牛顿第二定律的旋转形式gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba旋转的形式gydF4y2Ba牛顿第二定律gydF4y2Ba说明网外之间的关系gydF4y2Ba转矩gydF4y2Ba和gydF4y2Ba角加速度gydF4y2Ba绕固定轴的物体。这个结果看起来类似于牛顿第二定律的线性运动，只是做了一些修改。gydF4y2Ba

${text{net,external}} = I\overrightarrow \alphagydF4y2Ba$

首先考虑一个所有质量都在一个地方的情况。gydF4y2Ba

在其末端有一个小物体的光杆，绕垂直于其长度的轴旋转并通过其另一端gydF4y2Ba

假设一个有质量的点物体gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$固定在一根长度又轻又硬的杆上gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$绕着垂直于杆的轴旋转并穿过杆的末端。一个力作用在粒子上以增加旋转的角速度。把力分解成各个分量。一个分量是指向轴的，称为力的径向分量gydF4y2Ba ${F_r}gydF4y2Ba$另一个分量在gydF4y2Ba切向方向gydF4y2Ba ${F_t}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

径向分量绕轴的力矩为零，因为力的作用线通过轴本身。切向分量的力矩将试图增加物体的角速度并产生角加速度。gydF4y2Ba

沿着轴的合力是gydF4y2Ba $\开始{对齐}\ overrightarrow \τ& = \ overrightarrow r \ * \ overrightarrow F \ \ & = \ overrightarrow r \ * \大({\ overrightarrow F _r} + {\ overrightarrow F _t} \大)\ \ & = \ overrightarrow r \ * {\ overrightarrow F _t} & \ qquad \大文本(\{自}r \ * {\ overrightarrow F _r} = 0文本{和}\ r \文本平行{}{F_r} \大)\ \ & = {F_t}。结束\ qquad(1) \{对齐}gydF4y2Ba$

质点沿切向方向的加速度是gydF4y2Ba ${a_t} = \压裂{{{F_t}}} {m}gydF4y2Ba$．对于圆周运动，物体的角加速度为gydF4y2Ba $α= \ \压裂{{{a_t}}} {R}gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$是粒子的圆形路径的半径，在这种情况下是棒子的长度。因此,gydF4y2Ba

${对齐}\α& = \ \开始压裂{{{F_t}}}{{毫升}}\ \ {F_t} &α=毫升\ \ \ {F_t} l & = m {l ^ 2} \α。结束\ qquad(2) \{对齐}gydF4y2Ba$

比较式(1)(2)，gydF4y2Ba $\τ= m {l ^ 2} \α。gydF4y2Ba$

现在，因为粒子绕旋转轴的转动惯量是gydF4y2Ba $我= {l ^ 2},gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba

$我\ \τ=α。\ _ \广场gydF4y2Ba$

如果一个物体上任意两个粒子之间的相对距离在整个运动过程中保持不变，那么这个物体就是gydF4y2Ba刚性gydF4y2Ba．这样的物体不管作用在它身上的力如何，都能保持它的形状和大小。gydF4y2Ba

在多重力和力矩的影响下，绕固定轴旋转的刚体gydF4y2Ba

如果一个刚体绕固定轴旋转，并且有多个力作用于其上改变其角速度，则可认为该刚体是由附着在无质量杆末端的许多小点质量组成，并绕同一轴旋转。由于物体是刚性的，所有粒子一起完成圆周运动，所有粒子的角加速度是相同的。gydF4y2Ba
对单个粒子应用牛顿第二定律的旋转形式，gydF4y2Ba

${\τ_1}= {I_1} \α\,{\τ_2}= {I_2} \α\ ldots{\τ_n”}= {I_n} \α。gydF4y2Ba$

把这些方程加起来，gydF4y2Ba

$开始\{对齐}{\τ_1}+{\τ_2}+ \ cdots +{\τ_n”}& = ({I_1} + {I_2} + \ cdots + {I_n})α\ \ \ \ \{\τ_ \文本{净}}& = {I_ \文本{rigidbody}} \α。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

哪个滚下山更快，空心圆柱体还是实心圆柱体?考虑两者的质量和半径相等。gydF4y2Ba

---

如果两个物体的大小和质量相同，那么外部力矩就会相同。当质量从轴向外分散时，空心物体有较大的惯性矩。作为gydF4y2Ba $我\ \τ=αgydF4y2Ba$，对于给定的扭矩，其角加速度将较小。即使物体质量不同，这也是正确的。这是因为质量从方程中抵消了:重力引起的力矩与质量成正比，惯性矩也是如此。gydF4y2Ba

质量棒gydF4y2Ba米gydF4y2Ba和长度gydF4y2BalgydF4y2Ba一端铰接在一起，没有摩擦，保持水平，在重力作用下突然松开。求释放后杆的角加速度。gydF4y2Ba

在其左端铰接的杆在重力作用下释放。gydF4y2Ba

---

要分析杆刚松开时的运动，首先画出杆gydF4y2Ba自由体图gydF4y2Ba．自由体图显示了作用在杆上的两个力:gydF4y2Ba

$\ 4 \text{1)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba引力gydF4y2Ba代理的gydF4y2Ba重心gydF4y2Ba的杆gydF4y2Ba
$\ 4 \text{2)} {F_\text{hinge}}gydF4y2Ba$，由于杆上的铰链所产生的力。gydF4y2Ba

关于铰链点，合扭矩gydF4y2Ba ${\τ_ \文本{净}}gydF4y2Ba$等于铰链力和重力产生的力矩矢量和。gydF4y2Ba

由于铰链力通过铰链，铰链力引起的力矩为零。由铰链重力引起的力矩为gydF4y2Ba $\右右转\tau =右右转r \乘以右右转FgydF4y2Ba$：gydF4y2Ba ${\tau _{Mg/o}} = Mg\frac{L}{2}。gydF4y2Ba$因此,gydF4y2Ba
${\tau _\text{net}} = \frac{{MgL}}{2}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba
${tau _\text{net}} = I\alpha。gydF4y2Ba$因此,gydF4y2Ba $\压裂{{球型}}{2}=我\α。gydF4y2Ba$转动惯量(gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$)的杆绕一轴通过铰链并垂直于杆是gydF4y2Ba $\压裂{{M {L ^ 2}}}{3}。gydF4y2Ba$
因此,gydF4y2Ba ${对齐}\ \开始压裂{{球型}}{2}& = \压裂{{M {L ^ 2}}}{3} \α\ \ \α& = \压裂{{3 g}} {{2 L}}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$