集(游戏)

集是一种纸牌游戏，每个纸牌包含四个属性，每个属性具有三个可能值中的一个。游戏的目标是寻找集(游戏邦注:这也是游戏名称的来源)，即对于这四种属性中的每一种，要么三张牌都有不同的值，要么三张牌都有相同的值。

这些卡片有不同的数字、颜色、形状和纹理，形成一组

每张卡片包含四个属性，每个属性有三个值:

• 数量:每张卡片包含1、2或3个形状。
• 颜色:每张卡片上的形状有红色、绿色或紫色。
• 形状:每张卡片上的形状不是椭圆形，就是菱形，或者是歪歪斜斜的。
• 纹理:每个形状要么是中空的，要么是阴影的，要么是填充的。

每个属性组合对应一张牌，总共81张牌。在任何时候,12卡透露,最快的找到一组在这12个卡片的玩家获胜一组(这取决于球员,处罚一套虚假索赔的范围可以从无法索赔一组圆又失去一个已经赢得了集)。然后，这组牌中的三张牌会被移除，另外三张牌会被显示出来，游戏将继续进行，直到这组牌全部完成。

此外，如果在一段时间后没有玩家能够在12张牌组中找到一组牌，那么在所有玩家同意的情况下，会显示另外3张牌。下一套牌不会被替换，因为已经有至少12张牌了。如下所示，确实有可能(尽管有点不太可能)一组12张牌中没有一组牌;事实上，对于一组不超过20.不包含集合的卡片。

尽管集的游戏高度基于模式识别，但有许多方法用于加快搜索过程。

分析一个板:

首先，某些属性很有可能没有得到充分体现，也就是说游戏中很有可能只有一到两张阴影牌。这意味着集涉及这些卡片可以很快检查,如果(很可能)不参与任何集,任何形式的三张牌一组一定有相同的值,属性:在上一个示例中,将三张牌都填充形状或三张牌中空形状。

同样地，某些属性很有可能被过度呈现，也就是说(例如)很有可能会有许多带有椭圆形的纸牌。这意味着通常只检查包含这些卡片的可能集是值得的，因为这保证了一个属性将被满足(其余三个属性将有更多的可能被满足)。

板之间的转换:

游戏中最重要的部分是3张新卡牌出现的时候，因为玩家已经对已经出现的9张卡牌进行了大量分析。

首先，剩下的9张牌本身包含一组牌是很正常的，所以仅从这个原因出发，就有必要分析剩下的牌。然而，通过预测可能的有用纸牌，我们还可以获得更多信息:例如，在9张纸牌中设置一个过度呈现的属性(游戏邦注:例如许多)意味着带有相同属性的额外纸牌很有可能完成一组纸牌。

最后，当新纸牌出现时，它们很可能是集合中的纸牌(如果存在的话)，因为玩家已经分析了9张显示的纸牌，并从这个纸牌池中丢弃(或移除)了集合。

当没有纸牌集时添加3张额外纸牌的机制会导致两个自然问题:

• 加三张牌的概率是多少?
• 最多能显示多少张牌，其中没有一组牌?

这两个问题都可以从几何学的角度来解释set游戏:每一张牌都可以看作是一个元素 $F \ mathbb {} _3 ^ 4$，基本上是指这种形式的4-D点 $(a_1, a_2, a_3, a_4)$在哪里 $ai = 1, 2,$或者每个3个 $我$．例如，点 $1 2 3 1$可能相当于“一个绿色空心的曲线”。

一个集合的几何解释是相当不错的:三张卡片组成一个集合，如果它们关联的点组成一条线。

解决4个属性的情况仍然需要大量工作，但当只有2个属性时，情况就相当容易分析了(创造了空间) $F \ mathbb {} _3 ^ 2$）.在这种情况下，不包含集合的最大纸牌数的问题可以用二维几何解释来回答:整数点的最大数目是多少 $x, y$与 $0 \ leqx \ leq2, 0 \ leqy \ leq2$这样就不会有三个人组成一条“线”，而一条线可以“绕圈”?

所有这三种颜色都代表线条 $F \ mathbb {} ^ 2$

不难看出，不构成任何直线的点(上图中的正方形)的最大数目是4:

两个没有直线的点的例子

假设有可能找到5个点，其中没有3个共线。然后每条水平线最多包含2个点，所以某条水平线只包含1个点 $P$）.

有四条线路要通 $P$：

• $H$，即通过该点的水平线
• $V$，即通过该点的垂直线
• $D_ ($，即通过该点的右下对角线
• $D_ +$，即通过该点的对角线

自 $H$不包含任何点，除了 $P$，每一个点 $P$就在其中一条线上，一条线上 $V, D_ + D_ -$包含两点以外 $P$(由鸽子洞原理)，从而包含三个共线点——一个矛盾。

因此没有收集5点 $F \ mathbb {} _3 ^ 2$没有三个共线，使最大值为4。

这种类型的推理在更高的维度中变得更加困难，但一般的策略是不变的。在 $n$尺寸，无套卡的最大数量为:

在传统的集合游戏中，这意味着可以找到20张没有集合的纸牌^［1］．

不包含集合的20张牌

甚至更高的维度也更难以处理，需要来自领域的额外工具拉姆齐理论．最近(截至2016年)的一个突破表明，上限集合(一组没有设置的卡片)的最大大小 $n$尺寸最多有大小 $左(\ \压裂{2.756}{3}\右)^ n$它的应用范围既广又快矩阵乘法算法。

另一个关于这种情况发生的概率的问题，最好由计算机程序来回答。Knuth提供了以下数字^［2］．：

在典型的12张牌的情况下，哪个答案略小于 $\压裂{1}{30}$．

1. 陈志强，陈志强，陈志强。纸牌游戏．2016年4月2日，从https://web.archive.org/web/20130605073741/http://www.math.rutgers.edu/~maclagan/papers/set.pdf
2. joriki ?。在纸牌游戏集合中，n张牌中存在一个集合的概率是多少?．2016年4月2日，从http://math.stackexchange.com/q/203146