信号与系统

信号和系统的研究涉及两件事:信息以及信息如何影响事物。A的严格定义信号是时变事件所传达的信息，并有严格的定义吗系统是接收信号并产生某种响应的模块的集合。

用真实的情况来考虑这些术语可能会更容易。想象一下，你正在试着制造一个机器人，它可以沿着地板上的一条直线前进。这里的系统是一个机器人和一条线。让我们假设有一种机器可以让机器人“感知”地板上的线，它使用一个摄像头。这里的信号是来自摄像机的视觉数据。但现在困难的部分来了:我们如何接收信号，并利用它告诉机器人下一步该做什么?一种猜测可能是这样的:如果机器人在直线的右边，就向左转，如果它在直线的左边，就向右转，如果它在直线上，就向直转。这似乎很好，但看看当它付诸行动时会发生什么:

有一个简单控制器的机器人

如你所见，我们会超过这条线每一个时间。发展一种<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/algorithm/" class="wiki_link" title="算法" target="_blank">算法这完美地模拟了这个系统，但这是整个研究领域的目标。信号和系统应用于技术、电子和工程的每一个领域。正如我们上面看到的，所有需要感知周围世界的硬件(机器人、fitbit等可穿戴技术、雷达)都需要能够识别信号，并适当地改变它们的系统。信号也被用在像你的电脑这样的系统中。计算机中微小部件之间的信号允许它共享信息和功能。正是硬件的这些基本元素使所有软件都能正常工作。

如上所述，信号传递信息。然而，通常把它们看作自变量是时间，因变量是一些数据的函数更有用。信号函数可能是这样的:

$F (t) = 2 \cdot t。$

这个信号对应的图形是这样的:

信号与函数 $F (t) = 2 \cdot t$

一个给定的系统可以有许多可能的输入信号和输出信号。以前面提到的机器人为例。机器人可以使用摄像头来感知线的颜色。如果这条线有任何独特的物理特性，它也可以用轮胎来运动感知。如果这条线被涂上某种材料，它甚至可以使用磁力。虽然输入信号通常由系统周围的环境定义，但系统对输出信号有更多的控制。输出信号可以是任何东西这可以用来告诉机器人如何控制方向。

试着为机器人系统想出一些可能的输出信号。记住，输出信号可以是任何可以用来告诉机器人下一步该做什么的信号。当你想到一些想法时，点击Show Answer按钮查看更多的想法。

显示答案

输出信号如下所示:

• 所有车轮的转速(如果汽车需要转弯，它们会有所不同)
• 所有轮子的期望温度(使用从摩擦引起的温度到转速的映射)
• 描述下一个期望位置的3D向量(如果机器人使用向量来描述自己的位置)
• 它到下一个时间步直线的期望距离。

还有很多，但并不是所有的输出信号都是明智的选择。这取决于你，系统设计者，选择一个有意义的输出信号。

信号有很多种，而且信号通常是由多个信号组成的。以下是一些基本信号及其相关信号函数。

单位阶跃函数

这个信号在时间0处发出一个大小为1的单位信号。这个信号会无限持续下去。术语“单位”是用来表示大小变成1。如果大小不等于1，它就是一个阶跃函数。这个信号也被称为Heaviside函数:

$U (t) = \begin{cases} 1 & \mbox{if} t \geq 0 \\\\ 0 & \mbox{if} t \lt 0。\{病例}结束$

单位阶跃函数

你可以把阶跃函数想象成把什么东西插到墙上的插座上。在你插上电源之前，没有信号通过。一旦你这样做了，只要你把它插入，就会有一个恒定的信号。

单位脉冲函数

这个信号在0时刻只发出单位1的脉冲。否则，没有信号:

$\sigma(t) = \begin{cases} 1 & \mbox{if} t = 0 \\\\ 0 & \mbox{if} t \neq 0.\end{cases}$

单位脉冲函数

斜坡信号

该信号与时间呈线性关系:

$R (t) = \begin{cases} t & \mbox{if} t \geq 0 \\\\ 0 & \mbox{if} t \lt 0。\{病例}结束$

斜坡函数

斜坡信号可以描述某物从斜坡上掉下来的速度。当它由于重力下落时，它的速度会线性增加。线性关系可以用斜线信号来描述。

抛物线信号

抛物线信号与时间呈二次关系:

$x (t) ={病例}\ \开始压裂{t ^ {2}} 2 & \ mbox{如果}t \组0 \ \ \ \ 0 & \ mbox{如果}t \ lt 0。\{病例}结束$

