解决身份方程

一个身份方程是一个方程，对于任何代入变量的值都是成立的。

例如, $2 (x + 1) = 2 x + 2$是一个恒等方程。检验的一种方法是简化方程:

$开始\{对齐}2 (x + 1) & = 2 x + 2 \ \ 2 x + 2 & = 2 x + 2 \ \ 2 & = 2。结束\{对齐}$

$2 = 2$是一个真实的陈述。得到这种形式说明这个方程实际上是一个单位方程。如果我们通过替换不同的数来检验，我们会看到上面的断言确实是正确的。下面是恒等方程:

$\开始{对齐}(x + b) & = ax + ab \ \ {(x + 1)} ^ {2} & = {x} ^ {2} + 2 x + 1 \ \ {(x + y)} ^ {2} & = {x} ^ {2} + 2 xy + {y} ^{2} \ \{\罪}^{2}\θ+{\因为}^{2}\θ& = 1。结束\{对齐}$

最后一个方程叫做a三角恒等式．

解决身份方程:

当给定一个包含某些变量的恒等式时，首先收集类似的项(相同变量和次数的项)。这样做通常会使项一对一配对，从而使它更容易解决。让我们来看一些例子:

考虑到 $(5 x + 3) - (2 x + 1) = ax + b$有代数恒等式吗 $x,$价值是什么 $一个$和 $b ?$

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首先，让我们将身份简化如下:

$\{对齐}开始(5 x + 3) - (2 x + 1) & = ax + b \ \ (5 x-2x) + (3 - 1) & = ax + b \ \ 3 x + 2 & = ax + b。结束\{对齐}$

收集类似的术语，我们有

$\{对齐}3 x-ax + 2-b& = 0开始\ \ x (3) + (2 b) & = 0。结束\{对齐}$

为了使上面的等式成立，左边的两个表达式都必须等于零。因此我们有 $3 = 0$和 $2 b = 0$,这意味着 $= 3, b = 2。\ _ \广场$

考虑到 $ax ^ {3} + 5 y-cz + 16 = 16 x ^ {3} + by-3z + d$有代数恒等式吗 $x, y,$和 $z,$价值是什么 $a, b, c$和 $d ?$

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因为身份是用 $x, y,$和 $z$，使用这些变量收集类似的术语:

$\{对齐}开始ax ^ {3} + 5 y-cz + 16 & = 16 x ^ {3} + by-3z + d \ \ x ^ {3} (16) + y (5 b) - z(颈)+ (16 d) & = 0。结束\{对齐}$

为了使上面的方程始终是一个真命题，即 $0 = 0$，左边的所有项必须等于 $0$．所以我们有

$a =0，\ 5-b=0，\ c-3=0，\ 16-d=0，$

暗示 $a, b, c, d$等于 $16, 5, 3, 16，$分别。 $_ \广场$

考虑到 $(2 x + ay) ^ {2} = bx ^ {2} + cxy + 16 y ^ {2}$有代数恒等式吗 $x, y,$和 $z,$价值是什么 $a、b$和 $c ?$

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的身份 $(x+y) ^{2}={x}^{2}+2xy+y ^{2}$，则等式左边为

${(2 x + ay)} ^ {2} = {(2 x)} ^ {2} + 2 (2 x) (ay) + {(ay)} ^{2}。$

把它和右边相等，

${4 x} ^ {2} + 4 axy +{{一}^ y} {2} ^ {2} = b {x} ^ {2} + cxy + 16 {y} ^{2}。$

收集类似的术语，我们有

${x} ^ {2} (4 b) + xy (4 a - c) + {y} ^{2}({一}^{2}-16)= 0。$

让所有左边的项为0来证明这个命题成立，我们有

$4-b=0，\ qad 4a-c=0，\ qad {a}^{2}-16=0，$

这意味着 $B =4, a= 4, c= 16。\ _ \广场$

考虑到 $A {sin}^{2}^ theta + A cos^{2}^ theta =13$有代数恒等式吗 $\θ,$价值是什么 $一个吗?$

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使用上面的三角恒等式 ${sin}^{2}\theta +{cos}^{2}\theta =1$我们有

$罪\开始{对齐}{\}^ {2}\ \ cosθ+ ^{2}\θ& = 13 \ \({\罪}^ {2}\ \ cosθ+ ^{2}\θ)& = 13 \ \ \ cdot 1 & = 13 \ \一个= 13。\ \ _ \广场结束{对齐}$

中标识的条件 $x:$

如果方程的形式是 $Ax ^2 + bx + c$有两个以上的值 $x$满足方程，则条件为 $\颜色{#333333}a = b = c = 0。$

找出…的价值 $r$在方程中 $(r ^ 2 - 2 r + 1) x ^ 2 + (r ^ 2 - 3 r + 2) x - r (r ^ 2 + 2 - 3) = 0 ?$

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我们现在用以上条件来解决问题:

• 考虑到: $= (r ^ 2 - 2 r + 1) x ^ 2, b = (r ^ 2 - 3 r + 2), c = (r ^ 2 + 2 r 3)$
• 条件: $A = b = c = 0$

$R ^2 - 2r + 1 = 0意味着(R - 1)(R - 1) = 0意味着R = 1,1。$
$R ^2 - 3r + 2 = 0意味着(R - 2)(R - 1) = 0意味着R = 2,1。$
$R ^2 + 2r -3 = 0 \表示(R + 3)(R - 1) = 0 \表示(R = - 3,1)$

在所有的价值观中，我们现在必须找到共同的价值观 $r,$这是1。

因此, $r = 1。\ _ \广场$