根近似-平分

下面是该函数的图形 $x ^ {2} + 2 x - 1。$

为了找到中间的根 $(0, 2)$，例如， $x$-values可以从原始域开始插入到函数中:

$\{对齐}开始f (0) & = 0 ^ {2} + 2 (0) 1 \ \ & = 1 \ \ \ \ f(2) & = 2 ^{2} + 2(2) 1 \ \ & = 7。结束\{对齐}$

因为函数是连续的，有一个符号变化<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/intermediate-value-theorem/" class="wiki_link" title="中间值定理" target="_blank">中间值定理，必有根在 $(0, 2)$．每个域之间的中点减半，直到近似值足够接近。在前面的例子中，可以通过中点缩小域的范围，即。 $\压裂{间的{1}+间的{2}}{2}$：

$\{对齐}开始f (1) & = 1 ^ {2} + 2 (1) 1 \ \ & = 2 \ \ 0.5 \ \ f (0.5) & = ^ {2} + 2 (0.5) 1 \ \ & = 0.25 \ \ 0.25 \ \ f(0.25) & = ^{2} + 2(0.25) 1 \ \ & = -0.4375。结束\{对齐}$

根值已确定在(0.25,0.5)以内。可以进一步进行平分:

$\{对齐}开始0.375 f (0.375) & = ^ {2} + 2 (0.375) 1 \ \ & = -0.109 \ \ 0.4375 \ \ f(0.4375) & = ^{2} + 2(0.4375) 1 \ \ & = 0.06640625。结束\{对齐}$

现在，根域位于(0.375,0.4375)之间的某个位置。可以根据精度要求继续进行平分。

你能找到方程的根吗 $Y = \frac{1}{x}$在这段时间内 $Y (-1) = -1$而且 $Y (1) = 1$?

---

由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/intermediate-value-theorem/" class="wiki_link" title="中间值定理" target="_blank">中间值定理你可能会想，因为符号在 $x = 1$而且 $x = 1$这两者之间应该有一个根 $x$值;然而，这个方程在这个区间上不是连续的。具体地说,在 $x = 0$．

• $\lim_{x\rightarrow0+}{\frac{1}{x}} = +\infty$
• $\lim_{x\rightarrow0-}{\frac{1}{x}} = -\infty$

因此, $\盒装{没有}$此方法不能用于查找此区间内的根。

你能找到方程的根吗 $Y = x^2$在这段时间内 $x = 1$而且 $X = 1$?

---

虽然，显然在这个区间中存在一个根 $Y (0) = 0$，且函数在此范围内连续且连续可微，在这种情况下不能使用根近似平分法，因为y在此范围内不为负值。

所以 $\盒装{没有}$此方法不能用于查找此区间内的根。

已知这个函数 $f (x) = 2 x ^ {3} + x ^ {2} 2 x + 1$根在0到-2之间，求小数点后一位的根。

---

首先，我们在两个区间对函数求值:

$f(0) = 1, \四f(2) = 7。$

现在我们平分并重复:

$\{对齐}开始(1)& = 2 \ \ f (-1.5) & = -0.5 \ \ 1.156 (-1.25) & = \ \ f(-1.375) & = 0.441。结束\{对齐}$

我们知道根在-1.5到-1.375之间。取中点， $-1.5 + -1.375 \压裂{}{2}= -1.4375$．所以我们知道方程0到-2的根的小数点后1位的值 $2 x ^ {3} + x ^ {2} 2 x + 1$是 $-1.4。\ _ \广场$

已知这个函数 $f (x) = \压裂{1}{3}- \压裂{1}{x}$有一个根在 $1$而且 $4$，求小数点后一位的根。

---

你的第一反应可能是，等等，这个函数在点处不是连续的，也不是可微的 $x = 0$．然而, $x = 0$不在两者之间 $1$而且 $4$，所以可以采用这种方法。

$f(1) = - \压裂{2},{3}\四f(4) = \压裂{1}{12}。$

现在我们平分并重复:

\[开始\{对齐}f(2.5) & = -。067\\ f(3.25)&=0.025\\ f(2.875)&=-0.014\\ f(3.0625)&=0.0068\\ f(2.969)&=-0.0035.

结束\{对齐}\]

这就把搜索范围缩小到了 $x = 2.969$而且 $3.0625$．取中点得到的答案是 $\盒装{x = 2.99}$精确到小数点以内。

对于最后一个例子，我们可以从方程中看到根趋近于3。然而，对于这个例子，它不是那么明显。事实上，如果不使用这种二分法，可能很难求出根。

已知这个函数 $f (x) = x ^ 5 4 x ^ 4 + 3 x ^ 2 x + 2$有一个根在 $3.$而且 $4$，求小数点后一位的根。

---

$f (3) = -55, f \四(4)= 46。$

现在我们平分并重复:

$\{对齐}开始(3.5)& = -39.78 \ \ f (3.75) & f (3.875) = -9.00 \ \ & = 14.99 \ \ 2.18 (3.8125) & = \ \ f(3.78125) & = -3.61。结束\{对齐}$

这就把搜索范围缩小到了 $x = 3.8125$而且 $3.78125$．取中点得到的答案是 $\盒装{x = 3.80}$精确到小数点以内。

下面是该算法的Python实现:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

def二等分的一半（f，一个，b，每股收益):#取两个点，其中结果的符号分别为负和正，并有一个误差界限中期＝（一个+b）/2而腹肌（f（中期）)>每股收益：如果f（中期）<0：一个＝中期其他的：b＝中期中期＝（一个+b）/2返回中期

现在我们可以这样运行它，例如:

1 2

>>>二等分的一半（λx：x**2-2，0，2，0.001）1.4140625