抛物线信号

正弦信号

这个信号遵循正弦信号的路径 $\大($要么 $\ sin (x)$或 $\ cos (x) \大)。$这些信号非常重要，因为它们是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fourier-analysis/" class="wiki_link" title="傅里叶分析" target="_blank">傅里叶分析而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fourier-series/" class="wiki_link" title="傅里叶级数" target="_blank">傅里叶级数．它们经常在电气工程中使用:

$x(t) = \begin{cases} A \cdot \cos(w_0 \cdot t\pm \phi) \text{or}\\\\ A \cdot \sin(w_0 \cdot t\pm \phi)。\{病例}结束$

正弦信号^[1]

整个信号世界可以被分组为类，每个类都有重要的属性。此外，这些类具有相反的类。例如，与连续信号相对的是离散信号。只要不使用两个相反的类，就可以使用多个类定义一个信号。

连续和离散信号

连续信号是在每个时间间隔上定义信号值的信号。这很像在<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="#types-of-signals">上面的部分．

离散信号是信号的值只在离散的瞬间定义的信号，例如，可能是每一秒。离散时间信号的图是这样的:

离散时间信号(红色箭头)和连续时间信号(灰色线)^[２]

连续信号和离散信号之间的转换涉及到重要的数学问题。通常,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/signal-sampling/" class="wiki_link" title="抽样" target="_blank">抽样用于将现实世界中发现的连续信号转换为信号分析中使用的离散信号。改变信号的定义域，如从连续到离散的转换，在信号处理中经常使用。

确定性和非确定性信号

确定性信号是在任何时候其值都不存在不确定性的信号。任何可以用数学公式定义的信号，如单位阶跃函数，都是确定的。

非确定性信号它们的值具有随机性，因此不能使用任何定义良好的数学公式进行定义。取而代之的是使用概率公式建模。

偶奇信号

如果一个信号满足这个方程，它就是偶信号 $f (t) = f (- t)$．换句话说，偶函数是对称的 $y$设在。如果一个信号满足这个方程，它就是奇信号 $f (t) = - f (- t)$．换句话说，关于 $y$-轴，信号被镜像 $x$设在。例如, $\ cost$是偶信号，和 $\罪(t)$是一个奇怪的信号。

信号可以是偶的或奇怪的;也可以两者都不是，就像大多数国家一样。

即使信号^[3]

奇怪的信号^[3]

周期和非周期信号

如果一个信号满足这个方程，它就是周期信号 $f(t) = f(t + t)$,在那里 $T$是基本时间段。这实际上是在说，如果信号 $f (t)$重复的每一 $T$时间是周期性的。非周期函数不重复。周期信号的一个例子是任何正弦信号 $\ cos (x)$．非周期信号的一个例子是单位脉冲信号。它发出脉冲信号 $f (0)$但之后什么都没有了。

实信号和虚信号

一个信号是实数，如果在每一个时间点，它的值是100%实数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/imaginary-unit/" class="wiki_link" title="虚数单位" target="_blank">虚数单位一部分是零。相反，如果一个信号在任何时间点上的值都是虚的，那么这个信号就是虚的。

信号可以由其他信号构建。事实上，大多数信号都可以被定义为由更小、更基本的信号组成。基本的运算可以归结为两种:一种是振幅运算，另一种是时间运算。

振幅

对影响振幅的信号的运算遵循基本的数学运算:加法和乘法。两个信号相加得到的信号在每个时间步上都有它们的振幅之和。把两个信号相加， $从$而且 $X_1$结果 $X_2$．这意味着在每一个可能的时间步上， $X_2$是否有一个信号值是的值的和 $从$而且 $X_1$此时步。

例如，如果我们把单位阶跃函数和斜坡函数相加<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="#types-of-signals">早些时候，结果如下所示:

增加单位阶跃信号和斜坡信号

减法是完全相同的过程，除了两个信号的振幅被减法。

除了两个信号的振幅在每个时间步乘或除之外，乘法和除法的工作方式是相同的。当用标量值对单个信号进行缩放时，情况也是如此。用数字3乘以一个信号将返回一个信号，它在每个时间步上的振幅是该时间步上输入信号振幅的3倍。

代数关系也是如此。例如,

$c \ cdot \大(X_0 (t) + X_1 (t) \大)= cX_0 (t) + cX_1 (t)。$

时间

通过移动信号的时间、缩放信号的时间或反转信号的时间都可以改变信号的时间。时移需要一个信号 $从(t)$然后移动一个值， $t_0$．这种偏移可以是正的或负的，以指示信号在时间上的偏移方向。结果是 $从(t \ t_0下午)$．

