正弦法则(正弦定律)
的正弦定律是将三角形的边与它们的同位角的正弦联系起来的关系。
正弦规律
给定下面的三角形 有相应的边长 而且 :
的正弦规律或正弦定律是以下身份:
我们将证明第一个恒等式
第二个等式同样可以证明。
通过绘制高度 三角形的顶点 对边,我们可以表示高度 以两种不同的方式:
- 首先,我们有 ,这意味着
- 同时, ,这意味着
通过使这些值相等 ,我们有
通过绘制高度 从另外两个顶点,我们可以类似地显示第二个等式。
看到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/extended-sine-rule/" class="wiki_link" title="扩展正弦定则" target="_blank">扩展正弦定则另一个证明。
例子
正弦法则的一个实际应用是<一个target="_blank" rel="nofollow" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sine_bar">正弦规,在工程上用于测量倾斜角度。其他常见的例子包括在航海中测量距离和在天文学中测量两颗恒星之间的距离。
在下面的三角形中,假设 而且 . 边长是多少
根据正弦法则,我们有
因此, .
模棱两可的情况下
正弦法则的一个常见应用是确定三角形 已知它的一些边和角。的模棱两可的情况下指的是有两个不同的三角形满足这样的配置的场景。这发生在我们给定角边的情况下,如下图所示:
如果边长 是 而且 与 相反 测量 度,是用来衡量的 相反
根据正弦法则,我们有 或 .解 收益率 或 .
但是,请注意 .自 而且 另一种可能的方法是 大约是 .
用上面给出的相同的例子,求的度量 如果边长互换: 而且 .
根据正弦法则,我们有 或 .解 收益率 或 .
但是,请注意 .自 但事实并非如此 只有一种可能的方法 ,约为 度。
使用上面给出的第一个例子,如果你进一步给出角度 为了得到13度,总共可能有多少个不同的度数
根据正弦法则 或 ,这显然是错误的,这意味着不存在这样的三角形。因此,不存在符合这些标准的三角形。
扩展正弦法则
的扩展正弦定则是三角形的边与它们的同位角的正弦值和被限定圆的半径之间的关系。声明如下:
鉴于三角形 ,对应边长 而且 而且 等于三角形的圆周半径 ,我们有以下内容:
注意:没有第三个等式的陈述通常被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sine-rule/" class="wiki_link" title="正弦规律" target="_blank">正弦规律.正弦法则与三角形的圆周半径之间的关系 将这个扩展到扩展正弦法则。
扩展正弦法则
让 做圆心,然后 的中点 然后 垂直于 .现在,观察一下 等于 或 在哪里 取决于是否 是否在三角内。然后 或 ,因此 .因此,
表示三角形的面积 等于
让 被脚的垂线从 来 .使用 作为基底 作为高度,三角形的面积为 .从直角三角形 , .因此,三角形的面积为 ,这句话经常被引用。现在,用扩展正弦法则,我们有, ,则三角形的面积为