罗素悖论

罗素悖论是一个反例天真的集合理论，它将集合定义为任何可定义的集合。悖论定义了集合 $R$ 所有的集合不并注意到这一点

这个矛盾就是罗素的悖论。它意义重大，因为它重新定义了集理论，这在当时作为数学的基本公理(例如皮亚诺公理在集合语言中被重新定义。

罗素悖论(以及类似的问题)最终被公理集理论解决ZFC在泽梅洛、弗兰克尔和斯科勒姆之后，它获得了广泛的认可公理的选择不再有争议。简而言之，ZFC通过定义一套公理来解决这个悖论不必要的情况下，有一组对象满足某种给定的性质，不像朴素集理论任何属性定义了一组满足它的对象。

非正式的配方

考虑一个理发师，他正好给那些不给自己刮胡子的人刮胡子(例如，理发师给所有不给自己刮胡子的人刮胡子，而不给其他人刮胡子)。然后

因此，理发师不给自己刮胡子，但他也不刮胡子不自己刮胡子，这就是悖论。

在上面的例子中，一个简单的解决方法是“不存在这样的理发师”，但罗素悖论的要点是这样一个“理发师”(即一组)必须如果朴素集理论是一致的，则存在。由于这个理发师导致了一个悖论，朴素集理论必定是不一致的。

集理论是在20世纪20年代之前引起特别关注的吗 $^ \文本{th}$ 因为它的语言在形式化一般数学方面非常有用。例如，只有少数应用程序是

由于这种极其有用的形式化，许多数学被重新定义为Cantorian集合理论，以至于它(字面上)形成了数学的基础。

罗素的悖论表明，颂歌集理论导致了矛盾，这意味着不仅集合理论需要重新思考，而且大多数数学(由于依赖于集合理论)在技术上都存在疑问。幸运的是，这个领域不久就被新的公理修复了(ZFC)，而集合论至今仍是数学的主要基础体系。

天真的集合理论是关于谓词逻辑与二元谓词 $中\$ ,满足

$存在y，对于所有x, x，在y, iff, phi(x)，大$

对于任何谓词 $\φ$ ．这就是所谓的无限制的理解,意味着

存在一个集合 $y$ 哪些成员恰好是满足谓词的对象 $\φ$ ．

朴素集理论还包含另外两个公理ZFC还包含):

存在的实例:

给出一个这样的公式 $(x)存在\ \φ(x)$ ，可以推断 $\φ(c)$ 一些新的符号 $c$ ．

这就是说，如果存在某种满足给定属性的对象，则可以给该元素命名 $c$ (以某种方式) $c$ 以前没有使用过)。例如,

是有效的逻辑。

普遍的实例:

给出一个这样的公式 $所有x的\ \φ(x)$ ，可以推断 $\φ(c)$ 对于任何 $c$ 在宇宙中。

直观地说，这个公理表明，如果所有东西都满足某种性质，那么其中任何一个东西也都满足这个性质。例如,

是有效的逻辑。

这些公理足以说明罗素的悖论:

这是一个矛盾，暗示朴素集理论是不一致的。

大致来说，有两种方法可以解决罗素悖论:要么

罗素在尝试重新定义集合理论时采用了第一种方法数学原理、发展类型理论在这个过程中。然而，尽管他们最终以这种方式成功地定义了算术，但他们无法用纯逻辑来做到这一点，因此出现了其他问题。

事实上，哥德尔证明了这一点皮亚诺算术是不完整的(假设皮亚诺算法是一致的)，本质上表明罗素的方法是不可能形式化的。哥德尔这样做，证明了他的赞誉不完备定理．

第二种方法是改变集合理论的公理，Zermelo(后来由Franekel和Skolem加入)在他的推导中支持ZFC．这就解决了这个悖论，用受限制的理解(也称为规范）：

给定一个谓词 $\φ$ 里面有自由变量 $X z w_1 w_2 ldots w_n$ ， $对于所有的z，对于所有的w_1，对于所有的w_2, ldots，对于所有的wn，存在y，对于所有的x(x在y里，iff里，大(x在z里，land里，phi)，大)$

本质上，这意味着给定一个集合 $z$ 和一个谓词 $\φ$ 的子集

$\{x \in z: \phi(x)\}$

(即 $z$ 满足谓词 $\φ$ )存在。

这就解决了罗素的悖论子集可以构造，而不是以任何形式表达的集合 $\ {x: \φ(x) \}$ ．从这个意义上说，罗素悖论可以证明这一点

不存在包含所有集合的集合，

这本身也是一个有用的结果。