将矩形信号向前移时

时间缩放会压缩或扩展信号。例如，如果一个信号定义从 $t = 2$来 $t = 2$，其时间乘以2，则定义为新信号 $t = 4$来 $t = 4$．

时间反转是一种操作，其中信号 $f (t)$被转化为 $f (- t)$．这个新信号是输入信号，镜像了 $y$设在。

从最抽象的角度来说，一个系统只是一个元素的集合，它接受一个输入，并以一个输出响应，如下图所示:

系统概述

有很多<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="#system-classes">类型系统和方法<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="#system-control-classes">控制他们。它们在系统领域都有重要的用例和应用程序。

系统通常有三种表示方式:

• 差分方程
• 方框图
• 算子方程。

差分方程是表示系统的数学方法，并且它们通常是递归的(这取决于早期的状态)。作为一个例子，让我们看看<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fibonacci-series/" class="wiki_link" title="斐波那契序列" target="_blank">斐波那契序列．在这个序列的每一步，我们将前面的两个输入相加。如果我们定义 $x [n]$作为电流输入和 $y [n]$作为给定时间步长的输出，则

$Y [n] = Y [n-1] + Y [n-2] + x[n]$

描述了斐波那契数列。在这里, $x [n]$是一个信号，其值在时间= 0时为1，此后为0。它和单位脉冲信号完全一样<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="#types-of-signals">以上．差分方程，有时也称为递归关系，很重要，因为它允许我们用数学方法处理这些元素。

一个框图是一种表示系统的图形方式。它由系统中的元素组成，通过指示信息流的方向箭头连接。在这些框图中有三个重要的基本元素或装置:

1. 延迟:这个矩形装置将信号延迟一个时间步长。
2. 缩放:这个三角形装置将把传入的信号按一个标量项缩放， $c$(有时也称为缓冲)。
3. 加法器:这个循环组件将增加(或减去)多个信号。

我们再来看看斐波那契数列。我们知道我们需要某种记忆，所以延迟是必要的。另外，我们要把数字加在一起，所以我们还需要一个加法器。事实上，框图看起来是这样的:

斐波那契框图

在这个图中，有两个反馈循环。一种是用一次性步骤延迟信号，另一种是用两次步骤延迟信号。加法器最终会将前两次步骤的输出相加得到当前的输出。这就是斐波那契数列。

的算子方程和差分方程非常相似，但是它使用了框图中的元素。运算符方程是使用方框图的缩放、加法器和延迟的输入和输出信号之间的关系。斐波那契系统的算子方程是这样的

$Y = X + \mathcal{R}X + \mathcal{R}^2X。$

$R \ mathcal {}$用于表示输入信号的延迟。这些算子方程(有时也称为系统函数)常用于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/predicting-system-behavior/" class="wiki_link" title="预测系统行为" target="_blank">预测系统行为．

系统有类，就像信号有类一样，它们可以用相同的方式在这些类中定义。然而，系统还可以拥有两个重要的控件类。一个系统可以是一个开环，它可以是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/feedback/" class="wiki_link" title="反馈系统" target="_blank">反馈系统，它可以是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/feedforward/" class="wiki_link" title="前馈系统" target="_blank">前馈系统．

一个开环是一个简单的控制流抽象，它只使用其当前状态、系统模型和输入信号。它是最基本的系统控制器范式。反馈系统的一个例子是我们之前的机器人。机器人根据环境，决定下一步如何移动，并继续前进。

一个反馈系统从它的输出中获取数据，以帮助决定下一步如何操作。如果我们想把机器人的系统变成一个反馈系统，我们可以反馈数据告诉机器人它离线有多近。如果我们靠得太近，我们可能要后退方向盘，这样我们就不会太过直线了。

一个前馈系统实际上将数据从环境中传递到系统中。前馈系统的一个很酷的例子实际上就在你的身体里。随着年龄的增长，你的大脑会知道某些活动会导致某些程度的压力。所以，在对这些活动的预期中，你的大脑会提高肾上腺素水平。所以，下次当你走上跑步机，心跳开始加快时，你要感谢前馈系统!

系统控制类型:(a)开环(b)前馈(c)反馈^[4]

也有不同类型的系统。这些系统如下:

• 线性和非线性系统
  一个系统是线性的，如果它满足下列性质，其中信号 $x_1 (t)$而且 $x_2 (t)$输出 $y_1 (t)$而且 $y_2 (t)$分别为: $大T \ [a_1x_1 (T) + a_2x_2 (T) \]大= a_1T \大(x_1 (T) \]大+ a_2T \大(x_2 (T) \]大= a_1y_1 (T) + a_2y_2 (T)。$线性系统通常比非线性系统简单得多。它们被用于自动控制理论，信号处理和电信。具体来说，无线通信可以用线性系统来建模。 $$

