社交网络

安迪·兰姆(Andy Lamb)发表丙型肝炎的医生合著网络图^[1]

一个社交网络图是一个图其中节点代表人，节点之间的线(称为边)代表他们之间的社会联系，例如友谊或在一个项目上共同工作。这些图可以是任意一种无定向还是有定向．例如，Facebook可以用一个无向图来描述，因为友谊是双向的，Alice和Bob是朋友和Bob和Alice是朋友是一样的。另一方面，Twitter可以用有向图来描述:Alice可以关注Bob，而Bob不关注Alice。

社交网络往往具有网络特性。例如，任何两个节点之间的距离都很短(如著名的六度分离研究世界上每个人彼此之间的距离最多为6度)，以及形成“三角形”的倾向(如果爱丽丝与鲍勃和卡罗尔是朋友，鲍勃和卡罗尔更有可能彼此成为朋友)。

社会网络对于那些对人们如何互动感兴趣的社会科学家以及试图瞄准消费者投放广告的公司来说都很重要。例如，如果广告商将三个人作为朋友、同事或家庭成员联系起来，其中两个人购买了广告商的产品，那么他们可能会选择在第三个坚持的目标上花更多的钱，因为他们相信这个目标有很高的购买他们产品的倾向。

社会科学家还可以利用社会网络来模拟人们相互联系的方式。互联网上的页面和它们之间的链接形成了一个社交网络，这与人们与其他人形成网络的方式大致相同。此外，反情报机构还利用手机数据和通话来确定恐怖分子的根据地。

右图显示了共同撰写丙型肝炎论文的不同医生之间的联系，例如，两个人共同撰写了一篇论文，也与另一名医生共同撰写了单独的论文。

为了模拟社会网络的形成，数学家使用随机图这是人们在进入网络时如何建立联系的模型。

随机图是通过将节点逐个添加到图中，并根据概率规则在节点之间随机添加边来开发的。不同的边添加规则会导致图具有非常不同的结构。最简单的随机图叫做Erdos-Renyi图．每增加一个节点，就有一个固定的概率 $p$它和另一个节点之间的任何可能的边都被加了进去。这意味着任何两个人和其他两个人有联系的可能性是一样的，拥有共同的联系并不会增加你们彼此联系的机会。这与我们在现实社会网络中观察到的情况非常不同，在现实社会网络中，人们倾向于聚集在一起。

在现实生活中，拥有更多朋友的人更有可能交到更多朋友。这种行为在技术上被称为“优先依恋”，或非正式地称为“富人更富效应”。捕捉这一特征的最简单的模型称为Barabasi-Albert图．Barabasi-Albert图开始于一组 $N$完全连接的节点。每增加一个节点，一个固定的数字 $米$连接到该节点的边也被添加。(相比之下，Erdos-Renyi模型在每一步中添加了可变数量的边。)这些节点连接到其他节点的概率与其他节点已经拥有的边的数量成正比。这个数字被称为学位 $k_i$的节点 $我$．具体来说，概率 $p_i$连接到节点 $我$是由

$p_i = \frac{k_i}{\sum_{j=1}^{N} k_j}。$

Erdos-Renyi(红色)和Barabasi-Albert(蓝色)图的度分布示例。

分母就是图中所有节点的总度。注意，这等于边总数的两倍，因为每条边对每个端点都计算一次。

图的一个最重要的性质是它的度分布-给出带度的节点数的函数 $k$．Barabasi-Albert图具有度分布 $P (k) \propto k^{-3}$，而Erdos-Renyi图具有二项度分布。这意味着Barabasi-Albert图比Erdos-Renyi图有一个“更长的尾巴”:它们有更多的节点，具有非常高的度。

表单的功能 $P (k) \propto k^{-c}$,在那里 $c$是一个常数，都叫什么权力的法律．具有幂律度分布的网络也常被称为网络无标度．这是因为它们在大小上看起来都是一样的。如果 $P (k) \propto k^{-c}$，然后相乘 $k$通过一个常数 $一个$给了 $p (ak) \ propto (ak) ^ {- c} = ^ {- c} k ^ {- c} \ propto k ^ {- c}$．比例因子 $一个$不会改变分布的形状。在这种情况下，社交网络就像分形．当您放大或缩小网络时，它看起来大致相同。

因为幂律具有如此优雅的特性，它们被用来描述许多物理现象，从一个网站的链接数量，到一篇论文的引用数量，再到特定蛋白质与[1]相互作用的其他蛋白质的数量。

社交网络规模相对较小。你只需要几个朋友的朋友就能认识几乎所有你会遇到的人。图的大小的一个度量是网络中任意两点之间的平均路径长度。的路径长度图中的两个节点之间是为了从一个节点到另一个节点所需交叉的最小边数。

路径长度的一个异想天开的流行应用是电影演员的“培根数”。凯文·贝肯自己的贝肯数是0。每个和凯文·贝肯一起演过电影的人都有一个贝肯数字1。每个和培根数为1的人合作过的人，他的培根数也都是2，以此类推。另一种说法是，演员的培根数是从他们到凯文·培根的路径长度，其中的边代表在一部电影中共同表演。

类似地，在数学中，数学家的厄多斯数是他们与著名数学家保罗·厄多斯之间的路径长度，其中边代表共同作者。上面描述的Erdos- renyi随机图是以Paul Erdos命名的。

Barabasi-Albert图中的平均路径长度成比例增长 ${日志}\文本(N)$，网络中节点数的对数。这意味着随着节点的增加，节点之间的距离增长非常缓慢。然而，在现实世界中，平均距离甚至可以随着网络的增长而缩小。

2011年，Facebook拥有7.21亿用户，两个用户之间的平均距离为4.74。2016年，15.9亿用户，平均距离降至45[2]。模型与现实之间的差异来自于每个新节点与其他节点建立固定数量的连接的假设。如果每个节点的新连接数增加，则平均距离将减小(因为节点的连接更多)。

幂律度分布的社交网络有一个特殊的特征，即对于网络中的大多数节点来说，该节点的朋友平均比节点本身[3]拥有更多的朋友。这种结果被称为友谊悖论，因为节点会优先与已经具有较高程度的节点关联。

研究人员还在现实世界的社交网络中发现了一个广义友谊悖论，它延伸到更多的属性，比如财富和幸福。一个人的朋友，平均来说，比他们更富有，更快乐。与友谊悖论不同，这不是任何无标度网络的特征，因为它讨论的是网络编码之外的属性。然而，它反映了人们在现实生活中的互动方式。

[1]经验数据的幂律分布。http://arxiv.org/pdf/0706.1062.pdf 2016年2月17日检索。

[2] https://research.facebook.com/blog/three-and-a-half-degrees-of-separation/ 2016年2月17日检索。

[3]菲尔德，为什么你的朋友比你有更多的朋友。美国社会学杂志．第96卷第6期(1991年5月)，第1464-1477页。http://www.jstor.org/stable/2781907?seq=1#page扫描tab_contents于2016年2月17日检索。

友谊悖论如何让你的朋友比你更好。麻省理工科技评论．https://www.technologyreview.com/s/523566/how-the-friendship-paradox-makes-your-friends-better-than-you-are/ 2016年2月17日检索。

1. 羔羊肉,一个。发表丙型肝炎论文的医生的共同作者网络图．检索自2016年5月2日https://www.flickr.com/photos/speedoflife/8273922515