简化激进术

简化激进术是操纵激进表达式成更简单或替代形式的过程。一般来说，这是一个过程简化表达式应用于激进。

自由基是一个数字的数字指数：

$\ sqrt [n] {x ^ m} = x ^ {m / n}。$

由于它们是指数，可以简化自由基指导规则。

积极整数的平方根不是完美的方块总是一个无理数。这十进制表示这样的数量丢失精确当它圆满时，它是耗时的在没有计算器的帮助下计算。写入此类数字的标准方法而不是使用十进制表示，而是使用简化的激进形式，这涉及写入根本，没有完美的正方形作为根符号下的数字的因素。

让 $一种$是一个积极的非完美方形整数。

这简化的自由基形式平方根 $一种$是

$\ sqrt {a} = b \ sqrt {c}。$

在这种形式 $\ sqrt {a} = b \ sqrt {c}$， 两个都 $B.$和 $C$是正整数，还有正整数 $C$不包含除此之外的完美方形因素 $1$。

将平方根置于简化的自由基的过程涉及找到完美的方形因素，然后申请身份 $\ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ times \ sqrt {b}$，这让我们掌握完美的方形因素的根源。

简化 $\ sqrt {12}$。

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自从 $12 = 2 \ times 2 \ times 3 = 2 ^ 2 \ times 3$，我们可以将它重写为 $\ sqrt {12} = \ sqrt {2 ^ 2 \ times 3} = \ sqrt {2 ^ 2} \ times \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}。$ $_\正方形$

简化 $\ sqrt {72}$。

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看解决方案

首先，问问自己，“什么是完美的平方因素 $72.$？“

$4.$是一个完美的平方尺 $72.$， 和 $9.$是一个完美的平方尺 $72.$。

为了这个过程，找到的是更有效的最大完美的平方根 $72.$。如下所示， $4 \ times 9 = 36$是个最大完美的平方根 $72：$

$\ begin {对齐} \ sqrt {72}＆= \ sqrt {36 \ times 2} \\＆= \ sqrt {36} \ times \ sqrt {2} \\＆= 6 \ sqrt {2}。\结束{对齐}$

因此，简化的形式 $\ sqrt {72}$是 $6 \ sqrt {2}。\ _ \ square$

笔记：当一个数字放在平方根符号的左侧时，暗示了乘法。 $“\，6 \ sqrt {2} \，”$读为 $“\，6$乘以平方根 $2. \，“$

类似地，当在自由基下没有因素时，简化了更高程度（立方体根，第四根等）的根，这是具有相同程度的完美力。

简化 $\ sqrt [3] {a ^ 2 b ^ 4}$。

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注意我们有 $B ^ 3.$，这是Radicand中的立方体因子。因此，我们可以把它拉出来获得

$\ sqrt [3] {a ^ 2 b ^ 4} = b \ sqrt [3] {a ^ 2b}。\ _ \ square$

由于激进派实际是指数表达，因此它们遵循指数规则，不能加在一起。特别是，您应该避免以下常见错误：

$\ sqrt {a + b} \ neq \ sqrt {a} + \ sqrt {b}。$

这意味着当我们用不同的radicands处理自由基时，就像 $\ sqrt {5}$和 $\ sqrt {7}$，实际上没有办法组合或简化它们。但是，在处理共享基地的激进术时，我们能够简化他们相结合的术语。

简化 $\ sqrt {12} + 3 \ sqrt {3}$。

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自从 $\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3}$， 我们有 $\ sqrt {12} + 3 \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3} +3 \ sqrt {3} = 5 \ sqrt {3}。$ $_\正方形$

当乘以激进术时，我们大量使用身份 $\ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ times \ sqrt {b}$。这意味着两个激进的当乘以在一起时，可能会产生整数而不是另一个激进的。

简化 $\ sqrt {12} \ times \ sqrt {3}$。

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自从 $12 \ times 3 = 36$， 我们有 $\ sqrt {12} \ times \ sqrt {3} = \ sqrt {36} = 6$。 $_\正方形$

这并不总是发生;然而，上面使用的身份甚至可以应用于更复杂的激进乘法。

扩张 $\ big（1+ \ sqrt {21} \ big）\ big（3- \ sqrt {3}大）$。

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看解决方案

使用分配物业和身份 $\ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ times \ sqrt {b}$， 我们有

$\ begin {aligned} \ big（1+ \ sqrt {21} \ big）\ big（3- \ sqrt {3} \ big）＆= 1 \ big（3- \ sqrt {3} \ big）+ \ sqrt{21} \ big（3- \ sqrt {3} \ big）\\＆= 3- \ sqrt {3} + 3 \ sqrt {21} - \ sqrt {21} \ sqrt {3} \\＆= 3- \ sqrt {3} + 3 \ sqrt {21} - \ sqrt {63} \\＆= 3 - \ sqrt {3} + 3 \ sqrt {21} - 3 \ sqrt {7}。\ _ \ square \结束{对齐}$

有关详细信息，请参阅合理化分母。

如果它们具有不合理的数量，则不认为馏分不被认为是以最简单的形式写成的 $\大（$喜欢 $\ sqrt {2}$， 例如 $\大）$在分母。我们可以简化分数合理化分母。这是一个经常出现在涉及激进的问题中的程序。

对于涉及简单激进的问题，这种方法很简单。

简化 $\ frac {2} {\ sqrt {3}}$。

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我们可以通过乘法来简化这一部分 $1 = \ frac {\ sqrt {3}}} {\ sqrt {3}}$。因此，我们有 $\ frac {2} {\ sqrt {3}} \ cdot \ frac {\ sqrt {3}} {\ sqrt {3}}} = \ frac {2 \ sqrt {3}}}}}}} {3}$。 $_\正方形$

当我们有一个更复杂的表达涉及激进的表达时，我们必须寻找另一种方法。然而，当分母是涉及激进的二项式表达时，我们可以使用两个方格的差异产生共轭对的同一性将从分母中除去基团。例如，如果我们想从表达式中删除激进派 $\ sqrt {2} + \ sqrt {3}$，我们可以通过其共轭对乘以它 $\ sqrt {2} - \ sqrt {3}$。

简化 $\ frac {1} {\ sqrt {2} + \ sqrt {3}}$。

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我们有

$\ frac {1} {\ sqrt {2} + \ sqrt {3}} \ cdot \ frac {\ sqrt {2} - \ sqrt {3}} \ \ sqrt {3}} {\ sqrt {2} - \ sqrt {3}} = \frac {\ sqrt {2} - \ sqrt {3}} {\ big（\ sqrt {2} \ big）^ 2 - \ sqrt {6} + \ sqrt {6} - \ big（\ sqrt {3} \B.ig)^2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt3-\sqrt2}{1} = \sqrt3 - \sqrt2.\ _\square$

• 简化表达式

• 自由基方程

• 合理化分母