• 时变和时不变系统
  如果一个系统的输入和输出关系随时间变化，那么这个系统就是时变的。定义这些类的方程如下:当 $y(n, t) = t [x(n-t)] = \mbox{输入更改}$而且 $Y (n - t) = \mbox{输出变化}$， $\begin{aligned} y(n, t) &= y(n-t) \\ \mbox{对于时不变系统}\\ y(n, t) &\neq y(n-t) \\ \mbox{对于时变系统}。结束\{对齐}$研究时变系统很有趣，因为它的输出更多地依赖于时间，因为系统本身随时间而变化。人类的声带是时变的，因为发声器官会随着舌头和胸膜的移动而变化。时不变系统更容易推理和建模。 $$

• 线性时变和线性时不变系统
  一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-time-invariant-systems/" class="wiki_link" title="线性定常系统" target="_blank">线性定常系统即LTI系统，是一种既线性又线性的系统而且定常。这些系统极在系统领域很重要。这是因为可以对这些系统进行数学分析，从而可以了解任何输入信号的输出特性。而且，它们是合成的，因此LTI系统的任何组合本身都是LTI系统。 $$

• 静态和动态系统
  静态系统是无内存系统。一个静态系统的例子方程可能是 $Y [t] = 2^{x[t]}。$这是因为在当前时间步长的输出 $y [0]$是否只依赖于当前时间步长的输入 $x [t]$．另一方面，一个动态系统(有内存的系统)可能有以下系统方程: $Y [t] = 2 \cdot x[t - 1]。$这里是当前时间步长的输出 $y [t]$2是之前时间步长的输入的2倍吗 $x (t - 1)$，所以系统必须记住这个输入。 $$

• 因果和非因果系统
  与静态系统和动态系统的区别类似，因果系统是只依赖于当前和过去输入的系统。所以, $Y [t] = 2 \cdot x[t - 1]$仍然描述了一个因果系统。非因果系统依赖于未来的输入。 $y [t] = x (t + 1)$是非因果系统。 $$

• 稳定和不稳定系统

  • 一个稳定的系统是有界输入有界输出。换句话说，对于有界信号，输出振幅是有限的。这个系统由 $Y [n] = 2 \cdot x[n]$是稳定的。
  • 不稳定系统的输入有界，输出无界。这些系统，如果正确实施，将会引起<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/stack-overflow/?wiki_title=stack overflow" class="wiki_link new" title="堆栈溢出" target="_blank" rel="nofollow">堆栈溢出在计算机程序。

系统可以像它们使用的信号一样被操作和组合。级联例如，两个系统以一种简单的方式组合了两个系统。级联系统 $S_0$与 $S_1$让输出 $S_0$， $Y$的输入 $S_1$， $W$．只要两个系统最初处于静止状态(等于0)，这个操作是可交换的。因此，如果原始系统具有系统函数

$\开始{对齐}S_0 \ mbox {:} Y & = \ Phi_1 X Z \ \ S_1 \ mbox {:} & = \ Phi_2 W \{对齐}结束$

然后我们设定方程 $S_0$等于的输入 $S_1$．所以,

$S_1\mbox{:}Z = \Phi_2 \cdot \Phi_1 X。$

并行加法是组合系统的另一种方式。假设 $S_0$的方程 $Y = \ Phi_1X$, $S_1$的方程 $Z = \ Phi_2X$．对于这个操作来说，输入信号是相同的是很重要的。所以，这两个输出信号的相加就是

$W = (\Phi_0 + \Phi_2)X，$

在哪里 $W$是两个系统输出的总和。

有3个系统:

${对齐}S_0 \ \开始mbox {:} & = \ Phi_1X \ \ S_1 \ mbox {:} B & = \ Phi_2X \ \ S_2 \ mbox {:} C & = \ Phi_3W。结束\{对齐}$

你添加 $S_0$而且 $S_1$然后用 $S_2$．以这种方式配置的这些系统的输出是什么?

显示答案

输出, $Z$,是

$Z = \Phi_3(\Phi_2 + \Phi_1)$

1. 琼斯,R。基础知识回顾．检索于2016年6月14日<一个href="http://people.seas.harvard.edu/~jones/es154/lectures/lecture_0/lecture_0.html">http://people.seas.harvard.edu/~jones/es154/lectures/lecture_0/lecture_0.html
2. Bj, R。离散时间信号．检索于2016年6月14日<一个href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete-time_signal">https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete-time_signal
3. 1,问。偶奇函数．检索于2016年6月27日<一个href="https://en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions">https://en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions
4. 麦当劳,一个。前馈．检索于2016年6月14日<一个href="https://en.wikipedia.org/wiki/Feed_forward_(control)">https://en.wikipedia.org/wiki/Feed_forward_(控制)