帽子{\ mathbf {y}} + F_z \帽子{\ mathbf {z}}$在一些水平路径上 $\ delta x.$只是 $（\局部F_y / \局部X）\增量X$。因此，如果在逆时针方向上移动时，遍历第一 $\ delta x.$水平, $\增量Y$垂直， $- - - - - - \δx$水平,最后 $- - - - - - \δy$垂直，一个认定的线积分的补片通过一些矢量场的边界上 $\ mathbf {F}$只是减少了

$(2) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)$

在所有三个方向做相同的计算 $X$那 $y$, $Z.$收益率

$\nabla \times \mathbf{F} = left(\frac{partial F_z}{partial y} - \frac{partial F_y}{partial z}} + left(\frac{partial F_x}{partial z}} - \frac{partial F_z}{partial x}} + left(\frac{partial F_y}{partial x}} - \frac{partial F_x}{partial y}}) \hat{partial y}} + left(\frac{partial F_y}{partial x}} - \frac{partial y}}) \hat{partial y}}$

这对于在笛卡尔坐标系的卷曲的表达。在矩阵表示法中，功能的卷曲 $\ Mathbf F.$也可以表示为:

$\nabla \times \mathbf F = begin{vmatrix} \mathbf x & \mathbf y & \mathbf z\\ \dfrac{partial}{partial x} & \dfrac{partial}{partial x} & \dfrac{partial}{partial x}\\$

选择符号的原因 $\ nabla \倍$在于符号的一些轻微的滥用。人们可以“定义” $\微分算符$如下面的量：

$\ nabla = \压裂{\局部} {\部分X} \帽子{\ mathbf {X}} + \压裂{\局部} {\部分Y} \帽子{\ mathbf {Y}} + \压裂{\局部} {\部分z-} \帽子{\ mathbf {Z}}，$

在这种情况下，可以通过取的“叉积”来计算旋度 $\微分算符$与 $\ mathbf {F}$。

找到的卷曲 $\ mathbf {F}（X，Y，Z）=（X + Y）\帽子{\ mathbf {X}} +（Y + Z）\帽子{\ mathbf {Y}} +（X + Z）\帽子{\ mathbf {Z}}。$

---

使用笛卡尔坐标中的旋度表达式，可以发现

$\ nabla \倍\ mathbf {F} =（0 - 1）\帽子{\ mathbf {X}} +（0 - 1）\帽子{\ mathbf {Y}} +（0 - 1）\帽子{\ mathbf{Z}} = - （\帽子{\ mathbf {X}} + \帽子{\ mathbf {Y}} + \帽子{\ mathbf {Z}}）。$

一个字段保守的当且仅当它的卷曲消失无处不在。显示

$F \ mathbf {} (x, y) = - \压裂{y} {x ^ 2 + y ^ 2} \帽子{\ mathbf {x}} + \压裂{x} {x ^ 2 + y ^ 2} \帽子{\ mathbf {y}}$

是保守的。

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经检验，旋度为零 ${\ \帽子mathbf {x}}$和 ${\ \帽子mathbf {y}}$组件。还有待于计算 $\帽子{\ mathbf {Z}}$成分

$\左（\压裂{\局部F_y} {\部分X} - \压裂{\局部F_X} {\部分Y} \右）\帽子{\ mathbf {Z}} = \左（\压裂{Y ^ 2- X ^ 2} {（X ^ 2 + Y ^ 2）^ 2} - \压裂{Y ^ 2 - X ^ 2} {（X ^ 2 + Y ^ 2）^ 2} \右）\帽子{\mathbf {Z}} = 0。$

所以 $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, $\ mathbf {F}$是保守的。

(一般来说，对于二维场，只要检查是否 $偏F_y/偏x =偏F_x/偏y$。）

让 $C$是半径的逆时针圆形路径 $R.$在 $xy$平面为中心的由来，并让 $\ mathbf {F}$是定义的字段

$F \ mathbf {} (x, y) = - \压裂{y} {x ^ 2 + y ^ 2} \帽子{\ mathbf {x}} + \压裂{x} {x ^ 2 + y ^ 2} \帽子{\ mathbf {y}}。$

计算行积分

$\的DisplayStyle \ int_C \ mathbf {F} \ CDOT d \ mathbf {S}。$

---

由斯托克斯定理,

$\displaystyle\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \displaystyle\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a}$

但是通过前面的例子，我们知道 $\nabla \times \mathbf{F} = 0$，积分等于0。

一般地，根据斯托克斯定理，任何闭路径上的保守场(旋度处处消失的场)的线积分必须为零。

在经典电磁，可能希望在空间本地语句的术语来重构有关系统（流经环路例如，总电流）的区域属性的语句（例如，在一个点处的电流密度）。散度定理斯托克斯定理能够通过改变在一些区域的线积分为约在该表面上各点的卷曲声明自然做到这一点。

安培定律国家该行积分在整个磁场 $\ mathbf {B}$正比于总电流 $I_ \ {文字} ENCL$穿过在其上积分所采取的路径：

$文本\ int_{\{循环}}\ mathbf {B} \ cdot d \ mathbf{年代}= \ mu_0 I_ {encl} \文本。$

这就是所谓的积分形式安培定律。

为了表达安培在一个定律当地的形式，可以用Stokes定理重写线积分 $\int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s}$就…而言曲面积分的卷曲的 $\ mathbf {B}$：

$\ int_ \文本{环} \ mathbf {B} \ CDOT d \ mathbf {S} = \ int_ \文本{面} \ nabla \倍\ mathbf {B} \ CDOT d \ mathbf {A}。$

但是Ampère的定律是这么说的

$\ int_ \文本{环} \ mathbf {B} \ CDOT d \ mathbf {S} = \ mu_0 I_ \文本{ENCL} = \ mu_0 \ int_ \文本{面} \ mathbf {Ĵ} \ CDOT d \ mathbf {一种}，$

在哪里 $\ mathbf {Ĵ}$是当前密度。这是广义的，目前的连续版本 $一世$。当然，两个方程中的曲面积分可以在任意选择的闭曲面上取，因此被积函数必须相等:

$\ nabla \倍\ mathbf {B} = \ mu_0 \ mathbf {Ĵ}。$

这是微分形式在进行解析电动力学计算时更容易使用Ampère定律。

同样，法拉第定律说明了电场之间的以下关系 $\ mathbf {E}$还有磁场 $\ mathbf {B}$，其随时间变化 $T.$：

${c}{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}。$

我们可以在左边调用Stokes定理，使两个被积函数相等:

$\ int_S \ nabla \倍\ mathbf {E} \ CDOT d \ mathbf {A} = - \压裂{d} {DT} \ int_S \ mathbf {B} \ CDOT d \ mathbf {A}。$

同样，一个人认为，因为关系必须对任意表面保持为真 $S.$，这两个被积函数一定是相等的，因此

$\ nabla \倍\ mathbf {E} = - \压裂{d \ mathbf {B}} {DT}。$

这是微分形式法拉第定律。

[1]爱德华兹,h多变量的高级微积分。多佛，1994年。

[2]珀塞尔,。电和磁。第三版。剑桥大学出版社，2013。

斯皮瓦克[3],迈克尔。微积分。第四版。出版或毁灭，2008年。

[4]斯图尔特，詹姆斯。微积分。第七版。布鲁克斯科尔,2012年。