集理论

集理论是研究数学的一个分支吗集，它们本质上是对象的集合。例如 $\{1、2、3 \}$是一个集合，也是吗 $\ {\ heartsuit \ spadesuit \}$．集合论之所以重要，主要是因为它是数学其余部分的基础——它提供的公理是数学其余部分的基础。

定义集合最直接的方法是说它是一个无序的对象集合。这些对象称为元素的集合，它们可以被组织成更小的集合，称为子集．一些集合的常见例子包括 $R \ mathbb {}$，所有实数的集合， $Z \ mathbb {}$，所有整数的集合，和康托尔集．

不幸的是，这些简单的定义可能会遇到问题。例如，因为集合本身就是对象，所以集合可以包含其他集合——集合 $\大\{\{1,2\}，1,2\大\}$包含数字1和2，以及集合 $第1、2 \ \ {}$．但这很快就导致了罗素悖论:如果 $米$是所有不包含自己的集合的集合吗 $米$包含本身?根据定义，如果 $米$没有控制住自己，那么 $米$会自我约束，导致矛盾。因此，集合的简单定义在很大程度上是不够的。

定义集合的问题导致数学家开发了各种系统来形式化集合论。其中最受欢迎的是ZFC其中Z和F代表泽梅洛和弗兰克尔，两位数学家提出了这些公理，C代表选择公理，这是其中的一个公理。这套集合论系统为数学的其余部分提供了严格的基础，但也会导致一些不直观的结果。

特别是，选择公理可以引起各种各样的悖论，包括Banach-Tarski悖论在这种方法中，一个球可以被切割成碎片，然后重新组装成两个球，每个球的大小都与原来的球相同。另一方面，许多直观的和重要的陈述也从选择公理中得到，例如每个向量空间都有一组基，佐恩引理，以及良序原则．

两套 $一个$而且 $B$，有几个常用的操作:

• $一杯\ B$,联盟，包含在中的任何元素 $一个$或 $B。$

• $B \帽$,十字路口，包含在中的任何元素 $一个$而且 $B。$

• $c ^$,补充的 $一个$，包含所有不在的元素 $一个。$

• $一个\δB$,对称差分的 $一个$而且 $B$，包含恰好属于其中一个的元素 $一个$而且 $B。$

• $A \ B$,笛卡儿积的 $一个$而且 $B$，包含有序的对 $(a, b)$为 $一个\$而且 $b \ b$．

• $2 ^{一}$,幂集的 $一个$的所有子集 $一个。$

一个与集合有关的重要量 $一个$是基数一组的 $一个$,表示 $|的|$，它计算集合中有多少个元素 $一个$包含。如果这是有限的，那么它只是一个数字，但如果是无限在美国，有一些区别是值得区分的。

有可数无限集合以及不可数无限．在这里，可数集合是可以代入的集合双射用正整数。精确地说，不可数集比可数集大，尽管两者都有无穷多个元素。事实上，可数集的幂集是不可数集。

在可数和基数之间是否存在一个无穷大的问题 $R \ mathbb {}$被称为连续统假设，并且仍然是开放的，尽管已经证明这个问题与ZFC无关。这意味着它既不能用ZFC集合论公理证明，也不能用ZFC集合论公理证明。

集合在分支中也是非常重要的拓扑结构被称为点集拓扑．拓扑是集合的集合，称为打开设置．这些开集的补称为闭集．

一个拓扑 $\τ$在一个空间里 $X$是满足以下属性的集合的集合:

• $\τ$包含空集和 $X。$
• 集合的任意并集 $\τ$是在 $\τ。$
• 集合的有限交集 $\τ$是在 $\τ。$

观察这些开放的集合可以提供对空间结构的大量洞察，因为它们产生了像这样的概念密实度，这在分析中是极其重要的。