斯特林公式

在排列的排列数 $n$不同对象由阶乘函数给出 $n !$阶乘函数有多快 $n !$的函数 $n ?$这种行为在近似中被描述为斯特林公式 $（$也被称为斯特林近似 $）$．

斯特林公式

阶乘函数 $n !$近似为

$n !\sim \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n。$

此外，对于任何正整数 $n$我们有了积分限

$\√{2\pi}\ n^{n+{\small\frac12}}e^{-n} \le n!\le e\ n^{n+{\small\frac12}}e^{-n}。$

二项式系数定理定义为 ${2n \ select n} = \frac {(2n)!} {n !^ 2}$为 $N \geq 0$它接近于 $\frac {4^n}{\sqrt{\pi n}}$渐近。

根据斯特林公式，我们有

$\{对齐}开始n !& \大约\ sqrt{2π\ n} \离开(\压裂{n} {e} \右)^ n \ \ (2 n) !& \大约\ sqrt{4π\ n} \离开(\压裂{2 n} {e} \右)^ {2 n}。结束\{对齐}$

求第二个近似与第一个近似的平方之比，

$\压裂{(2 n) !} {n !^ 2}\implies \sqrt{ \frac {4\pi n}{ (2 \pi n)^2 } } \cdot \frac {(2n)^{2n}}{n^{2n}} \cdot \frac {e^{2n}}{e^{2n}} = \frac {1}{\sqrt{\pi n}} \cdot 2^{2n} = \frac {4^n}{\sqrt{\pi n}}.\ _\square$

加泰罗尼亚数在各种计数问题中多次出现;它被定义为 $\large C_n = \frac {1}{n+1} {2n \ select n}$．有关更多信息，请转加泰罗尼亚的数字．