行和列空间gydF4y2Ba

在gydF4y2Ba线性代数gydF4y2Ba，当研究一个特定的矩阵时，人们通常对确定感兴趣gydF4y2Ba向量空间gydF4y2Ba与矩阵相关联，以便更好地了解如何对应gydF4y2Ba线性变换gydF4y2Ba运营。关联子空间的两个重要例子是gydF4y2Ba行空间gydF4y2Ba和gydF4y2Ba列空间gydF4y2Ba一个矩阵。gydF4y2Ba

假设gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$——- - - - - -gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$矩阵,行gydF4y2Ba $r_1， \cdots, r_m \在\mathbb{R}^ngydF4y2Ba$和列gydF4y2Ba $c_1， \cdots, c_n \在\mathbb{R}^mgydF4y2Ba$．的gydF4y2Ba行空间gydF4y2Ba $R (A)gydF4y2Ba$的子空间是gydF4y2Ba $R \ mathbb {} ^ ngydF4y2Ba$由向量张成的空间gydF4y2Ba ${r_i\}_{1\le I \le m}gydF4y2Ba$；类似地,gydF4y2Ba列空间gydF4y2Ba $C(一个)gydF4y2Ba$的子空间是gydF4y2Ba $R \ mathbb {} ^ mgydF4y2Ba$由向量张成的空间gydF4y2Ba ${c_i\}_{1\le I \le n}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

考虑到矩阵gydF4y2Ba

$A = begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3& -1 & 2 \end{pmatrix}。gydF4y2Ba$

计算行空间gydF4y2Ba $R (A)gydF4y2Ba$列空间gydF4y2Ba $C(一个)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

这个矩阵的行是gydF4y2Ba $(2, 1, 0)gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $(3、1、2)gydF4y2Ba$，所以行空间gydF4y2Ba $R (A)gydF4y2Ba$这两个向量张成的空间是什么gydF4y2Ba $R \ mathbb {} ^ 3gydF4y2Ba$．特别是，由于这些行是线性无关的，gydF4y2Ba $R (A)gydF4y2Ba$一个二维子空间是gydF4y2Ba $R \ mathbb {} ^ 3gydF4y2Ba$．为了显式地确定这个子空间，注意这两行正交于gydF4y2Ba $(2、4、5)gydF4y2Ba$，所以它们张成平面gydF4y2Ba $-2x + 4y + 5z = 0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

确定的列空间gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$，首先注意矩阵的列是gydF4y2Ba $(2、3)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $(1,1)gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $(0, 2)gydF4y2Ba$．因为前两个向量是线性无关的，所以它们张成的空间gydF4y2Ba $C(一个)gydF4y2Ba$一个二维子空间是gydF4y2Ba $R \ mathbb {} ^ 2gydF4y2Ba$,因此gydF4y2Ba $R \ mathbb {} ^ 2gydF4y2Ba$本身。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

注意，在上面的计算中，我们有gydF4y2Ba $\ \昏暗\大(R (A)大)= \昏暗\大(C (A) \大)gydF4y2Ba$．这是线性代数事实“行秩等于列秩”的一个实例，在文章中讨论了gydF4y2Ba排名gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$——- - - - - -gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$矩阵，对应于一个线性变换gydF4y2Ba $T: \mathbb{R}^n \到\mathbb{R}^mgydF4y2Ba$．我们可以解释行和列空间gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$对于这个变换。gydF4y2Ba

假设列gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $c_1， \ldots, c_n \在\mathbb{R}^mgydF4y2Ba$．对于任何一个向量gydF4y2Ba $(a_1, a_2， \ldots, a_n)\in \mathbb{R}^ngydF4y2Ba$，人们可以计算gydF4y2Ba $T (a_1、\ ldots an) = a₁c₁+ a₂₂+ \ cdots + an c_n \中\ mathbb {R} ^ m。gydF4y2Ba$这个计算意味着gydF4y2Ba图像gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$恰好是列空间吗gydF4y2Ba $C(一个)gydF4y2Ba$．我们应该把这看作是对列空间的“无坐标”解释;不管用哪个矩阵来表示线性变换gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$，矩阵的列空间总是等于的像gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$一个矩阵表示一个线性变换吗gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$的列空间gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$．在符号,gydF4y2Ba $C (A) = \文本{Im} (T)。gydF4y2Ba$

类似地，我们可以解释行空间gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$如下:如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $r_1， \ldots, r_m \在\mathbb{R}^ngydF4y2Ba$，那么对于任何gydF4y2Ba $一个\ \ mathbb {R} ^ ngydF4y2Ba$,一个计算gydF4y2Ba $T(a) = (r_1 \cdot a, r_2 \cdot a， \ldots, r_m \cdot a)，gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $\ cdotgydF4y2Ba$表示gydF4y2Ba点积gydF4y2Ba．回忆,gydF4y2Ba内核gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$的子空间是gydF4y2Ba $R \ mathbb {} ^ ngydF4y2Ba$由所有的向量组成gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $Tv = 0 \在\mathbb{R}^mgydF4y2Ba$．由上面的计算可知gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是在内核的吗gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$当且仅当它正交于每一行gydF4y2Ba $r_igydF4y2Ba$．换句话说，核心gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$是向量的空间吗gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $V \cdot w = 0gydF4y2Ba$为gydF4y2Ba所有gydF4y2Ba $w \ R (A)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$是一个向量空间gydF4y2Ba $W \子集VgydF4y2Ba$一个子空间;假设gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$有点(内)积吗gydF4y2Ba $\ cdotgydF4y2Ba$上定义它。的gydF4y2Ba正交补gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $WgydF4y2Ba$是子空间gydF4y2Ba $W ^{\补}gydF4y2Ba$由向量组成gydF4y2Ba $在V \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $A \cdot b = 0gydF4y2Ba$为gydF4y2Ba所有gydF4y2Ba $b \ WgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$一个矩阵表示一个线性变换吗gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$的核gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$是的正交补吗gydF4y2Ba $R (A)gydF4y2Ba$．在符号,gydF4y2Ba $R (A) ^{\补}= {Ker} \文本(T)。gydF4y2Ba$