壳层法

有时很难区分使用圆盘法还是壳法。许多人不喜欢壳法，因为他们不明白发生了什么。因此，他们几乎只尝试使用磁盘方法。

然而，在有些情况下shell方法要简单得多:

1. 当这个函数 $f (x)$绕着 $y$设在。
2. (绕着 $x$-axis)当图不是一个函数时 $x$，但是一个函数上 $y$．
3. 当 $f (x) ^ 2$很难积分但是 $x f (x)$易于集成(特别是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-by-parts/" class="wiki_link" title="分部" target="_blank">分部）.

让我们看一些例子。

1.当这个函数 $f (x)$旋转 $y$设在:

壳法会得到一个直接的答案，但是圆盘法需要我们找出如何计算对应的体积。

确定固体的体积时得到的区域的边界 $y = \ sqrt {x}$,线 $x = 1$, $x$-轴绕 $y$设在。

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图像

(外壳法对应于使用红色矩形，而磁盘法对应于使用蓝色矩形。)

通过shell方法，如 $x$取值范围为0 ~ 1，对应的半径为 $x$高度是 $\ sqrt {x}$．因此，体积是

$\ int_0 ^ 1 2 x \ sqrt {x} \ \π,左dx = \[2π\ \ * \压裂{2},{5}x ^{\压裂{5}{2}}\右]_0 ^ 1 = \压裂{4 \π}{5}。$

如果我们想用圆盘法，我们将用旋转单位正方形得到的圆柱体，然后减去以它为界的区域 $Y = 1, Y = \√{x}$和 $y$-轴，绕 $y$设在。这给了我们

$\π\ * 1 ^ 2 \ * 1 - \ int_0 ^ 1 \ x ^ 2π\,dy = \π- \ int_0 ^ 1 \ 4πy ^ \, dy = \π-左\[\π\压裂{y ^ 3}{5} \右]_0 ^ 1 = \压裂{4 \π}{5}。\ _ \广场$

2.当图不是一个函数时 $x$，但是一个函数上 $y$：

壳法可以直接得到答案，但圆盘法需要我们求出所有对应的函数。

确定固体的体积时得到的区域的边界 $X = y^2 - 4y + 4 X = 0 X = 1$旋转 $x$设在。

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图像

(外壳法对应于使用红色矩形，而磁盘法对应于使用蓝色矩形减去黄色矩形。)

当 $X = 0, y = 2$．当 $X = 1,y = 1,3$．作为 $x$取值范围为0 ~ 1， $y$取值范围为1 ~ 3。

注意我们有一个关于的函数 $y$．使用shell方法，如 $y$取值范围为1 ~ 3，对应的半径为 $y$，壳的高度为 $1 - x$．因此，体积是

$\开始{对齐}\ int_1 ^ 3 2 y (1 - x) \ \π,dy & = \ int_1 ^ 3 2 \πy (1 - y ^ 2 + 4 y - 4) \ dy \ \ & = \ int_1 ^ 3 2 \π(- y ^ 3 + 4 y ^ 2 - 3 y) \, dy左\ \ & = \[2 \π\离开(- \压裂{y ^ 4}{4} + \压裂{4 y ^ 3}{3} - \压裂{3 y ^ 2}{2} \) \右)_1 ^ 3 \ \ & = \压裂{16 \π}{3}。结束\{对齐}$

如果我们想使用圆盘法，我们必须用“上曲线”产生的体积，然后减去“下曲线”产生的体积。我们需要计算如下函数: $x = (y 2) ^ 2$,或 $\pm \sqrt{x} = y-2$,所以 $Y = 2 \pm x$．所以，“顶部曲线”是 $Y = 2 + \√{x}$而“底部曲线”是 $Y = 2 - \√{x}$．

那么，体积就等于

$\开始{对齐}\ int_0 ^ 1 \π(2 + \ sqrt {x}) ^ 2 \, dx - \ int_0 ^ 1 \π2 - \√{x}) ^ 2 \, dx & = \ int_0 ^ 1 \π8 \√{x} \, dx左\ \ & = \[\压裂x ^{16 \π}{3}{\压裂{3}{2}}\右]_0 ^ 1 \ \ & = \压裂{16}{3}\π。\ \ _ \广场结束{对齐}$

用壳法求旋转体积可以解决如下问题: